1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Пусть М вЂ” произвольная точка гиперболы, А и  †точ пересечения с асимптотами касательной к гиперболе в точке М тогда !з! !и'!1~!и!!и!!ми чюю11 нных ПРГОпплзои !!!!!и 5лй !'. МА=МВ. 2'. Плошадь ДОЛВ ичсст о!ау и ту чке величину при любом положспиа точки М иа гиперболе (рвс. 252), В самом деле, если М,— вершина гиперболы, а А, и Ва — точка, в кото. рых касательная к гиперболе в точке Мо пересекает е зсичптоты, то МаАо=М,Во. Рассмотрии гиперболический поворот 8 (79, пример 5), преобразующий данную гиперболу в себя и переводящий точку Ма в точку М. Прй этом касательная к гиперболе а точке Л(о перейдет и касательпую к гиперболе в точке М и точка М будет серединой о~резка АВ в силу того, Рис 253 Рис.
254 что гиперболический поворот есть аффиииое преобразование; а в силу того что это преобразование сохраняет площади, нмсеч! пл. ДОА,Во — — пл. Д ОАВ. Пример 3. Из 4 (23 вытекает следующий способ построения касатсльпой к параболе из точки М, лежащей на сс оси: строим ОУ=ОМ, РО ( Мдг, тогда МР и МΠ— касательные к параболе (рис. 253). Пусть точка М пс лежит иа параболе (рис. 254).
Проведем шрез точку М прямую, параллельную оси параболы, и пусть зта прямая пересечет пзра. балу н точке 8. Рассмотрви параболический поворот, переводящий точку В в точку О. Строим образ М„точки М при этом повороте. Далее, Очч'о = ОМа РоОо ( ч)(о!фа. Теперь сделаем параболический поворот, обратный рассмотрспиочу. Тонка Мо вернется в точку М, а касательные М,Р, и А(оОо (зти прямы- на рис.
254 нс наказавы) перейдут в касательные МР и МО к параболе. Лффиипые прсобрззовзпия примеишотся и основном к чсч свойс!ваи ливий второго карнака, которые связаны с поняткем параллельиости, отношения параллельпых отрезков, отпошсиия площадей, касатслшюй к липин второго йорядка, диаметра, асимптоты. 54О Г.г г г г КРР ЛИ11РППЬ1Р и г "Ы1НИ ЫР ПРГОВРКЗОВАНИЯ и 188. Аффниная классификация линий второго порядка О п р е д е л е и и е.
Две линии вп1орого порядка принадлежат одному и о1ому же аффинному классу, голи существует аффинное преобразование, переводящее одну из зтих линий в другую. Если же одну линсио никаким аффинным преобразованием нельзя перевести в другую, то зти линии принадг1ежат различным аффинным классам (линии аффинно незквивалентны). Теорема Все линии второго порядка делятся на 9 аффинных классов: 1'.
Зллипсы. 2'. Мни.нРгРР з.глипсьг. 3'. Паря л1нимьгх пересекающихся прямых. 4'. 1 иперболы. 5 . Парь1 пересекающихся прял1ых. б'. Параболы. 7'. Две параллельные прямые. 8'. Две мнимые параллельные прямые. 9'. Две совпадающие прямь1е. Ряс. 255 Доказательство. Докажем сначала, что всякие две линии, припадлежандие одному классу, аффннно эквивалентны. Возьмем дза Лигб1г1Х ЭЛЛИПСа Иа ПЛОСКОСТИ, И ПуетЬ ИХ КЗНОПИЧЕСКИЕ ураннения (вообпРе говоря, в разных системах координат) будут (рис. 255): у г —,+ —,=!. о'г Ь'г кг у' —. + — = 1, чг Ьг Производя аффинные сжатия, г а ь х = — Л, ь а ааа ая аинн'я класси алкания линий 64! к осям О'у' и О'х', мы преобразуем эллипс а" Ь" в эллипс Ха — + — =1 аа Ьа— конгруэнтный эллипсу х' у' — + — =1 яа Ь Ха у' ха, да Теперь эллипс — + — = ! совмеп.ается с эллипсом — -,'- — = ! яа Ьа аа ' Ь' движением. Так как аффинные сжатия и движения — афсрннные преобразования, то и результяруюшее преобразование, переводящее второй эллипс в первыи, также аффинное.
Рис 256 Гипербола. Локазательство того, что любая гипербола может быть аффинпо преобразована в,т:обую другую гиперболу, проводится аналогично (рис. 266). Парабола. Рассмотрим две параболы уа=-2рх и у'=2рх'. Произведем преобразование гомотетии х'= — Х, у'= — У. Тогда Р р'а р'а парабола у'= 2рх' перейдет в лилию -„- !'а= 2 — Х, или г'а = Р" = 2рХ, т. е. снова в параболу, параметр которой рагеп р. Теперь парабола У'=2рХ с параболой у'=2рх созмешастся движением (рис. 257). Таким образом, все параболы не только аффинно эквивалентны, но даже подобны, Г11! Г а ~Л ЛЛ' 111'11ЬИ11ЫЕ И ЗФФ11ПН11Г ПРЕОГ1'ЛЗОВЛНИЯ 1 ассыотреч11с ОсГальпых с'!'!'часа 1Ге !!редставляе1 затрулпспип.
Перейдем к доказательству .торой части теоремы: всяк!1с две лпнпи, прина;!лежа!цие разным классам! аффинпо неэквивалептны. 11рсжде всего заметим, что так как аффпиное преобразование выражается линейными соотношениями в координатах, то образ л1обой линии второго порядка при любом аффипном преобразовании есть линия второго порядка. Эллипс нельзя преобразовать аффинно пи в одну из других линяй, указанных в условии теоремы, так как среди о У всех линий второго порядка эллипс — единственная линия, лежащая в ограниченной части плоскости н содержащая бесконечное множество точек (действительных). Это свойство Ряс, 257 множества сохраняется при лю- бом аффннном преобразовании, поэтому образом зллнпса при любом аффинном преобразовании будет снова эллипс.
Гипсрбола от всех остальных линий второго порядка, перечисленных в условии теоремы, отличается тем, что имеет две везви и не содерх1ит трех точек, лежащих на одной прямой; эти свойства сохраняются при аффпнном преобразовании, поэтому аффинным ооразом гиперболы будет гипербола. Г1арабо..а от всех остальных линий второго порядка, указанных в условии теоремы, отличаетсв тем, что является неограниченной линией, имеющей одну вегвь, и не содержит трех точек, принадлежащих одной прямой; это свойство сохраняется при аффинном преобразовании. Две пересекающиеся прямые при аффинном преобразовании переходят в две пересека!О1циеся прямые, а две параллельные прямые — в две параллельные прямые.
Гели линия второго порядка распадается на две мнимые пересекающиеся прямыс, т. с. яа плоскости есть только одна точка, координаты которой удовлетворяют дащ!ому уравнению, то после аффинцого преобразования образом этой точки будет точка, т. е. образом двух мнимых пересекающихся прямых будут снова две мнимые пересекающиеся прямыс. Мнимый эллипс аффинно пеэквивалентен двум мнимым параллельным прямь!и, так как мнимый эллипс имеет единственный центр, а две мнимые параллельные прямые — прямую центров, а зги свойства сохраняются при л!обом аффинном преобразовании.
Е 1и, лФьиппля классижиг птия повггхностей Доказанная теорема позволясз назвать проведенную выше классификацию линий второго порядка аффиниой. Таким образом, аффшшой классификацией линий второго порядка является разделение всех линий второго порядка иа 9 аффинных классов, в каждый из которых включаются все липни второго порядка, такие, что любыс две из пих могут быть переведены одна в другую некоторым аффипиым преобразованием; если же липин второго порядка принадлежат разным аффинным классам, то никаким аффипиь|м преобразованием одна линия пе может быть переведена в другую.
Простейшие представители девяти аффицных классов линий второго порядка таковы: 1) х'+у'=1 эллипс 2) к" +у'= — ! мнимый эллипс 3) х'+у'=О две мнимые пересекаюшисся прямые 4) к' — у'=1 гипербола 5) х' — у'=О две действительные пересекающиеся прямые б) у'=х парабола 7) хе= 1 две параллельные прямые 8) х'= — 1 две мнимые параллельные прямые 9) хь=О две совпадаюгцие прямые 9 189. Аффииная классификация поверхностей второго порядка Определение. Две поверкности второго порядка принадлежат одному и тому же аффинному классу, если существует оффинное преобразование, переводящее одну из поверхностей в другую. Если же одна поверхность второго порядка никаким оффинны.ч преобразованиел~ не,кажет быпьь переведена в другую, то зти две поверхности второго порядка принадлежат различным аффинным классам.
Теорема. Все поверхноспги второго порядка делятся на 17 аффиннык классов, названия которых даны в теореме 3 з" 152. Доказательство теоремы состоит из двух частей. 1. Любые две поверхности второго порядка, принадлежащие одному и тому же классу из числа семнадцати, указанных в теореме 3 э 152, могут быть аффиипым преобразованием переведены друг в друга. Это доказывается совершенно так же, как для линий второго порядка. 2.
Любые две поверхности, принадлежащие к разным классам из числа семнадцати, указанных выше, никаким аффинным преобразованием нельзя преобразовать друг в друга. Пршшип доказательства этого положения состоит в том, что сравнивая две поверхности, мы указываем такое свойство, инвариантное относительно аффинного преобразования, которым обладает одна поверхность и не обладает другая. Яа ! Г а а за ХИ', ЛИН!ГЙНЫГ и АФФИНИЫГ ПРГОВРДЗОВЛНИЯ Мнимый эллипсоид, мнимый эллиптический цилиндр и две мнимые параллельиыс плоскости не содержат ни одной действительной точки и, значит, аффинпо ис могут быть преобразованы ни в одну из поверхностен остальиых аффинных классов, так как при аффиниом преобразовании действительные точки переходят в действительные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
