1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Проективное отображение проективной плоскости П на себя новь'вается проективным преобразованием проективной плоскости. Таким образом, определение проективного отображения плоскости И на плоскость И' и определение проективпого преобразования плоскости П точно такие же, как и определения аффинпого отображения и аффинного преобразования (5 176).
Следует, однако, иметь в виду, что зти определения относятся к разным объектам: определение аффинного отображения и аффинного преобразования дается для евклидовой плоскости, а определение проективного отображения и нроективного преобразования — для проективной плоскости. Этим и объясняется глубокое различие свойств аффинпых и проективных отображений и преобразований. Рассмотрим множество всех проективных преобразованнй проектнииой плоскости И. Пусть ?1 и 3 — два любых проективных преобразования плоскости И. Произведение ЯВ является взаимно однозначным преобразоьаннем и переводит три любые точки плоскости П, принадлежащие одной прямой, в трн точки плоскости П, также принадлежащие одной прямой.
Следовательно, уйти — проективное преобразование. Преобразование Я ', обратное преобразованию Я,— взаимно однозначно. Преобразование Я ' три любые точки Л', В', С' плоскости П', принадлежащие одной прямой, переводит в точки А, В, С, также принадлежащие одной прямой. В самом деле, предполагая, что точки А', В', С' принадлежат одной прямой и допуская, что их прообразы А, В, С при преобразовании й1 ' не лежат на одной прямой докажем (так же, как в теореме ! й 1?б), что прн преобразовании Я все точки плоскости И отображаются в точки прямой А'В'С', а значит, Я вЂ” невзаимно однозначное преобразование. Итак, Я " — проектнвное преобразование, Таким образом, множество всех проектнвных преобразований проектнвной плоскости образует ~руину, называемую группой проективных преобразований проективпой плоскости.
Прн проективпом отображении Я проектнвной плоскости П на просктнвную плоскость П' (и при проективном преобразовании плоскости П) множество всех точек прямой 1 отображается и притом взаимно однозначно на множество всех точек некоторой прямой 566 Г в в в в ХУ ЗЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 1' (зто следуег из того что 91 ' — также просктивное отображение плоскости 1Г па плоскость П) Прямая 1' называется образом прямой 1, а прямая 1 прообразом прямой 1' при преобразовании дЛ. Множество всех проектнвных преобразований плоскости, каждое из которых отображает иа себя какую-нибудь фиксированную прямую, образует подгруппу группы просктнвпых преобразований В самом деле, произведение Йх) проектнвных преобразований, каждое из которых отображает прямую 1 па себя, будет также отображать прямую 1 на себя.
Преобразование 9( ' будет отображать прямую 1 на себя, если преобразование Й отображает 1 на себя В частности, если проектнвная плоскость задана в виде первой модели, то множество Г, всех просктивпых преобразований плоскости, отображающих на себя несобственную прямую, будет подгруппой группы Г проективных преобразований плоскости Каждое из проективных преобразований подгруппы Г, переводит собственные точки плоскости П в собственные точки плоскости П. В самом деле, если бы какая-нибудь собственная точка плоскости П каким-нибудь проективным преобразованием из Г, переводилась в несобственную, то три точки М и любые две несобственные точки переводились бы в три несобственные точки, а значит, при преобразовании, обратном рассматриваемому (также проективном), три несобственные точки переходили бы в две несобственные н в одну собственную.
Это невозможно, ибо три несобственные точки принадлежат одной прямой, а две несобственныс н одна собственная не принадлежат одной прямой. Из сказанного следует, что любое преобразование из Г, порождает в плоскости н, пополнением которой получается плоскость П, аффиинос преобразование Группе 1", всех проективных преобразований плоскости П соответствует в указанном смысле группа всех аффинных преобразований плоскости зз.
5 195. Проективное преобразование плоскости в координатах. Основная теорема Теорезза 1. Преобразование 2 проективной плоскости П, при котором точке М (х,:х.,:х,) ставится в соответствие точка М'(х,:х,:хд) той же плоскости, и Гавкая, что ее координаты выражаются через координаты точки М линейными однородными соотношениями х, = а, зхз + а,х, + аззхз, х азтхз + аззхз + аззхд, азз"з + аззхз + аззхз з !95. Основная теогеззк аа7 где а„азз а„ Л= а„а, азз ~О, азз азз азз является проективным.
Доказательство. В силу условия А~О преобразование В взаимно однозначно. Рассмотрим три произвольные точки А (хз хз:хз), В (уз уз'уз), С((ихз Рру,): ( х,+Руз): (ах,+ну,)), принадлежащие одной прямой. Пусть А' (х,:х,: х,), В' (у,:у,:у,) образы точек А нВ при преобразовании 8. Тогда в силусоотноше- ний (1) образом точки С будет точка С'((ах, + ~у,) з (их, + ру,) з (сзх + ()уз)), принадлежащая прямой А'В'. Теорема 2 (обратная). Всякое проективное преобразование про- ективной плоскости 11 в координатах выражается линейными од. народными соотношениями с определителем Л, не равным нулю До к аз а тел ь ст во.
Реализуем проективную плоскость первой моделью. 1'. Рассмотрим сначала случай когда проективное преобразо- вание 6 несобственную прямую переводит в несобственную пря- мую. Так как образом любой собственной точки является в этом случае собственная точка, то на множестве собственных точек проективное преобразование Й совпадает с некоторым аффинцым преобразованием А Аффинное преобразование А в однородных координатах выражается соотношениями вида х,=а„х,+а„х,+а„х,, аззхз+аззхз+ агзхз (2) хз хз~ 11 зз ФО )а„а,з Соотношениями (2) задается и некоторое проективноепреобразование А, которое несобственную точку (х,:х,:О) переводит в несобственную же точку ((а„х, + а„х,): (а„х, + а„х,): О), Проективные преобразования 21 и А, как мы только отметили, совпадают иа множестве всех собственных точек плоскости П; докажем, что они 'лв Г я а в а ху.
алеменГы пРОььГ1181ГОО 11 Оз!в1ип11 производят одно и то же преобразование и над несобстьеннычп точками. В самом деле, пусть С вЂ” несобственная точка прямой ЛВ(А и  — собственные точки). Тогда и при преобразовании 6, и при преобразовании А точки А н В перейдут в собственные точки А' и В', а точка С перейдет в несобственную точку С' прямой А'В', Итак, Я == А. 2'. Предположим теперь, что несобственная прямая1 плоскости П при проективпом преобразовании 6 переходит в собственную прямую 1', уравнение которой в однородных координатах имеет вид а„х, +а,зх, +а„ха= О.
Доказательство сведем к первому случаю. Для зтого рассмотрим проективное преобразование ", определяемое соотношениями х, = а„х, +а„х,+а„х,, х, = а„х, + а„хз + а.„.х„ х, = а„х, + аззхз + а,зхз, где числа а„, адз, а„, аз„а„, а„выбраны произвольно, но так, чтобы выполнялось неравенство адд адз а,з Ь= аз, а. а,,~О. азд азз азз При преобразовании 2 прямая В перейдет в прямую х,=О, т. е.
в несобственную пряму1о плоскости П. Произведение 26, являющееся проектнвным преобразованием, переводит песобственпу>о прямую в себя, а потому, по доказанному (случай 1з), в однородных координатах выражается соотношениями вида х, =-Ь„х, +Ь,„х,+Ь,,хз Х,=Ь„Х,+Ь зх,+ Ь„х„ хз хз Обозначим это преобразование через А. Из соотношения о6 А находим и(=-)д 'А.
Но в координатах А и 11 ' шв1ражаются линейными однородными соотношениями с определителем, отличным от пуля, следовательно, и проективпое презбразоваиие 6, яьлшощееся произведением 8 ' на А, в координатах также выражается линейнымч однородными соотношениями с определителем, отличным от нуля, ! !23. Основная тпоге211 абв Из теорем 1 и й следует, что проективпое преобразование просктивной плоскости П можно определить в однородных координатах как линейное однородное прсобразова~иес определителем, отличным от нуля па!метим, что соли при проективном преобразовании У( проективной плоскости П образом собственной точки М(х, д) является собственная точка Л(' (х', р'), то координаты х', сС' образа М' точк ! Л) через координаты х и а прообраза выражаются дробнолшипшымн соотношениями 31!х--312!си 3.2 .
3.!Зб З„ап азз 33,1-Гзззп -'; Рз, ' алз-, '332!С-' ,333 ' (3) где ~ а„а„а!3 Л=-саз, аз а21 ФО ) а,д азз азз Обратно, отображение собственных точек проектпвпой плоскости И в собственные, заданные соотношениями (3) при условии, что Л ~ О совпадает на множестве собственных точек с проективным преобразованием х, = а„х, -г а„хз ч а,зх„ х, = аз,х, + а„х, + аз,х„ '13 12311 1 г азз'12 + 1133'13' Отметим еще, что прообразом прямой и,х,+и,х,+и,х,,=О при проективном преобразовании Е является прямая и, (а„х, + а„х,+а,зхз)+ и, (а„х, +а,зх,+азах )+ + и, (амх, + а,зх, + аззхз) = О или (а„и, +а„и, + а„и,) х, + (а„и, +аз,и, + аззиз) хз-).
+ (а!за, т аззаз+ азза,) хз — — О Таким образом, и, = а„и, +аз,и, +аз,и„ 112 а12111+ аззаз+ ссззаз 3 13 1+ 23аз+ ззаз т. е. матрица проективного преобразования, выражающего координаты сс„и,, и, прообраза прямой через координаты ее образа, является матрицей А', транспонированной по отношению к матрице А проективпого преобразования Й. 570 ~ и за ЛГ ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕК!ИВИОй ГЕОМЕТРИИ Докажем следующую основную теорему о иросктивных преобразованиях плоскости, Теорема 3. Если на проективной плоскости заданы две четверки точек А, В, С, 0 и А', В', С', 0' так, что никакие три точки из первой «етверки не лежат на одной прямой и никакие три точки из второй четверки не лежат на одной прямой, тосуи(есгпвует и притом только одно ггроективное ггреобразование, которое точки А, В, С, 0 переводит соответственно в точки А', В', С',0'.
Д ок а з а те л ь с т в о с у ще с т в о в а и и я. Докажем сначала, что существует проективное преобразование 6, которое точки (1:0:0), (О:1:0), (О:0:1), (1:1:1) переводит соответственно в точки А (а,:аг:аз) В(Ьг:Ьз:Ьз) С(с,:с,:с,), 0(йг:йзгг(з). Искомое преобразование будем искать в виде х, = а,рх, + Ь гт)хз+ с,гх,, хз = азрх!+ Ьзг)хе + с,гх,, х„= а,рх, + Ьздхз+ с,гх,, где рным, дМО, гчьО (эти числа определим ниже), Ясно, что зто проектнвиое преобразование точки (1:ОгО), (О:1 0) и (О:0:1) переводит соответственно в точки А (а!!аз!аз), В (Ь,: Ь,: Ь,), С (с,:с,:с,). Для того чтобы точка (1:1:1) перешла в точку (йг!г(з; 1,), достаточно р, д, г выбрать так, чтобы агр+Ьгг)+сгг = с(г, а,р+Ь,у+с,г=й,, а,р+ Ь,о+ с,г = дз Эта система имеет решение относительно р, г), г, так как ее определитель пе равен нулю.
Ни одно нз чисел р, д, г, составляющих это решение, не равно О, так как точки В, С, 0 не лежат на одной прямой, точки С, А, 0 ие лежат на одной прямой и точки А, В, 0 не лежат на одной прямой, Аналогично доказывается, что существует проективное преобразование г), которое точки (1:0:0), (О:1!О), (О:0:1) и (1:1:1) переводит соответственно в точки А', В', С', 0'. Но тогда преобразование В!)( ' точки А, В, С, 0 переводит соответственно в точки А', В', С', 0'. Доказательство единственности. Предположим, что существует еще проективное преобразование Чз, которое точки А, В, С, 0 переводит соответственно в точки А', В', С', 0'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
