1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 4
Текст из файла (страница 4)
О~сюда следует, что точкаМ(х, у, г) лежит на осп Ох тогда и только тогда, когда у=г — — О; на осн Оу тогда и только тогда, когда г = х= О и на оси Ог тогда н только тогда, когда с =- у = О. '(ля начала координат (и только для этой точки) все три координаты равны нулю. Г ~ ь ь !! пгостгйп!иг Гопносы !очки,".,(1, 0 01, Е,(0, 1, О), Ев(0, 0 1) называются сдпн!сь ными точками осей координат. Точка Е(1, 1, 1) называется едп. ничной точкой системы координат. Генарал телепипед с вершиной в начале к<юрдинат О и с ребрами ОЕ„ОЕ„ОЕа называется масш.
табиым параллелепипедом. Отрезки ОЕ„ОЕ,, ОЕ, являются масштабнымн отрезками соответственно осев Ох, Оу, Ог. Векторы ОЕ, = е,, ОЕе = е,. ОЕ, = е, называются масштабнымн векторами соответственно осей Ох, Оу, Ог, Об!ная декартова система координат в пространстве может быть задана упорядоченной тройкой прямых, не лежащих водной плос кости, и проходящих через одну точку, и единичной точкой Е (пе лежащей в одной плоскости ни с какой парой из заданных прямых).
В самом деле, проектируя единичную точку Е па каждую из за. данных прямых параллельно плоскости, содержащей две другие прямые, мы построим единичные точки Е„Е.„Е;, этим самым будут определены и масштабные отрезки, и положительные паправ. лсшгя иа данных прямых. Прп помо!ци общей декартовой системы координат устаивали. вастся взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек пространства и множеством всех упорядоченных троек дей.
ствнтельных чисел. Здесь для построения точки М, имеющей коорднпатамн заданные числа х, у, г, поступа!от так: если хф0, у ~0 г:~0, то строят на осях Ох, Оу, Ог точки Р, О, Я, имею!цне па этих осях координаты, соответственно равные х, у, г, и проводят через точки Р, Ц, )с плоскости, соответственно параллельные координатным плоскостям уОг, гОх, хОу; точка М есть точка пересе«ения этих плоскостей. Если одна нз координат х, у, г равна нул!о, например а=0, то точка М лежит в координатной плоскости «Оу и имеет в этой плоскости относитель- Х но общей декартовой системы координат; заданной осями Ок и Оу, координаты к и у; Ез построение точки М для этого случая ука.
вано в 5 9. Аналогично строится точка М, если у=0 (в этом случае она лежит в 9 плоскости гОх) и если х=-0 (в этом случае Х точка М лежит на плоскости уОг). ж Е Декартовой прямоугольной системой ко- ординат в пространстве называется упоряРис 16 до«енная тройка попарно пеопендикулярнь!х осей координат с общим началом координат О на каз!едой из них и с однил! и !пем же масшп!абным отрезком для каждой оси (рис. 16).
Определение декартовых прямоугольных координат точки форму- лируется аналогично соответствующему определению общих декар- коогдиплты игктоол товых координат точки, а именно; пусть Р, Я, 77 — ортогональпьи проекции ~очки М на оси Ох, Оу, Ог (рис. 17); х — координата точки р нл оси Ох, у — координата и точки Я на оси Оу, а г — координата точки /г па оси Ог. Три числа х, у, г назь!ва!отса декартовымн прямоугольнымп координатами точки Л1. Отметим, что часто масштабные векторы осе,"! Ох, Оу, Ог в ггекар гавай прямоугольной системе У координат обозначаются ОЕ! =г, ОЕв=-/ ОЕа=й. Рис !7 й 11.
Координаты вектора на плоскости и в пространстве Проекпией* вектора АВ называется вектор А'В', еое А' и В'— проет!ии пючек А и В. .'что определение обосновывается следу!ощсй теоремой. Теорема 1. Проекс(ии равных направленных отрезков равны, Доказательство. Пусть АВ =С0, Обозначим проекцию направленного отрезка АВ через А'В', а проекци!о направленного отрезка С0 через С'0'. Так как АВ =СО, то середина отрезка А0 совпадает с серединой отрезка ВС (теорема 8 7, условнс необходимости), а так как при параллельном проектировании середина отрезка проектируется в середину его проекции, то середина отрезка А'0' совпадает с сеоеднной отрезка у В'С', значит (теорема 87, условие до- 6 статочности), А 'В' =- С'0'. Введем па плоскости общую ж декартову систему координат.
Пусть Рис. !8 А — произвольнь!й вектор, лежа- щий ватой плоскости, а А'В' и А"В"— его проекции на осп Ох и Оу параллельно осям Оу и Ох (рис. 18). Координатами вектора АВ в общей декартовой системе координат на!ыпаются числа х, у, где х — координата вектора А'В' на оси Ох, а у — координата вектора А"В" па оси Оу. * Ииеетси в виду любой иа трех в и до и иараллельиого проектировании Я 8). Г в а в а 1! ПРОСТВЙ!ВИГ ВОПРОСЫ Аналогично определяются координаты вектора АЛ в обаюйлскартовой системе координат в пространстве: это упорядоченная тройка чисел х, у, г, где х — коорд1гпата иа оси Ох проекцнп Л'Л Вектора АВ иа ось Ох параллельно плоскости уОг и т. д. (Рнс. !9). Рис 19 Если вектор а имеет координаты х и у (на плоскости) или х, у, г (в пространстве), то будем обозначать его (х, у) (на плоскости) и (х, у, г) (в пространстве) и писать а=(х, у) и соответственно а=- (х, у, г).
Из теоремы 1 и определения координат точки следует, что координаты вектора а являются координатамн его конца Р, если вектор а отложен от начала координат: ОР =- а. Итак, вводя на плоскости общую декартову систему коордийат, можно каждому вектору а этой плоскости поставить в соответствие упорядоченную пару чисел х, у — координат этого вектора в выбранной системе координат Обратно, каждая упорядоченная пара чисел х, у является координатами некоторого вектора а. Для построения этого вектора достаточно построить точку Р(х, у) в выбранной системе координат.
Класс всех направленных отрезков, равных направленному отрезку ОР, и являетсч вектором а с координатами х, у. Аналогичное положение имеет место н в пространстве Это соотве~сгвис между гекторами плоскости ч у к пядоченными парами чисел (и соответствие между векторами пространства и кооединьты ввктоьа упорядоченными тройками чисел) взаимно однозначно, так как два вектора а и Ь равны тогда и только тогда, когда равны нх соот. ветствующие координаты. В самом деле, отложим векторы а и Ь от начала координат: Ор=а, ОО=Ь.
Соотношение а = Ь имеет место тогда и только гогда, когда точки Р и О совпадают, г с. тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты. Теорема о. Если вектор АВ задан своим началом А(х,, у,) и концом В (х, уе) относительно оби(ей декартовой систелил координат, то его координиты х и у вычисляются по формулим х=-хь — хы у=у,— уы До к а за те л ь ство.
Пусть А'(х„О) и В'(х.„О) — проекции точек Л и В па ось Ох параллельно оси Оу. Тогда вектор А'В является проекцией вектора ЛВ на ось Ох параллелыю оси Оу; теперь па основании определения координаты вектора и теоремы 2 $ 4 имеем х= А'В' х,— х,. Аналогично выводится формула у = у, — у,, Теорема 3. Если вектор ЛВ задан своим началом Л(х„ую г1) и концом В(х,, у„г,) относительно оби~й декартовой систелы координат в пространстве, то его координаты х, у, г вычисляются по формулам х = х. — х„у = у, — у„г = г, — г,.
Д о к а з я т е л ь с т в о аналогично доказательству предыдущей теоремы (только проектирование параллельно координатным осям заменяется проектированием параллельно координатным плоскостям). Теорема 4. Координата ортогональной проекции вектора ЛВ на ось ( равна длине АВ етого вектора, умнолсгнной на косинус угла ~р между вектором АВ и осело и коорд. пр., АВ = АВ соз ць Доказательство. Так как проекции равных направленных отрезков равны между собой, то можно считать, что вектор ЛВ отложен от произвольной точки А оси (, Обозначим тогда через С проекцию точки В на ось Е Если всктор АВ ненулевой и угол между вектором ЛВ и осью ( острый (рис.
20), то коорд. прн ЛВ = АС = — ЛС =- АВ соыр, г гиии гг пиостгпгпие вопьосгг Если вектор АВ ненулевой н угол меж!у вектором ЛВ и осью1 тупой (пис. 2!), то коорд. пр. ЛВ= ЛС= — АС= — АВ сов гр= ЛВсоагр. Случаи гр=0, гр= 90", гр= 180*, о также случай, когда вектор АВ нулевой (в этом случае гр — любое число) предоставльетси рассмотреть чи тателю. Рис 2! Рис, 20 Теорема 5. Пусть 1 и т — две оси, оброзцюгциг !!ежду собой угол гр, Пусть А — вектор, коллинсарный оси т, а А — его координата на втой оси. Тогда координата ортогональной проекции вектора АВ на ось 1 равна координате АВ этого вектора на оси гп, умноженной на кос!гнус угла гр между осями 1 и пг: коорд. при ЛВ= АВ сов:р.
Доказательство. Если направление вектора АВ совпадает с направлением сои т, то АВ = ЛВ, а, кроме того, угол р между осями 1 и т равен углу между вектором АВ и осью 1. Поэтому на основании предыдуп;ей теоремы коорд. при АВ = АВсозгр= АВ созцг. Если же направление вектора ЛВ противоположно направлению осн т, то ЛВ= — АВ, а, кроме того, угол между вектором .гЗ и осью 1 равен п — чг. Поэтому на основании предыдугдей теоремы коорд, пр., АВ- АВ сов(н — гр) = — ЛВ сов гр=- АВ совр. Определеггие. Назовем ломаной А,А,Ли... Л„упорядоченн)гго совокупность и точек пространства (порядок огонек определяется порядком их записи).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
