1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Тогда преобразование гВ гч)Р( каждую из точек (1гОгО), (О:1;0), (О:0:1), (1;1:1) 3 !33. ОСНОВНйя ГВОРСМЛ 571 оставляет на месте. Докажем„что па месте останется и любая точка плоскости, т, с. что 6 3$Й есть единичное преобразование. Пусть х, = Ь„х, + Ь,.х, + Ь„х„ х =6 гхг+Ь хз+Ь х, хз — ззхг + Ьззхз т Ьзахз ПрОЕКтИВНОЕ ПрЕОбраЗОяаинс 6 г»Ч3»2(. ТаК КаК ОПО ТОЧКИ (1:0:0), (О:1:0), (О:0:1), (1:1:1) оставляет неподвижными, то 1:О:0 = Ьгггь,г."Ьзм О:1:О=ь„:Ь„:Ь „ 13'633' 33 1:1:1 =(Ьга+Ьгз+Ьгз) ' (Ьаг+Ьза+Ьзз): (6»г+Ьзз+Ьаз)» откуда Ьы = Ьгг = Ьзз = Ьзз = Ьзг = Ьгз = О 611 ( зз 633 и, значит, Х,:Х,:Х, = Х,:Х,:Ха.
Таким образом, 6 гфе(=Е, где Š— единичное преобразование. Отсюда 9=6й ' т. е. проективное преобразование 6 совпадает с тем, которое было построено выше. Следствие 1. Если проективное преобразование четыре точки проектнвной плоскости, из которых никакие три не лежат на одной прямой, оставляет неподвижными, то оно является тождественным или единичным.
Следствие 2. Существует и притом только одно проективное отображение проективной плоскости П на проективную плоскость П', при котором четырем точкам А, В, С, Р плоскости П, по три не принадлежащим одной прямой, соответствуют четы ре точки А', В', С', Р', также по три пе принадлежащие одной прямой. В самом деле, пусть Й и 6 — два проективных отображения проективной плоскости П на проективную плоскость П', прн котором четыре точки А, В, С, Р плоскости П, из которых никакие три не принадлежат одной прямой, отображаготся соответственно в точки А', В', С', Р' плоскости П', из которых также никакие три не лежат на одной прямой. Произведение 6 36 есть преоб- г з я з и «».
зльгяьы г ы пг ог кы пг ай г ьомь юч»1 Ь72 разо вап и е плоскости )1, при котороы точки А, В, С, гх неподвижны. Следовательно, )о 'Л вЂ” тождестнспное преобразование 6 тя=-Е, откуда 5 196. Примеры проективных преобразований проективной плоскости Пример 1, Важпыч примерам проективного отображения проективнои глас- кости П ца проектианую плоскость 1Г является перспектнпа Рассмотрим в евклндавом пространстве две пересекающиеся плоскости л и н', которыч соответствугот проективпые плоскости П н П'.
Возьмем собственную точку 3, не лежащую ни на одной из плоскостей н н н' )рис. 260). Пусть М вЂ” арвизвольцая точка плоскаств и и пусть з 5М пересекает плоскость П' в точке М'. Если прямая ЯЯ параллельна п»оскости н', то гочка М' — это несобственная тачка плоскости 1Г, присоединяемая к прпмыч плоское.и н', параллельпыч прямое ЯМ) аналогично, если прямая, проходягпач через 5, параллельна плоскости л, та прообразом точки М', в которой опа пересекает плоскость л', будет песобстненпая л» ~ точка плоскости П, присоетннчечая к прямыч п.юсьости и, парагьлсльпгяч указанная прямой; наконец, если прямая, проходящая гере« 5, параллельна прямой и, по которой перссекаюгся плоскости п н и', та несобственной точке прямой р ьгьг ста»им п соответ.тане самое эту точку Такое сваг всгст вне нлос,фх М' костей и п 1Г пазы»аегся перс п с кт и в п ы ч, Оцо взаимно одиозна'шо и трсч гпобыч точказ цроектннпой плоскости П, припал южащим о«пан прямоп, соответствуют трн то ~кн проскюпвой плоскости П', так»ке пр~гпздлегкаггггге одной пря юй, следовательно, пер.
спектива — проскпшное отображение Рнс 260 Эти соображения находят простое приложение к трансформированию аэрофогосннмков Прсдполо.кич, что с летягцсго са»~овеса прои»»ош»тся фотографирование местпощн Если в момент экспозиции фотоаппарата его ось вертикальна, то изопражепг»е плоского куска местности на фотопленке подобно фотографнруечаму куску честности и фотография является хорошей картой»естности.
Однако вследствие цензбехкпой качки сачолега ось фотоаппарата мснясг свое направленце и на бютоплсггке надува~отея ра»»вчпые перспективные изобра. жепия час»ей месгностп (рнс. 261). Фотографирование обычно производится стол~ час»о, чш ка.кдый следуюгцнй фогоспихюк захнагычасг часть честности, заснятой па предыдунтем сшгмке Получевные фогоспнчхи |у.хдаются э нс. правлении от пскажсций, внесенных крепом сачолств. Фотоснимки испрвв. ллкп фоготрачсфарматороч (рис.
262) Па негативе цроклзлыва.от какнепибудь чегыре гочки, к» которых никахпе грн це лежат на одной прямой, взаимное распочожение которых иа карте предварительно нзвесгпо(папрггм р, дерево, колодец, доч, фабричная труба), и поворачивают негатив гак, чтобы лу ш, падающие от точеч,ваго исто»инка сне~э находяпхегося пад негативом, проходя сквозь накалы, запжчп те зысга, которые им соогветствугот на карте и которые нанесены пз "»сппа.шпоч листе зу»з и, лежа э:",г ног нсгвтч ач После того как сощыщснпс извесгпых четырех ориентиров 1нз когорых ннкв- $196. ПРИМПРЫ 1П()нктИНИ1!К ИР! ОЫ'ДЗОПДИИИ 573 кнс три ие лежат на одной прямой) достнп!уто, еы ь!ок,ем утвср кда1!ь ч!о оптп !ески осуществлена перспекз ива, ко!орая дае! п роек! явное о!ображе.
нис !ротоспиыка в истяииую каргу честности Лист бх пагн замен!пот ч!отобу. вагой и изготовляют позитив в !)!айдсинох! положе!Ищ пега!нза )освсщая его Рпс 2б1 сверху тем же точечпьы! источником снега). Полу сппые затее !рогоспимки склеиввкп друг с другов по гравипам общих частей Пример 2. [Ьчажсхг, как начертить абра! .а! оп щ!будь Риг) р!з, лежа. щей па проекгнвьой плоскости ь прн пр!!ектпвнох! преобразовании. Пусть А', В', С', 0' — образы вершин квадрата А!ЗС!) (Рпс. 263) нрп проективном преобразовании й!. )!а рис, 264 показано, как !огда построить образ ь Имеется в виду первая модель кна !рата АВСО и образы Р', Г!', О', М' середин Р, дУ, О, М нан обРаэ Р'Л'.У'0' кваДРата РАдУО н обРазы апалогичнь!х емУ жно повторить построение, найти образы точек 0„0„0„0, и образы середин сторон квадратов РЛ УО, ОЛ'ВЯ, ОСМО и МОРО и т.
д. Таким образом, будет построен проектнвный образ квадратной сети, покрывающей квадрат АВСО, и если на нем нарисована какая-нибудь фигура (рис. 266), то приближенно по клеткам можно нарисовать ее образ прн рассматриваемом про. ективном преобразовании. Построение таких проективных сеток было с успехом использовано проф. М. В.
Пептковскнм в иомографии прв проектнвиых преобразованиях. На рис. 266 таким построением дан проектввный образ шестигранного паркета. Пример 3. Рас 'д!отрим проектнвное преобразование просктавиой плоскости, оставляющее на месте все точки некоторой прямой ! и еще одну точку 5, не лежащую на прямой С Такое проектнвное преобразование называется г и п е р б о л и ч е ск о й г о м о л о г и е й. Прямая ! называ.
ется осью гомологин, а ~очка 5 — пентром гомологии. Будем считать, по проективная плоскость реализована первой моделью и что 5 — собственная точка, а ! — собственная прямая. Примем прямую за ось Ох, а точку 5 — за единичную точку Рис 262 осн Оу общей декартовой систеоы координат. Пусть и этой системе координат гипер- гомологня выралдается соотношениями х, =аых,+ ддзхз+а,зхз, х =а,,хд+аддх,+а„хз х = аздх, + аз!хе+ аззхз О' пентра 0 его с!оран. 3 квадратов, мо болическая Рнс. 264 Рис.
263 67! Г х а а ч ХР Э:!ЕМЕНТЫ ПРОЕКП!ННОИ ГЕОМЕТРИИ й 1ас ИРимеРы пРОектиВных ИРеОБРАзОБАнии 575 Так как трп точки (1:0:О), (О:0:1), (1:0:1), лежашие на прямой й неподвижны при рассматриваемой гомологии, то 1: 0; 0 = а „: аыгаап 0: 0: 1 = аг ~ . 'атз . 'пап 110:1=(ам-', атз) 1(пят+оса) . (азт+аеа), откуда аат= азт= атз=-аеа= О, а„= пы, Рнс, 266 и соотношения (1) принимают вид х, =ад,х,+а„х„ х =а,ахя, (1') = паях т+ птаха.
Проективное преобрааоввнне (1') оставляет на месте все точки прямой В самом деле, если М(хт;0:ха) — произвольная точка прямой 1, то ее образ 1И'. как следует из формул (1), имеет координаты хз:Огхз, т. е. совпадаетс Я. Потребуем еше, чтобы точка 5(0:1:1) оставалась неподвижной.
Тогда 0: 111 = а,а1пат.' (озе+ атт), откуда пав=О, паа аы — ат„ г !зв. ппимгл ы паопктипыьгт па!сои лзоплиип 577 и погочу х, =пихт, х =аыхе, х,=(а е — ам! хз-рамс . Полагая здесь ап--!, аз,=л, будем нчеть х, =-хт, х,=лхх, х =(й — 1) ха+ха. (2) Э~яма формулами и определяется рассматриваемая гиперболическая гомологня Соогнстствис между собственными точками проективной плоскости при гиперболической гочологнн определгпся соотношениями 8 Х х х'= ! (й — 1) х,+х, (й — 1) у+! йх, йу р ("л — 1) х,+хз (л — 1) р+1 Гиперболическую гомолоспю можпозадагь сс осью 1, центром 5 н парой соотвегствепных ючек й! и .И' (лежащих, конечна, па пряной, проходящей через ценгр 5 гомологии).
Тогда можно и гсо- Рис. 267 мстрпчески построить образ Р' любая точки Р (рис. 267). Па рпс. 268 выполнено построение оправа рисунка и надписи к нему в гиперболической топологии, заданной осью 1, центром и двумя соответствецнычи тачками А н А'. Отчстич, что произведение Г„ГХ галер олнческвх готюлоги(г х — кт, х = лкм ха — (]а 1) ха+ха (Гл) х, =л,, х =рхз, х,=-()а — 1) х,-(-хз (Г,) выражается фортг]лами называется и и н о л ю и н о н и о й.
]г,вадрат ишнолюцнонной гиперболической гомологни есть тождественное преобразование. Очевидно (см. соотношения (Гл„)), только тождественное преобразование н н~иолюцизппая гиперболическая гойология обладают среди всех топологий тем снойстном, что Гз=-Е, где Š— тождественное проскпгвнос преобразование. Если центр 5 гипсрболнчсскои топологии является несобственной точкой и если б( и дг — две произвольные собственные гочки, а М' и )у' — их образы, то (!ас. 269 н 270) — — = — = сопз( РА!' (7ГС' Р (( 017 1В П. С. Маденав х =х„ г х =]рт„ (Г„ ) х,=(1,— 1) их,-',-(ц — 1) хя-';ха=-(!Кч — 1] х,+ха, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
