1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 88
Текст из файла (страница 88)
40 2~ )' Следовательно, Лл 1 ! 1 3л-~1 2,1 2 бл-1! 00 0 ( 2)л-1 1 — ! ! 121 10 — ! пл 1 ! бл 1 — За '-:,-2 6" зл- +6'- + ! 1 — А ! 3 1 5 — ) ! !=0, 3 1 ! — )! ,1 21т Я = — (Лз — А — 6Е) = — [ 2 4 2), ~„1) 2)л-1 ба — т ! 2 еж — ~ Зл-т бл-т+( 2)л-1 3" '+4 бл ' — 3" '+2 бл 2)л-г 3л-з+2 бл-г 3л-г+бл-з ( 2)л-х З !ЭО. ПРИМЕРЫ И ЗЛДЛ "И! К ГЛЛВН Х!и 55;1 !Т. Пуст! / — !!ннс!и!о. прсобрлмшюше шшжсс!ва ьссх векторов плоскости (илн пространства) Введем слс,!ующис опрс,!е:!сипя: /1 /л ег=!+(чь — +...+ — +..., 2! ' ' л! /з .
/1 /зл+! а!и(=/ — — += —,—...+( — 1)л, +." * 3! 5! ''' (2ллг1)' /з /л /зл ссз/=! — — + — + . +( — !)л — '+" ° ° 2! 4! (2л) ! /з /з /л !п(!+/)=/ — — + — —" +( — 1)л" — '+." ° 2 ' 3 ''' л (1+/)» !+!,/+ (з+ + ' /л ( ! 2 ''' ! 23...п доказать, что з1пз/+созе/=! (! — единичное преобразование), з!п (/+ я)=з!и / сов 3 ' сов/ ч!Веб соз (/ 3: 3) =сов( сов я 4- ып ( з!Пп зуев — е)лх, (в!)' = е/, !ег) '=:е Доказать, что если / — внтиснмметрическос преобразование, то ег — ортогоз иальное преобразование. 3 а м е ч а и и е.
Суммой ряда /1+/з+ ° +/ + элементамн которого явля!отса лнпейныс преобразования множества всех век-. торов пространства (или плоскости), называется предел последовательности з =/ +/з+ +/, частичных сумм этого рода. Линейное преобразование з называется прсделот! ПОСЛЕДОвательности з„ линейных преобразований, если для любого вектора х и л!обого положигсль. ного в существует такое число /)1, что для всех л > Л! выполняется неравен. ство (злх — зх/ ( ж Если (а~"~) — матрипа, сооп!етству!ащая лиаейпому преобразованюо в любом базисе, то для того чтобы последовательность зл имела предел, необходимо н достаточно, чтобы существовали пределы йщ и!л) — и.„ м л л При этом линейное преобразование з, соответствующее матрние (а;з), и будет пределом последователю!ости з„, Решен не, Пусть, например, / сеть линейное преобразование множества всех векторов плоскости и пусть собственные значения Хз и лз этого преобразования отличны от нуля и нс равны друг другу: )., Ф О, )., Ф О, д~ Ф дз Тогда (л )л / ЛЗ л / )1 Л )"! )'л )" 2 )'1 (стр.
553). ЯБВ 1' г е е а Х11 ЛННВНПБ1Е П Лс Ф11ННЫВ 1ПВОБРЛЗОВЛ1111)г (ггсгоде а сил) н! 1 иягл!х аг иге оптс. с ю'и'и Š— ).! во 1= „51П )1+,— 51П Ла, 11 Лт ' Ха — ).г ) — ).а соь )=- — =- соя Л, + — ' соа Ха ).,— Ке ).1-Лг Отсюда 2)"11 ).а, ) 2)'1); ), () 1 — г ) (1 — г.а! Но ),' — (лгзг Ла) )+)!!а=-1' — !1)+ )а=О, значит, остается 2)1 — 2 (Лг-!-) 1) ) +Х~+Л~ юп )+ соаа ) = (лг — Ла) а 2()о+Ха)) — 2)о)1 — 2[), +)„) )+1~+1,"" () ) )а гахвь хт ОЛЕИЕНТЫ ПУОЕК'ХИВНОИ ГКОИЕТУИИ $191. Проективная плоскость 1. Первая модель проективной плоскости Пусть дана плоскость и и принадлежащая ей прямая. Присоединим к множсству точек прямой новый элемент, природа которого для нас соверщенно безразлична.
Мы получим новое множество, состоящее из точек рассматриваемой прямой и вновь присоединенного элемента. Это новое множество называется и роек т и в н ой яр я мой, соответствующей взятой обыкновенной прямой. Элемент, вновь присоединенный к множеству точек обыкновенной прямой, называется несобственной, илп бесконечно удаленной, точкой проектнвиой прялюй. Условимся в следующем: если на плоскости взять две пересекающиеся прямыс, то соответствующие им проективные прямые имеют различные несобственные точки, т. е, эти проективпые прямые образуются присоединением двух различных элементов к множествам точек обыкновенных прямых.
Если же прямые параллельны, то условимся, что соответствующие им проективпые прямые имс|от одну и ту же несобственную точку, т. е. эти проективные прямые получаем присоединением одного и того же элемента к каждому из множеств точек взятых прямых. Совокупность всех несобственных точек, т, е. совокупность всех вновь присоединенных элементов, назовем несобственной, нли бесконечно удаленной, проектнвпои прямой.
Множество, состоящее из всех точек рассматриваемой евклидовой плоскости и и всех несобственных точек, называется проективпой плоскостью. Условимся в следукяцей терминолог и: точки н прямые евклидовой плоскости и самою евклидову плоскость будем называть 553 ! а а аа ХИ ЗЛГМаггТЫ П!'ОЕКТИВИОЙ ГЕОМЕТРИИ обыкновенными точками, обыкиовенныхш прямыми и обыкновенной плоскостью, Обыкновенные точки, рассматриваемые как элементы множества, являющегося проективной прямойг, или проективиой плоскостью, будем называть собственными точками. Все прямые проективной плоскости, кроме несобственной, будем называть собственными прямыми проективиой плоскости. Далее, будем говорить, что точка (как собственная, так и несобственная), которая принадлежит множеству, составляющему проективпую прямую, лежит па этой прямой, или что проективная прямая проходит через эту точку.
Покажем следующее. 1. Через любые две различные точки проективной плоскости проходит и припгом только одна прямая. В самом деле, если эти две точки собственные, то существует и притом только одна обыкновенная прямая, проходящая через эти точки, которой соответствует вполне определенная проектявная прямая, проходящая (по принятой наъги терминологии) через две эти точки. Если одна пз точек собственная, а другая — несобственная, то из пучка обыкновенных параллельных прямых, к каждой из которых присоединена эта несобственная точка, нужно выбрать ту, которая проходит через данную собственную точку.
Проективпая прямая, которую мы получим, присоединив к ней данную несобственную точку, и будет той единственной собственной прямой, которая проходит через две данные точки. Если, наконец, обе данные точки несобственные, то они по определению лежат на единственной несобственной прямой. 2. Любые две различные прямые проективной плоскости имеют и притом только одну общую точку. В самом деле, если обе прямые собственные, то они соответствуют двум различным обыкновенным прямым; если эти прямые пересекаются, то данные проективиые прямые имеют различные несобственные точки, значит, указанная выше обыкновенная точка пересечения является единственной точкой, общей для двух данных проективных прямых.
Если же обыкновенные прямые, которым соответствуют данные проективные прямые, параллельны, то данные проективпые прямые по определению имеют общую им обеим несобственную точку, и эта точка является единственной точкой, общей для данных прямых, Наконец, если одна из данных проективных прямых несобственная, а другая собственная, то единственной их общей точкой является несобственная точка данн ой собственной прямой. Мы видим, что на проективной плоскости нет параллельных прямых: всякие две проективпые прямые проективной плоскости пересекаются. з !9!. пгогкт!!вцхя плоскость 2, Вторая модель проективной плоскости Назовем просктивной плоскостью собственную связку прямых и плоскостей трехмерного пространства с центром в точке О.
Кажду!о прямую связки будем называть «точко(Ь> проективной плоскости, а каждую плоскость связки «прямой» проектнвпой плоскости. Ясно, что 1) через две любые «точки» проективной плоскости проходит н притом только одиа «прямая» (это означает, что через две любые различные прямые связки проходит и притом только одна плоскость этой связки) н 2) две любые «прямые» проективной плоскости всегда пересекаются в одной «точке» (т. с.
две л!обые различные плоскости связки имеют и притом только олпу общу!о прямую). Между двумя построенными моделями проектпвных плоскостей можно установить взаимно однозначное соответствие, притом такое, что трем любым точкам одной модели, лежащим на одной прямой, будут во второй модели соответствовать три точки, лежащие также иа одной прямой. В самом деле, пусть н †евклидо плоскость, пополнением которой несобственными точками получена проективная плоскосгь П (первая модель).
Расположим плоскость н так, чтобы она не проходила через центр О связки прямых и плоскостей, н поставим в соответствие каждой прямой связка точку плоскости н, в которой эта прямая пересекает плоскость н, а каждой плоскости связки поставим в соответствие прямую, по которой эта плоскость пересекает плоскость н. Далее, прямой связки, параллельной плоскости н, поставим в соответствие ту несобственную точку, которая присоединена к прямым плоскости н, параллельным рассматриваемой прямой связки и, наконец, плоскости связки, которая параллельна плоскости н, поставим в соответствие несобственную приму!о плоскости 11. Это соответствие удовлетворяет высказанным выше требованиям.
Замечание. Мы построили две модели проективпой плоскости. Изучение проективной геометрии можно производить на любой из них. Первая модель имеет то преимушество, что связывает понятие проективной плоскости с представлением об обыкновенной евклидовой плоскости; построения, относящиеся к просктнвной плоскости, могут быть при этом выполняемы на обыкновенной плоскости (которой соответствует данная проективная), Достоинством второй модели проективной плоскости является возможпосгь свести изучение свойств проективной плоскости к изучешпо соответствующих свойств обыкновенного трехмерного евклидова пространства. Можно построить и другие модели проективной плоскости. Вяз ." а~а хг элементы сеогктнгиоя гсометгнн $192. Однородные координаты точки и прямой на проектявиой плоскости 1 Первая мсдель проектнвпой плоскости Введем на евклидовой плоскости и общую декартову систему координат.
Лополним зту плоскость нссооственнымн точками до проективной плоскости П. Возьмем на этой просктивцой плоскости собствен~ ую точку А). Пусть У, и )' — ее координаты. Гудом называ1ь любую тройку чисел х,, х,, х, однородными коорднцатамп точки Л(, если хаФО и если — '=Л, г, ' хч Из этого опргделения следует, что если х,, х„х,— однородные координаты собственной точки М просктнвпой плоскости, то трн числа яхт, Ах,, йха, где й †люб число, нс равное нулю, также будут одпородпымп координатамн точки М.
Таким образом, однородные координаты собственной точки— это трн любые числа из класса х,:х,;х, всех пропорциональных мсжду собой троек чисел, таких, что последнее число х, ~ О. Это обстоятельство отмечают следующей записью: М (х,:хя,хз) Например, запись М (1:2: — 2) означает, что однородные координать1 точки И вЂ э числа 1, 2, — 2, или 2, 4 — 4, или — 3, — 6, 6 и т, д., аффинные нте декартовы координаты этой точки Х= — 2, )'= — 1. Пусть теперь М вЂ” несобственная точка, !зассмотрим какой-нибудь вектор а, не равный пулю н коллинеарный тем собственным прямым проективной плоскости, на которых лежит точка М Обозначим координаты вектора а через х,, х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
