1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 86
Текст из файла (страница 86)
ДВс гсрссска!О(цисся плоскости, дв!. П81'аллсльнью плоскости и дпе сОВиадающис пло('ксстп и(' з(О!'ут быть а(гфи((но преобразо. ваны пи в одну из новерхиогтсй остальных аффиииых классов, так как только оии состояг из плоско(тсй 1!арал..сльпь|е плоскости ие могут быть преобразованы В гсресскающиеся, а различные — в совпадающие. Две мнимые псрссскзющиеся плоскости содержат только одну дейстгитсльиую прямую, и никакая другая поверхность ьгорого порядка не обладает эт(ы! свои твом. Среди повсрхиоствй остальных аффиинь(х классов эллипсоид, двуполостпый гиперболоид и эллиптическип параболоид отлича(отея от поверхностей остальных аффииных классов тем что не содержат прямолинейных образу(ощих, а между собой — гсм.
что эллгшсоид — повсрхность ограниченная, тогда как дпуполостный гиперболоид и эллиптический параболонд — поверхиог! и исо! раиичсипые; прн этом дпуполостный гиперболоид состоит из двух кусков, а эллиптический параболоид — из одного куска. Это различие сохранится при любом аффинном преобразовании.
Среди оста:ощихся линейчатых поверхностей конус отли шстся от поверхностей остальных классов тем, что представляет соб(ой поверхность, образованную прямыми, проходящими !!срез олпу точку и ие лежащими в одной плоскости, а эллиптический, г (- перболическпй и параболический цилиндры †т, что образова ия параллельными прямыми. Друг от друга эти трн поверхности отличаются тем, что ссчення их плоскостями, не параллельными образующим, будут соответственно эллипсами, гиперболами, параболами. Наконец, однополостпый гиперболоид от гиперболичсского параболопда отличается тем, что первая поверхность имеет центр симметрии, а вторая — нст.
Мнимый эллипсоид имсст единственный центр, мнимый цилиндр †прям центров, и две миимыс параллельные плоскости— плоскость центров. Так как это свойство инвариантно по отношению к любому аффинному преобразованию, то эти поверхности принадлежат к трем различным (аффииным) классам. 9 190. Примеры н задачи к главе Х1Ч 1. Задачи с решенияьии Пример !. Докажем, что если ортогональное прсобразованке просгранства первого рода имеет одну неподвижную точку О, то су(нествуст прямаз, про. зодчв(ая через точку О, все точки которой неподвижны при этом ортогональ.
ном преобразованнн. Ч гээ ПРИМЕРЫ И Зддаг!И гй ГЛЛЧО! Хгч В силу того что рассчагривасчо. преобразование аргогоца.п;,гое, собственное значение, соответсгнуюшес собственно ну вектору, могчст быль равно нти — 1, или — 1 Если л=-+ 1, то конец Л собственного ве торн ОА останется ггепоггвингныгг, значи г, нсгголв.' мыми будут все точки прюгой ОА, т е. данное аргогоиальпое прсобразовшше первого рода оставляет на масте эсе точгш некоторой прямой, ороходвшей через неподвижную точку О. Если й =- — 1, а дво других корня характеристического уравпспня— комплексные (сопряжснпыс), го Ос( А < О, т. е. данное ортогональное преобразование второго рода.
Если л =. — 1, а два других корпя харакгсристи. чсского уравнения действительны, то один пз пнх равен -, '— 1, а другой — 1 (ибо Ое1 Л =.1 н и силу ортогональности преобразования корни характеристического уравнения по модчлю равны 1), а значит, данное преобразование является симметрией относительно прямой ОА (ОА — собственный вектор, соответстиуюгций корню + 1). Если однородное ортогональпое преобразование первого рода задано в ба. зисе е,, е„ ез соотношениями х'=-агхх+аххуй аыг, у'=а„с+аггу+ах„г, .'=аз,х+а-,.у+а,зг, то коордип.гты век~ора, даюшего направление прямой, все точки которой неподвижны, находятся из системы (л=(): (а,х — 1) х-', агсуа+аз г=-О, агх+(агг — 1) у-,' азах=О, аз,х+ азу+(азз — 1) г=О. х' = й (ам т+ агау + агзг) + а„ у'=д (аг,х+аггу-! пгггг)+аз, г' =-' д (ажх+ а азу ф а„г) + аз, получим систему ( (Д а — — ! х+агзу+а„г+ д/ агхх+ а,г — — ' у+а,„г+ 1 'г 11 анис+ ангУ 1-(аг, — — ) г т- а, — =О, д аз — г=О.
й Определитель этой сигтсхгы 1 аи —— Т агг агз 1 аз — — азг Т азг азг агг и ив отличен от пуля, тат как ортогональное преобразование не может иметь собсгв нных значений, пс равных по моду;по елпппьс. Следовательно, паписаапэя выше система всегда имеет рсшепне и притом только одно, т. е рассмвтрнвасмое преобразование обладает едшгстосниой неподвижной точкой, 18 и, ш моденоз Эта сисгсма имеет ненулевое решение о силу того, что се определитель раасн сугьче (Х=( — корень характеристи геского уравнения), Пример 2. Докагкехг, что всякое подобное преобразование пространства с коэффициентом подобия й Ф 1 имеет н притом только олпу неподвижную точку. В самон деле, полагая х=х', у=у', а=г' о формулах подобного преобразооагшя ((агг)-ортогональная матрица) 54б Г» а в а ХШ ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРЕОН!»АЗОВАНИЯ ьрпмер 3.
!)айти эсс лвнейные преобразования множества всех вектороа плоскости и пространства, наждое нз которых всякий вектор а переводит в вектор )а, ортого~альпый вектору а. Этн линейные преобразования пазы. паются а»пвснмметрнчсскнмн. Р е ш е и н е Пусть ( — линейное преобразование, обладающее указанным свойством, т. е. а)а=О, каков бы нн быз вектор а. Отсюда следует, что для двух любых векторов а и Ь будем иметь (а+ Ь) ) (а+Ь) =О, или а)а+ а))Ь+ Ь(а+Ь)Ь О иш» Рассуждая так же, как и выше, докажем, что аы = а„ = азз = О, аы =- — аи азз = — азз* азз = — азз Полагая а„=с, аш-.Ь, а„=а, получим х'=су — Ьг, у'= — сх+аг, г'=Ьх — ау.
Таким образом, х', у', г' — координаты векторного произведения вектора а=(х, у, г( на вектор у=(а, Ь, ф Ьа = ) ау). Очевидно и обратно: если у — фиксированный вектор, то преобразование» которое вектору а ставит в соответствие вектор )а, равный )а= (ау), лппейпос и а)а=О. Матрица, соответствующая антисиыметрическому линейному преобразованию в ортонормированном базисе, антисимметрич~а: на плоскости '=6 ') А= — с О а в пространстве а)Ь = — Ь|а. С л у ч а й и л о с к о с т н.
Введем на плоскости ортонормнрованпый базис П у. Пусть в этом базисе а=(х, у), )а=.(а„х+ашу . азтх+адзу) Так как аз»=Ц), азг=,))), то а„=а„=О. Так как а»з=Ц) азт=гЦ зЦ= — Яг, то аз,= — агл Таким образом, координаты х', у вектора )а, являющегося образом вектора а=( х, у (, выражаются через координаты х и у соотношениями (полагаем ам Х) х'= — Ау, у'=Хх, где А — шобое число. Это преобразование заключается в по во роте век- тора а па угол + —, н у м н о ж е н и и повернутого вектора на число А. 2 С л у ч а й и р о с т р а н с т в а.
Введем в пространстве ортонормвроваа. ный базис г,,', Ь н пусть в этом базисе а=( х, у, г), а вектор )а имеет координаты х'=-аых+атзу--', аззг у'=аюх+ аму+а, г, г'=а, х+а у+а 1 !00. пРимеРы и Задачи К Главк х!ч 547 Обратно, всякая аитнсимметрическая матрица соответствует в ортонориироваином базисе некоторому антисимметрическому преобразованию. 2. Задачи для самостоятельного решения !. Двойной прямой аффинного преобразования плоскости называется такая прямая, которая при этом аффинном преобразовании переходит в себя !нс обязательно, чтобы точки этой прямой были неподвижными при этом аффинном преобразовании). Найти двойные прямые аффинного преобразовании х' = аых+ а„у -)- а,, ам ат, ~ О. у'=а,эх+аязу+аз, ~ аы азэ ~ О ив. Ес ли уравнен ие ~=О имеет мнимые корни, то двойных прямых нет.
Если корни уравнения (1) действительны, различяы и ни один из иих ие равен 1, то существуют две и только две двойные прямые. Если корни уравнения (1) действительны, различны, один нз корней не равен 1, а другой равен 1, то алевшая пучок параллельных между собой двойных прямых и еще одна двойная прямая, их пересекающая. Если уравнение )!) имеет двойной корень Х, пе равный 1, и если хотя бы одно из чисел аи — Х, апв аяп а„— Х не равно нулю, то имеется только одна двойная прямая. Если уравнение )!) имеет двойной корень )с, не равный 1, и если ам †= = а,э=а„= а„ вЂ 1, то двойной прямой является любая прямая, проходящая через точку ( , †), и этим исчерпываются все двойные прямые.
а, ав 1 — в' 1 — Х Если оба корня уравнения )1) раины 1, но среди чисел атт — )., атз, аю аээ — Х есть хотЯ бы одно, ие Равное нУлю, то имеетса пУчок паРалл'льных между собой двойных прямых. Если оба корня в уравнения (1) равны нулю и аы — 1=аз=а„=а„— 1=О, то данное аффиннос преобразование имеет вид х'=х+а,, у'=у+а,; если ат и вне равны нулю одновременно, то двойной прямой является л!абая прямая, параллельная вектору )ат, аз~. Если ах=аз=о, то данное аффинное преобра зование тождественное: х'=х, у'=у и двойной является любая прямая. 2. Относительно общей декартовой системы координат задано аффипное преобразование х' аых+атту+ам ам атэ ~ ~ ыо.
у'=а„х+аз,у+аз, ~аэ, аю! Написать формулы этого аффинного преобразования в новой системе * ч координат Оху, если переход от системы Оху к системе Оху определяется соотношениями х = сия-)-с„у -)-ст, у =сыт+сыр+аз. * ° Огпв, х =бык+ Ьыу+Ьм у =Ьзтх+Ьэзу+Ьт' где числа Ьпв Ьт определяются из следующего матричного равенства! 3 Ьэ, Ьа = ст, саа сэ ам ая, а, са, сээ сэ 18 о48 Г з а з а Хзг ЛммнйИЫН И ХИИИИИЫН Пэновнязе!ИДИИИ 3. Найти все аффинные преобразования плоскости, квадрат каждого нз которых равен единичному преобразованию Огпв !) тождественное преобразование; 2) сизгметрия относительно любой ~очки плоскости, 3) «косая» симметрия относительно любой прямой в направлении л|обой другой (ее пересекающей) прямон. 4, Дано ортогональное преобразование первого рода1 Х' аых+ ах,у+ о,зз, у' а„я+а„у+ а„з, з' а„х+ ааэу+аззз.
Это преобразование может быть осуществлено поворотом на некоторый угол ф вокруг неподвижной прямой. Найти атот угол, атз+азз+азз — ! Оаз. ф агссоз 2 8. Найти ортогональное преобразование первого рода, зная направляющий вектор а пеподзнжной прямой. определяющей зто преобразование, и угол ф поворота. Оюв. Выбирая начало радиусов-векторов в любой неподвижной точке преобразования, обозначая через г радиус-вектор любой точки пространства, э через г' радиус-вектор образа М' точки М при данном преобразовании, буден иметь г' г соа ф+ )аг) з!п ф+ а !аг) (! — соз ф). 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
