1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 94
Текст из файла (страница 94)
будем говорить, что ряд точек А, В, С, О, В, ..., лежащих пв о.пюй прямой 1, перспективен ряду прямых а, Ь, с, а, е, ... пучка с центром О, пе лежащем иа прямой 1, если прямые а, Ь, с, 11, е, ... проходят соответственно через точки А, В, С, О, В, Сложным, или ангарл!оническим, огпношениел1 (абсй) четырех попарно различных пру!ятх а, Ь, с, с( одного пучка с центром О назовем сложное атно!иение (АВСО) четырех точек А, В, С, 0 лежащих на собственной прямой 1, не проходящей через точку О, и перспективньгх прямым а, Ь, с, !1 (в случае, если совпадают пря- мые и и с илц й и Ь, считаем (абсс()=0; если прямая и' совпадает с а или прямая с с Ь, то (аЬс11) пе определяется). :-)то определение нуждается в обосиовапии, а имепио: нужно доказать, что если а, Ь, с, й — четыре попарно различные прямые, прппадлежашис одному пучку с центром О, и если 1 и 1' — дпе собственные прямые, пс проходящие через О, то, обозначая через А, В, С, 0 точки пересечения прямой 1 соответственно с прямыми а, Ь, с, й, а через Л', В', С', 0' точки пересечения прямой Г с прямыми а, Ь, с, й будем иметь (ЛВСО) =-(Л'В'С'0') (() Для доказательства зто!.о соотношения установим сначала сле- ду!ошие положения.
!. Если т! и собствепныс точки А, В, С попарно различны и принадлежат одной прямой 1, ч Π— произвольная точка, ие лежа- щая па прямой 1, то" — г АС ОАС (2) СВ С7СВ ' Отношение площадей двух ориентированных треугольников есть число, абсощотнан всличинз которого равна отношению нх площадей и которое поло. н!итсльно, сели зти !рсуголш!нкн нчсют одинаковую ориентацию, н отрица- тельно, если ориентации их различна, ВЗО Г а а а ХР ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКГИЗИОИ ГЕОМРТРИИ В самом !!еле, треугольники ОАГ' и Г)СВ име!от общу:о гершину О, а остальные их вершины;ежат на одной прямой. Значит, отношение их площадей равно отпошениго оснований.
Далее, если направленные отрезки АС и СВ имеют одинаковое папразле+ ние, го треугольники ОАС и ОСВ имеют одинакову!о ориентацию, а если отрезки АС и СВ имеют противоположное паправлепие, то треугольники ОАС и ОСВ имею| противоположную ориентацию. Значит, и знаки птиошеиий АС ОАС вЂ” и СВ ОСВ одинаковы. Таким образом равенство (2) доказано. 2, Докажем, что ОАС ОАС !!СВ ОС'В (31 где С' — любая точк!и лежашая на прямой ОС (по отличная от точки О). В самом деле, на !сновании уже доказанного СО АСО ВСО ОС АОС' ВОС' откуда и следует равенство (3).
Теперь докажем равенство (!). !". Предположим, что 0 — собственная точка; точки А, В, С, О, А', В', С', 0' также собственные. Тогда (АВС0) = —: — = —: — = СВ ОВ ОСВ ООВ ОСВ ОА7! (4) ОАС ОСА' ОА'С ОСА ОАО ОАО ОА'0 ОА О Аналогично доказывается, что правая часть равенства (4) не меняется, если точку В замен ить точкой В' прямой ОВ, точку С— точкой С' прямой Г)С, а точку 0 — точкой 0' прямой 00. Значит, (АВС0) = ' = (А'В'С'0'). ОС'В' ° ОА'й' Правая часть равенства (4) ие изменится, если точку А заменить на точку А' прямой ОА. В самом деле, иа основании равенства (3) иллеем % 202 лнглРмонпчсское Отношение.
ГлРмонизм 59! 2'. Точки А, В, С, 0 собственные, по среди точек А', В', С', 0' есть одна несобственная. Пусть, например, Р' †несобственн точка. В таком случае по определению (А'В'С'0') = — — . С'В' С другой стороны, (АВСР) ОАС ° ООВ ОСВ ОАО О А'С' ООВ' ОС'ВГ ОА10 Но 00В' В'00 — = — — = — 1 (в силу того что А'В'!!00). ОА'0 А'00 Итак, (АВСР) = — = — — = (А'В'С'0'). ОС'В' С'В' Зе.
Предположим, что точка 0 несобственная, т. е. прямые а, Ь, с, г! параллельны (и попарно различны) илн три из пих параллельны (и попарно различны), а четвертая прямая несобственная. В этом случае равенство (1) следует из того соображения, что если три параллельные н попарно различные собственные прямые, например а, Ь, с, пересечены двумя собственными прямыми ! и !! соответственно в точках А, В, С и А', В', С', то АС А'С' СВ С'В' где а, Ь, с, д — четыре собственные прямые собственного пучка, перспективные точкам А, В, С, О, Теорема 1. Ангармоническое отношение (АВСР) четырех точек лроективной плоскости, заданных своими однородными коорди на- Теперь равенство (!) очевидно, В случае, если одна из прямых а, Ь, с, д несобственная, следует еще заметить, что собственная прямая, пересекаюшая прямые а, Ь, с, д, пересечет три из ннх в собственных точках, а одну-в несобственной; кроме того, в этом случае сложное отношение (АВСР) сводится к простому отношению трех собственных точек.
Выше не было дано определения сложного отношения четырех несобстненных точек А, В, С, 0 Будем считать в этом случае (А ВСР) = (адсд), 592 гзззз хх элементы пгогктивноп ггомгтгии саами Л (х,:хз.хз), В (у,:у,;уз), С ((ах, + ~уз):(ах, + ))у,):(хлх+ Рр,,]), 0 ((Хх, + (лу,); (Ххз + (луз):(Лхз+ пуз)), Лаана (АВСР) = —: + = — '. (5) а ь ан Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что все четыре точки собственные н попарно различные Параллельные проекции точек А, В, С, 0 нли на ось Ох, плн на ось Оу будут тогда попарно раз. личны.
Пусть, например, попарно различны проекции А', В', С', 0' гочек Л, В, С. Р на ось Ох параллельно оси Оу. Тогда (АВСР)=(А'В'СР)=А'с: л'0;= Ас . Ав = свх' «в: св' вв' хе х л х о х хл — хс хв — ло ах,+()у, хл Кх,+ Ни, х, ахз+ руз хз К»з+ пу, хз Хр у, ах,+ ру, у, )х,+ ру, а(з уз ахз -х () уз уз 'лхз+ пуз Если точка 0 несобственная, т. е. Ххз-'груз=.О, то св вс в'с' хс в ах,+ ()у, х, ахз+ ()уз хз ах,+ру, у, алз+ йуз уз Но из соотношения ),х, + ру, = О ахз следует, что .— = — —, так Х хз что опять (АВСР) = — ' Аналогично доказывается справедливость этой формулы, если какал-либо нз остальных точек А, В, С несобственная.
Если все четыре точки Л (х,:хз:О), В (у,:у,:О), С ((ах, + ()у,): (ахз+ ()уз): О), Р (() хл+ рул) з(Ххз+ руз);О) х 202 лпгхвмоничвсков Отно пение ~ кгмонизм . 9з несобственные, го пз определения сложного о1нощения (АВС0) четырех несобственных точек А, В, С, 0 следует, что (Л ВС0) = — — '.': — ' —,', ос,н, 'и?, в где А„„ф0,— собственные гочки прямых, проходящих соответствснпг через точки Л, В, С, 0 и через одну и ту же собственную точку О. В качестве точек А,, В,, С„0„можно взять точки Л,(х,, х,), В» (У» Уе) С, (ал., + ру,, ах,+()уе), 0,(?.х, + Ну,, к~, ) и»), так что хх ?.», + Уу» ! »1 х», Л.
иу1 Хх, + иу1 У1 х» »2 (АВС0) = — ',— „'~' У| ахх —, бу» а»»+ ру» У» ХЛ,+9У, ! Ух „! ра Если точки А и С совпадают, то (АВС0) =О, но и — =О (так Х)) ав как если точки А и С совпадают, то р=О). Если точки В и 0 совпадают, то ) =-О и, значит, (АВС0) =- — = О. дф ау Теорема 2. Сложное отношение четырех точек и сложное отнгшение четырех прял~ых не лгеняются при проектионол~ преобразовании.
Доказательство. Достаточно, очевидно, доказать первую часть теоремы. Рассмотрим две произвольные различные точки: А (х,:х,:х„), В (У»:Ух:Ух) Возьмем на прямой АВ две точки: С((ах, + Ру,):(ах, +()у.,):(ах„.р Руа)), 0 ((?х» + руу) '. (? х» -р ру,,): (?х» -~- по»)), такие, гто точки С и В различны, точки 0 и Л также различны. 594 глава хк элвмепты пгоектнвпоя гвомвтгни Тогда (АВСО) =„—.
Произведем проективное преобразование л1 х,.=а„х, + а„х,+ а„х„, х, = а„х, + а,зх, + а„х„ хз = ашх1 + амхз + аэзхз (6) Пусть А'(х,:х,:х.), В'(у,3у,:уз) образы точек А и В при этом преобразовании. Тогда образами точек С и О в силу соотношений (6) будут точки: С ((ях, + ру,):(ах, +~у,):(ах,+ру,,)), О ((хх, +)ху,):()х. +)ху2):(ххах+)худ)) Отсюда (А'В'С'О') = — ~ = (АВСО).
Сл е д с т в н е. При проективпом отображении просктивпой плоскости П па проективную плоскость П' сложное отношение четырех прямых и сложное отношение четырех точек не меняются. Локазательство. Пусть и' — проективпое отображение проективной плоскости П па проективную плоскость П'. Рассмотрим проективное отображение П плоскости П' на плоскость П, которое на множестве собственных точек плоскости П' совпадает с ортогональным отображением плоскости н' на плоскость и. Тогда Ях! есть проективное преобразование плоскости П: оз( — ч). Отсюда Р(=П- ~.
Так как и при преобразовании 9 плоскости П, и при отображении Я ' плоскости П на плоскость П' сложное отношение не меняется, то опо пе меняется и при отображении Я, равном произведению отображения й ' на преооразование 7. Если апгармоническое отношение (АВСО) четырех точек, лежащих на одной прямой равно — !.
то говорят, что пара точек А и В гармонически разделяет пару точек С и О, или что пара точек С и 0 разделяет гармонически пару точек А и В. Иначе точки А н В гармонически сопряжены относительно точек С и О, или точки С и О гармонически сопряжены относигельно точек А и В. з яак хнгагмоннчаскоа отношения ! Аемонизм 695 Если (абсг()= — 1, то говорят что четырг прямые а, Ь. г, г( (взятые ь этом порядке) образуют гармопнчес~ ую четверку или что прямые а и Ь гармонически разделяют прямые с и й или, наконец, что прямые с и а' гармонически сопряжены относительно пары прямых а и Ь (и наоборот).
Из доказанной теоремы следует, что если заданы три тачки А (х,:х,:х,) (уг уз уз) С(ах,+))у ):(ах,, +()у„):(ах,+ ру,)). принадлежащие одной прямой, го точкой, гармонически сопряженной с С относительно точек А и В, является точка 0 ( (ах, — ()у,): (ах, — йу,,);(ахз — ()у„)). Примерами гармонических четверок точек могут служиты 1) концы А и В отрезка, его середина С и несобственная точ« ка 0 прямой АВ; 2) вершины А и В треугольника АОВ и основания С и 0 биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине О; Ри~ 278 8) центры А и В двух неконцептричесьих окружностей и центры С и 0 положительной и отрицательной гомотетий переводящих одну из этих окружностей в другую; 4) рассмотрим четыре точки Р О, И, 5, из которых никакие грн пе лежат на одной прямой (рнс.
278). Обозначим через А точку пересечения прямых РО и Ю а через  — точку пересечения прямых РВ и ЯЯ. Через С н 0 обозначим точки пересечения Г л а в а кг элгяснтгя ПРоек Гивной гсометшп! прямых О5 и РЯ с прямой АВ. Тогда (АВС0) = — 1 В самом деле, произведем проектппное преобразование, прн котором точки А и В перейдут в несобствснныс точки, Тогдз четырехугольник РЯКВ перейдет в параллелограмм, з точка О пс рссечения прямых Р)г и СГ5 — в точку О пересечения диего налей этого параллело~ рамиз (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
