1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985)
Текст из файла
УД1«б!6 Настоюиая книга предназначена в качестпе учебника по аналитической геометрии для студентов меха. нико-матечазнчес«нк, физических и физйко-чатемати. ческнх фзкульзе~ов уннверсятетов н педагогических институтов. Наличие в книге задач с решечнямн и задач для .аностоятельпого репгепия (с ответамн1 позволяет использовать заочни«зми эту часть книги как материал семинарских занятий. Помимо траднпнонпо~о материала по зпзлитнческои геометрии и книге дано понятие о яипсйном пространстве и линейном многообразии. Линейное отображение определяется как коллпнеапня. прн которой сохраняется простое отногпение Из.хожена поня гие собственных векторов Дана мегричсская теория ипвариантов в аффипной системе.
Рассмотрешз произвольные плоские сечения поверхности нторого порядка Проектнпные координаты и гсоремы Дезарга, Паскаля н Бриапшопа даны в .ю. по«пенни в основном тексте — только однородные ь ордипаты Печатав«си по постановлению Редакниоино-нзда~ельского совета Московского университета 2 — 2 — 3 ЬЗ 79 1иза 6 ПРЕДИСЛОВИЕ В главе 1 вводится понятие направленного отрезкг, г згтем известное соотношение между трсмя точками, лежгщими на прямой (тсорема Шгля). Обобщением понятия направленного отрезка (упорядоченная нара точек) является понятие ориентированного треутольпика (упорядоченная тройка точек) н орвептнрованното тетраэдра (упорядоченнгя чствсркг точек).
Имеют место соотношения, аналогичные теореме Шаля. Включение этого материала в книгу позволяет дать общие выводы формул, относящихся к простейшим згдгчгм по гнглитической гсометрни (ргсстояние между двумя точками, деление отрезкг в дгппом отношении, площадь треугольника, объем тстргэдрг), г также получить необходимое н достгточнос условие прингдлежности трех точек одной прямой и прннгдлсжности четырех точек одной плоскости. Простейшие вопросы по англитической геометрии изложены последовательно на прямой, нг плоскости н в пространстве. Это обстоятельство, а также введение понятия ориентированной плоскости н ориентированного простргнства позволяет с сгмого нгчалг изучения курсг значительно ргсширить тематику згдгч нг пргктических занятиях (главы 1 — П).
Глава П1 посвящспг понятию уравнений линни и поверхности (задгчи 28 — 25, 29, 30 нг сгр. 87 — 88 лучше решать после прочтения глав 1Ч вЂ” Ч1). В главе 1Ч изложснг векторнгя алгебра. Линейныс обргзы нг плоскости и в простргнстве изложены в главе Ч (прямая ливня нг плоскости) н в глгвс Ч1 (плоскость и прямгя линия в пространстве). В главе ЧП содержится материал, относящийся к преобразованию декартовой системы коордннгт (сюда включены углы Эйлера). В главе ЧП 1 дан традиционный материал по кгнопическим ургвнсниям линий второго порядка, а в глгве 1Х изложен ы канонические уравнения поверхностей второго порядка.
В главе Х дгпы сведения о комплексной плоскости и комплексном простргнстве. В главс Х1 излогкспа общая теория линий второго порядкг, г в главе Х П вЂ общ теория поверхностей второго порядка. В главу Х1П выделены понятия отображения, прсобргзовашья н группы преобразований. пгидисчояив Линейное отображение (и преобразование) определяется как отобра>кение, при котором сохраняется принадлежность трех точек одной прямой н сохраняется простое отношение (~ лава Х !Ч); эти 1 удается охватить вырожденные линейные преобразования.
Аффпццос преобразование определяется как линейное взацьшо одиозна ~пос. В той же главе Х(Ч даны свс,сция о собственных векторах линейного преобразования и доказана основная теорема о представлении аффиццого преобразования в виде произведения ортогонального на саьюсопряженцое. Все изло кение ведется одновременно для плоскости и пространства. В главе Х Ч нзло ксцы элементы проектизцои геометрии. В книгу включены четыре дополнения. В дополнении ! вводится понятие ориентации плоскости и пространства рассмотрением цепей цз ориентированных треугольников и тстраэдров; все отпосяцгиеся сюда определения использу1от лишь аксиомы соединения и порядка (и пот ~чу, например, могут быть без всяких изменений отнесены к плоскости и пространству Лобачевского). В дополнении Н излагается метрическая теория цнвариаптов многочлена второй степени от двух и трех переменных по отношению к преобразованию одной общей дехартовой системы координат в другую. Даются понятия ковариаптцых и контравариантных координат вектора и точки; излагается понятие метрического тепзора.
В П! дополнении исследуются гипы и расположение в пространстве произвольных плоских сечений повсрхцости второго порядка, заданной общим уравнением, в частности круговые сечения и омбиличсскне точки. В дополнении (Ч излагается понятие просктивных координат на проективпой плоскости и в проективном пространстве и приводятся доказательства теорем Дезарга, Паскаля и Бриацшона. В основном тексте я ограничился рассмотрением однородных координат. Выражаю глубокую благотариость академику П. С. Алсксандрову за просмотр рукописи, обсу,кдсцие сс на кафедре высшей геометрии ц топологии, за ссе сделанные замечания ц советы. Много ценных замечаний я получил от профессора Ю.
М. Смирнова. Особую призпательцосгь и благодарность я приношу доценту кафедры высшей геометрии и топологии МГУ А. С. Пархоменко, который провел очень большую работу над рукописью цри ее редактировании н дал мно о ценных советов. ел.! и а! АНАЛИТИЧЕСКАЯ РЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ $1. Направленные отрезки Направленным отрезком АВ называется упорядоченная пара точек А и В. Первая точка Л называется началом направленного отрезка АВ, а вторая точка  — его концов! Ю (рис.
1). В обозначении направленного отрезка ЛВ порядок точек определяется порядком их записи: Л вЂ” первая точка,  — вторая. Если точки А и Рис. 1 В различны, то направленный отрезок АВ называется ненулевым (или пееырожденным), а если точки А и В совпада!от, то направленный отрезок ЛВ называется пулевым (или вырожденным). ф 2. Ось. Координата направленного отрезка Осью называется прямая, на которой фиксировано положительное направление и выбран масштабнь!й оп!резаке, Координатой ненулевого направлеттттого о!презтса ЛВ, лежа!агвана оси ), назьиается число АВ, модуль которого равен длине ЛВ направленного отрезка ЛВ, изнерснной масти!пабныл! отр'оком оси 1; оно положительно, если направленный отрезок ЛВ и ось 1 имеют одинаковое направление, тл отрица,!тельно в проттлвном случае, Координата пулевого направленного отрезка по определению равна нулю.
Часто осью называю~ яра!!!то, на которо," фиксировано иолонтнтстьноз ьанранзе !не. В аналитическое геок!!ран ионятнс о: и употребляется чаще всего в тон смысле, как только что указано в исконно!! тексте, Г а а,а Ь АНАЛИТИЧГСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НЛ ПРЯМОЙ 5 3. Ось координат. Координата точки Осью координат называется ось, на которой фиксирована точка О, называемая началом координат. Координатой х точки М, лежащей на оси координат, называется координата направленного отрезка ОМ: х= ОМ.
Точку М, имеющую координату х, обозначают так: М(х). Точка Е (1) называется единичной точкой. Отрезок, концами которого являются начало коордипат и О Е единичная точка, равен масштабпому у отрезку (рис. 2). Ось координат можно задать, фиксиРас. 2 руя на прямой две различные точки О и Е (начало координат иедипнчную точку), так как при этом па прямой устанавливается положительпое направление (от О к Е), фиксируется масштабный отрезок ОЕ и начало координат О.
Направленный отрезок ОЕ, началом которого является начало координат, а концом — единичная точка Е оси координат, называется масштабным (или единичным) и обозначается буквой е: ОЕ=е. Координата масштабного направленного отрезка ОЕ равна !. Направление масштабного отрезка ОЕ совпадает с положительным направлением осн координат. При помощи системы координат на прямой осуществляется взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек прямой и множеством всех действительных чисел, т.
е. 1) каждой точке оси координат ставится в соответствие одно и только одно действительное число х (координата этой точки) и 2) каждое действительное число х является координатой одной и только одной точки этой прямой. Для построения этой точки в случае х=Д О надо отложить от начала координат отрезок ОМ, длина которого равна ~х~; прн этом отрезок ОМ откладывается в положительном направлении оси, еслп х > О, и в отрицательном, если х (О. Конец М отло.кснпого отрезка и будет точкой, координата которой равна х. чч теоегмх тлля ~ь 4. Теорема Шаля. Координата направленного отрезка, заданного двумя точками декартовой оси координат.
Расстояние между двумя точками, лежащими па осн координат Теорема 1 (Шаля). Если Л, В, С вЂ” три .побыв точки оси, то АВ+ ВС.= ЛС. хток аз а те льс т во. Предположим, что точки Л, В, С попарно различны. Если точка В лежит между точками А и С, то длина отрезка АС равна сумме длин отрезков ЛВ и ВС: !АВ!+~вс~=-~АС~; по так как в рассматриваемом случае направленные отрезки АВ, ВС н АС имеют одинаковое направление, то числа АВ, ВС н АСимеют один и тот же знак, а потому ЛВ -;-ВС==- АС. Если точка С лежи~ между Л и В, то АС+СВ = АВ, А — СВ =- ЛС, СВ= — ВС, ЛВ+ ВС=- АС. Если точка Л лежит между точками В н С, то ВА+АС=ВС, — ВА — , .'ВС = АС, ВА = — АВ, ЛВ+ ВС= ЛС. Если точки А и В совпадают, то ЛВ+ВС= ВС= АС.
Если точки В и С совпадают, то АВ+ВС= АВ= АС. Наконец, если точки А и С совпадают, то АВ+ВС= Ав+ВА=О= АС. Теорема 2. Координата АВ направленного отрезка АВ, заданного двумя точками А ~хд) и В ~хя) оси координат, вычисляется по формуле АВ = х, — х,. Доказательство, На основании теоремы Шаля ОА+ +АВ=ОВ, откуда ЛВ = О — ОА = х,— хм Теорема 3. Расстояние д между точками А(хт) и В(хз) оси координат вычисляется по формуле д=~х,— х,!. Зта теорема является следствием предыдущей. 8 Г а а аа г Лп т ЗИтИЧПСКЛЯ г ГОЧг тРггЯ НЛ ПРЯМОП й Б. Деление направленного отрезка и данном отношении Пуспгь на одной и той эке п,замой лежагт два направленных отрезк г АВ и СО, лгрич .и С0 чевыроасденный поправ.генный АВ огпре:ок, Тогда опгношением — г случае, если пап равлгнный СВ Оогггезах АВ таКжв НЕВЫрОждЕННЫи, Навмеастея ЧиСЛО Л, абСОЛЮт- АВ ная величина которого равна отногиению —, и котпорог половкисо тсльно, если АВ и Сг) имеюлг одинаковое направление, и отричательно в противном случае.
Если отрезок АВ вырожденньгй, а АВ отрезок СЕг иевырождснпый, то будем считать, что — =О. Если Сы АВ отрезок СВ вырожденный. то отношение — не определяется. СВ Если отношение АВ к С0 равно )., то пишут АВ СР Пусть на некоторой прямой задан иевырожденный направленный отрезок ЛВ и пусть С вЂ” какая-нибудь точка этой прямой, отличная от точки В. Отношением, в котором точка С делит невырохсденный направленный отрезок ЛВ, называется чис.го Х, определяемое соотношением" АС Х СВ Из этого определения следует, что л, > О, если точка С лежит между точками А и В, и л, <О в противном случае.
При этом 1й) < 1, если точка А лежит между точками В и С, и )Х! > 1, если то гка В лежит между точками Л и С. Заметим, что отношение, в котором точка С делит невырожденпый направленный отрезок АВ, никогда не равно — 1. Теорема !. Если на оси координат заданы две различные точки А (хг и В(х,) и если точка С(х) делит направленный отрезок АВ АС а Огношеггие — наэыиают также простыи отношением точек А, В, С и СВ обозначают (АВВ). 5" дслгннг нзпглглгнного Отгсзкл в дхн!!Ом ОГБОп!г1~!и! 9 в ошно!иенни Л, то х — х, х, — 'Лх, Л= — и х=- хх х 1-гь Доказа~ельство. Из данного определения отношения Х, в ко~ором точка С делит направленный отрезок ЛВ, а тгкжс из определения координаты напраглепного отрезка, лежащего на оси.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
