1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Но так как тетраэдры АВСО и А'В'С'О'равны, то а'=а', Ьз=Ь", с'=с", аЬ=а'Ь', Ьс=Ь'с', са=-с'а и, значит, ММ=М'У'. Значит, указанное выше аффинное преобразование — ортогональное; при этом оно первого рода, так как тетраэдры АВСО и А'В'С'0' имеют одинаковую ориентацию. Единственность ортогонального преобразования первого рода, переводящего точки Л, В, С соответственно в точки А', В', С', следует из того, что всякое ортогональное преобразование, переводящее точки А, В, С в точки А', В', С', переводит точку 0 в точку 0*, такую, что ОА =О*Л', ОВ= О*В', ОС=О'С', и такую, что тетраэдр А'В'С'0* имеет ориентацию, одинаковую с сетраэдром ЗРЯ Рва«в Х!Р ЛИИЕПИЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОЕРАЗОЕАИИЯ АВСО.
!4о тем же свойством обладает гетраэдр А'В'С'О' и никакого другого тетраэдра, обладающего этими свойствами пет. Значит, точка О* совпадает с О'. Теперь единственность оргогопального преобразования первого рода, переводящего точки А, В, С соответственно в точки А' В', С', следует из теоремы 4 1 177. Теорема, аналогичная доказанной, имеет место и иа плоскости. $ !81.
Ортогональные преобра ования в координатах 1. Ортогональные преобразования плоскости Введем на плоскости прямоугольную систему координат хОУ с началом О и единичными векторами 1, /. Пусть О' — образ точки О при ортогональном преобразовании ы, а 1' и /' — образы векторов 7 и 1 при том же преобразовании. Векторы Г и у' — «дипичпые взаимно перпендикулярные.
В силу линейности ортогонального преобразования точке М, имеющей в системе О, 1, / координаты х и у, соответствует гочка М', имеющая те же координаты относительно системы О', У, 7'. Как и в общем случае, выводим х =нюх+ пыу+хо у=пзгх+аязу+уз где х', у' — координаты точки гИ' в системе хОУ, (аы, айг) =1', (а, а,в)=7 (координаты векторов Г и К даны в системе ХОУ), а х, и у,— координаты точки О' в системе хОУ. Но, как было показано выше 8 99, п.
1 и 2), в случае, если базисы 1, / и 1', у' имеют одинаковую ориентацн!о, то 1'=!соя и, я!па), 7=( — я1пи, сова), так что х' =х соя и — у я1п и+х„ у' =х я!п а+ усова+ у„ где и — угол от вектора 7 до вектора 1' (ориентация определяется системой хОУ), а если базисы 1„ / и 1', у' имеют противоположную ориентацию, то 1'=(сова, я!па), /'=(я)пи,— сояа), значит, х' = х соя и+ у я)п а+ х„у' = х я!п а — у соз а+ у,. (2) В соотношениях (1) н (2) х, и у,— координаты образа О' начала координат системы хОУ при рассматриваемом ортогональном преобразовании.
Определитель из коэффициентов при х и у в преобразовании (1) равен +1, а в преобразовании (2) равен — 1. 2 1м огтогоихльиыв пгсоггхзовхиия в коогдиихтхх вйз Обр;лно,;. ормулами (1) прн любых с.. .х и у задается относительно декартовой прямоугольной системы координат ортогональное преобразование. В самом деле, если Л(х„, У1) и В(х.„у2)— две произвольные точки, то АВ= Г'(ха — х„)' — '(у,— у )', Обозначая через Л'(х„д,), В'(х.„у,) образы точек А н В, при ортогональном преобразовании (1) будем иметь х, =х,сова — у,з)па+х2, у, =х, з)п а+дхсоз22+У21 х2 =х2 соз22 У2 5)п Я+хо уг =х2 з1п Я+У2 сов 22+до и, далее, А'В' = у (х, — х,)2+ (у, — у,)2 = )з|п а)'+((х — х,)гйп а+(у,— у,)сов о)2=.
= )Г (х, — х„)2+ (д, — у,)2 = АВ. Вместе с тем ортогональное преобразование (1) сохраняет ориентации всех треугольников. Аналогично доказывается, что формулами (2) при любых к, х, у задается также ортогональное преобразование, которое в отличие от ортогонального преобразования (1) меняет ориентацию л~обого треугольника па противоположну1о. 2. Ортогоп альные п реоб ра за па пня пространства Введем в пространстве прямоугольную систему О, 1, /, й с началом О и едиппчщъщ векторами 1, /, й. Пусть О' — образ точки О при ортогональном преобразовании 21, а 1', 2', й' — образы векторов 1, т', й прп 1ом же преобразовании.
Векторы 1', т', й' также единичные и попарно ортогональные, В силу линейности ортогонального преобразования точке М, имеющей в системе О, 2, у', й координаты х, у, г, соответствует точка М', имеющая те же координаты х, у, г в системе О', 3', 7, й . Как и в общем случае, выводим х = а11х+ а 2д+ а12г+х2, у а21Х + а22у+ агзг + уО г' = а„х+ а,„у+ а„г + г„ где х', у', г' — координаты точки М' в системе Охуг, (а„„азм а Д = 2', (амь а.„, а22):=-/', аьи а.а. а,,)=й' (координаты векторов 1', т", й' даны в с1истемс Охуг), а х„у,, г2 — координаты точки О' в системе Охуг Ц 100). Координаты едияичного вектора 1' в прямоугольной системс Охдг равны сова,, сов Р1, сову,, где 22„11„у1— углы между вектором 1' и соответственно векторами 1, 2, й; коор- Ваг Р г ага Хгт, ЛИНЬГПгме И АаФПННЫЕ ПРРОБРЛЗОВЛНИЯ Х Х СОВ Я1 + д СОЗ г+ г СО5 ЯВ+ Хвг д' = Х СОЗ ()1+ У СО5 Рв + г СО5 41 + д„ г =ХСОЗУ1+дСОЗУ, +гСОЗ УВ+гаа (3) где х', д', г' — координаты точки М' относительно системы Охуг; х„!Га, ва — кооРДинаты обРаза О' точки О относительно той же системы, а с!г, ()г, У„1=1, 2, 3,— Углы междУ вектоРами 1, У', А, г', 7', гг'! а, ~ ', ! т, аг ж ! а, Дстсрмигганг матрицы преобразования (3) равен -~-1.
Матрица ортогонального преобразования — ортогональная, Обратно, соотношениями х =аг,х+а„у+а„г+а,, ! у = авгх + авву+ авва + а„ г = авгх+ аввд+ аввг+ аг где (а,„) — ортогональная матрица определчется ортогональное преобразование. В самом деле (аналогично тому, как это делалось лл! плоскости) из условий г г г 1 г г г аг,+аы+ав! — — 1, а!г+аг,+а„=1, а„+а„-(-а„=1, а, аг, +а.„а„+а„а„=О, а„,а,, + ав,а,в+ а„авв = О, а„а„+ а„а„+ а„а„= О следует сохранение длины любого отрезка: (х, — х,)'+ (у, — у,)" + (г, — г,)' = = )' (Хв — Х1) +(ув у1) + ггв — г1) динаты единичного вектора 1' !.
тои же системе равны сова„ сов 3„сов т„где а, ))„Ув — Углы междУ вектоРом /' и соответственно векторами 1, /, К координаты единичного вектора ггг' в системе Охдг Равны сова„соз Р„соз У„где а„бвг Ув — Углы между вектором Ф' н соответственно векторами 1, у, ггв.
Итак, ортогональное преобразование в координатах запишется так! 4 !з!. Пгнмнгы Огтогонлчьныч пгеоггччонт!!и! 5 !82. Примеры ортогональнмя преобразований Пример 1. Введем па плоскости прямоуголы у!о систему координат и поставич !, соответствие кагкдон точке М;х, и) плоскости точку М'(х', у'] СИММЕТРИЯ янптзммив Рис. 248 Рис. 247 симметричную точке М относителызо оси Ох (рнс, 247ь Тогда Симметрия плоскости относительно прямой есть ортогональное преобразование второго рода. 'г!а рисунке 248 показано преобразование симметрии фигуры вместе с над.писью к ней «симчетрия». Рис. 249 526 Р а а аа Хгг ЛИНЕЙНЫЕ Н АаВФИИНЫЕ ПРЕПБЕАЗОНА НИЯ '- ОР'1УЛЗНИ К'=Х, У'=У '-= — а О1ПОЫПСЛЬаО ПРЯ;ЮУ1ОЛЬПОО СветЕМЬ! координат определяется ортогональное преобразование, называемое спммстриси пространства относительно плоское~и (рис.
249) Пнпмср 2 свнкснруем вектор а ~ О. Поставим в соо1вегствие точке А просгравства точку А', таку!о, что АА' =а (рис 250). Это преобразование называется переносоа Если  †люб другзя точка, а В' — ее образ при пе- ь а а рено е, то ВВ'=а, и из равенства АА'=ВВ' следует, что АВ=А'В'. т, е. АВ = А'В', иначе перенос †ортогональн преобразование Если ввести декартову прямоугольяую систему координат ! обозвачить координаты вектора а через а, Ь, с, черсз х, у, т обозначить координаты 1оч ки А.
а через х', у', е' †координа образа А' точки А при переносе, то из равенства АА' = а найдем х'=к+а, у'=у+Ь, а'=а+с. Ма1рица переноса есть единия* ная матрица (!! ~) Рис. 251 Рнс. 250 следователыю, перенос есть движение. Мноакество всех переносов и рострапства образуег группу. Эта группа переносов является подгруппе,'! группы движения. На рисунке 251 дан образ фигуры при перено е. Э 183. Подобные преобразования Подобны!! преобразованием пространства называгтся преобразование А1ножгства всех точек пространства, обладающее слсдуюи(ин свойством: если А и  — двг произвольныв точки, а А' и В' — их образы, то А'В'=ВАВ, где й — положительное число, одно и то эсг для всех пар то!ек пространства, называемое коэффиг(иентом подобия.
То же определение подобного преобразования принимается и для плоскости, и для прямой. Так же как и для ортоговальных преобразований, доказывается, что подобное преобразование есть аффинное преобразование и что в декартовой прямоугольной системе координат па плос- $ !33. подовныв ПРеовглзовлния кости в случае сохранения ориентации оио выражается соотношениями х'=/г(хсоза — уз1па)+х, у'=/г(хз)па+усова)-„'-уь' где О'(х,, у„) — образ начала координат, а а — угол от единичного вектора /' оси Ох до его образа й/'(/' †так единичный вектор), з в случае изменения ориентации на противоположн)по †сооткошепиями х'=//(хсоза+узп1а)+х„, у'=/г(хайна — усова)+у,. Зля пространства х =/г(хсоза, +усов аг+г сов а,)+х„, У =/г (х сов ц+ Усоз йг+ 2соз 1зь) —,Уь, г'=й(х сов у, +усов у, + г сову,)+ г„, где О'(х„, у„, г,) — образ начала О декартовой прямоугольной системы координат, М (х, у, г) — произвольная точка пространства, М' (х', у', г') — ее образ при подобном преобразовании, а,, Ч„ у,— углы между образом я/' вектора г н векторами г, у, /г; а„ Т,— углы между образом я/' вектора / и векторами 1, /, /г, а„~„у — углы между образом к/г' вектора /г и векторами /,,/, й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
