1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Во всех этих случаях можно перейтн к такой системе координат О'х,х,х„что уравнения (3) н (4) преобразуются в уравнения вида гр,=а(х, +х, — х, )=О, гр,=Ь(х, +х, — х, )=0 (азу О, Ь~Ф 0) в случае эллипса; в уравнения вида гр,=а (х, — х, — х„)=0, ф,=Ь(х, — х, — ха )=0 (аз~О, ЬчмО) в случае гиперболы и в уравнения вида гга= г! (х! хбха) = О, фа =Ь (х! — хаха) =0 (а ныл, Ь4-О) в случае параболы. Для всех случаев коэг)н(гициепты уравнений чг>=0 и ф, =0 пропорциональны Производя переход от системы О'х,х,ха к системе Ох,х,х„ т. е.
заменяя в уран!!сипят гр, = 0 п гр, = 0 координаты х,, х„х, пх выражениями через х„х„х, (эти выражения — линейные функции от х,, ха, х, с определителем, отличным от нуля), получим уравнения (3) и (4), коэффициенты которых пропорциональны.
3 а м е ч а н и е. Для мнимых линий теорема неверна. Пример 1. >агнии хе+ха=о н к'+2х,'=О ! имею! единственную действительную точку (О;О;1) (начало координат), но соответствуюнгие ноаффиниенты их уравнений не пропорпиональны. 606 Ело о о Кг ЕЛЕЫЕНТЫ ПРОЕКТИННОЙ ГЕОМЕТРИИ Пример Е. Линни Хо+в'=0 1 Х'-1 УХ'=0 1 о имеют единственную кеявтантео1ьну1о несобственну1о !очку (О!1!О), ио воот1 е1 ствуюн!ие ковффиниенты вх уравнений непропорниональны 5 207. Касательная к линии второго порядка Пусть линия второго порядка !адана на проективной плсккости уравнением а,х', +а,х,'+ а.ох",-1-2а„х,х, + йа,ох,х +2а.„х,х,*=О. ()сабо и го чкой М,(х,":х,":х,') этой линии будем называть точку, координаты которс!й удовлетворяют соотношениям о о о а„х, +а„х, +а,,х,=О, о 1 о ав!х, +а„х,'+ а,вх, =О, о о о а„х, + а вто т а,вх, =-О.
Овальная и мнимая нераспадаюшаяся линии ие имеютособых точек. Две прямые (действительные или мнимые) имеют в качестве особой точки только точку их пересечения. Наконец, если линия второго порядка является парой совпавших прямых, то все ее точки особые. Определение. Касательной к линии второго порядка 1. заданной на ней неособой тачке называется прямая проходящая через вту точку, пересекающая линию ч двойной тачке или целиком Тхадящая в состав рассматриваемой линии Теорема. Уравнение касательной к линии второго порядка, заданной уравнением а„х„'+а„х,'+ а„х,'+ 2а„х„х, + 2а„х,ха+ 2а„хох, О, (1) в данной на ней неособай точке М,(х",:х,":х,") имеет вид о о о о о (а„х, +а„х, +а„х,) х, + (а„х, +а„х, +а,ох,)х,+ о о о (2) +(асах, + а„х, + а„х,) хо=О. Доказательство.
Проведем через точку М, произвольную прямую. Возьмем на этой прямой произвольную точку М(х,:х,:х,), отличную от точки М, Тогда координаты любой точки Р прямой М,М можно представить в виде ах!+ ()хт, сохо+ ()х„ахо+,!х,, Прямая М,М будет касательной тогда и только тогда, когда она или пересекает данную линию в двойной точке М„или вхо- дит в состав этой линии. 2 Рак клсАтельнАя к линии втОРОРО пОРядкА Вот Чтобы найти координаты точек пересечения прямой М,М с каппой линией, подставим координаты точки Р в уравнейие данной линии. Будем иметь аы (ях', + ()х2)'+ 2а,2 (их", + рхз) (ях", + бх) +а„(их,'+ ()х2)'+ + 2а„(их," + бх,) (их.„'-(- рх,) -)- + 2а„(их', + рх2) (их, "+ ()х2) + а„(их', + Оха)' = О, или, обозначая леву1о часть уравнения данной линии через ср(х„х,, х,): ср(х'„х,', х,') сс'+ 2Ри()+ ср(х, х, х,) (5'=О, где О о 2 и 0 2 Р = (а„х, +а„х, + а„х„) х, + (а„х, + а„х, + а„х,) х, + О О О + (а„х, + а„зх, + а„х,) х,.
Так как точка (х",:х,':х,') лежит на данной линии, то ср (х,', х,", х,') =0 и, значит, 2Рир+ср(х,, х„х,) р2=0. Отсюда . или И=О, или 2Ри+ ср(х,, х,, х,) () =О. При О=О нз выражений для координат точки Р: (их', + ()х,):(ях2 + ()х2):(их2+ рх,) получаем координаты точки М : (их,):(их,):(их,) =х,:х,:х,, Для того чтобы и вторая точка пересечения совпадала с М, или чтобы прямая М,М целиком входила в состав данной линий, необходимо и достаточно, чтобы Р=О, так как тогда и только тогда из уравнения 2Ри+ ср (х, х, х,) () = 0 мы получим, что () =О, или что (при ср(х2, х,, х,) =0) зто последнее соотношение выполняется тождественно.
Условие Р=О подробно записывается так: (а„х", + а„х', +а„х,') х,+ -)-(а„х", +аз х,'+ а„х"„) х + +(а22х', + а„х, '+ а„х,") х,=О, 608 Гл о го ХР ЭЛЕЛЛЕ!ГТЬ ПРОЕКТПВНОЯ ГЕОМЕТРИИ Таким образом, прямая М,М имеет с данной линией второго порядка одну общую двойную точку тогда и только тогда, когда координаты х,:хзлх, точки М удовлетворяют этому уравнению первой степени. Это уравнение и есть уравнение касательной к данной линни в данной па ней точке М, Пример. Пусть а1лх~-,'- пззУ~+ а пг~ -(- ялазлкг," та„,гх+ 2ал,хУ = О (3) уравнение в однородных координатах действительной овальной линии второго порядка, Прн каком нсобходилюл1 и достаточном условии праман их -'; оу+ шг = О (4) причем координаты и, о, Ро этой касательной определяются соо1ношсниями (ель )равнение (2) этого параграфа) и=пило+апуо Ралзго, 'толхо+ аогуо Р азово' ш =- ал1хо + азгно+ алого Разрешая эти соотношения относительно х,, у„го, получим го=Алого+Алов Алзш у, = Аюи+ А„о+ А,ош, го=- Али+ А,зб+ Алаш, (6) (7) где А,з — алгебраическое дополнение элемента агз в матрице (агз).
Из соотно. шенин (5) и (7) следуег равенство Аллизчь Аззоз+ Ааш'+2Апош-,'.2А,лшгл+2Апио=-О (8) Лос тато ч нос т ь Г'редположим, что равенство (8) выполнено. )Токажеи, что тогда прямая ()) касается данной линни (3). Рассмотрим точку (ло Уо го), кооуднналы котоРой опРсдслаютсв Равенствами (7). Из гоотношений (7) и (8) следует, что иго+луг+юге=о' (9) но из соотношений (7) следуют соотнонгення (6). Из соотношений (9] н (6) следует, что (ал,хо+ алзуо+ а,зго) хо+ + (азово+ аозуо+ аюго) Уо+ + (аз,л, + аогуо+ алого) го — — О, или аглх~+аззу~+аззг~+2агоу го+2азлгохо+2алзх уз=о, т, е.
точна (х,, уо, г,), координаты когорой опрсделяются соотношениями (7), лежит на даннон мийин (3). В силу равенств (б) уравнение (4) можно переписать так: (них, + а„у, + алого) х+ (а„х, + азоуо+ аюго) У + (азл хо + амуо + аззго)г = О касается данной линни. Решен но. Н со б х о дн иост ь. Предположим, что прямая (4) касается.
липни (3) в точке (л,, уо, г,). Тогда их,+оуо-г-юга=о, (3) 8 208. пО.гюс и поляРХ .|инии нГОРОГО пОРядкА воя но зто есть уравнение Касательном к линии (3) в точке (х„ ио, зо). Уравнение (В), связывающее координаты и, и, ю всех нряыых, касающихся данвод действитетьноя озатмюй,зинин второго порядка, называется тангенцнатьаым уравнением моя линии. Его можно записать и так: а|, аы оы и о|и с„. о О аз, о,|з азз ю и о ге О $ 208. Полюс и поляра линии второго порядка Рассмотрим уравнение линии второго порядка на проективной плоскости 2 з з | д а„х, +а.„х, +а„х, -; 2а,ех,х, +2а,,х,х,-)-2а„х,х, =О.
(1) Возьмем точку М(х,"Гх,":х,",), пе лежащую па линии (1), и про. ведем через нее секущие к данной липин. Обозначим через Р и Ге точки пересечения одной из этих секу|цих с данной линией, а через гг'--тчьчку, гармонически сопряженную точке М относительно точек Р и г',), т. е. такую точку, что точки Р, Я, М, гтг' образуют гармоническую четверку: (РЦМ М) = — 1. Теорема 1. Точки гч, гарлюнически сопряженные с точкой М атносипге.гьно точек Р и Г',г пересечения с линией второго порядка секуцих, ггроходгггг(их через тоску М, лежат на одной прямой. До к а 8 а тел Ьство. Обозначим координаты точки гт' через х|ы х„х,.
Тогда координаты л|обой точки прямой Мгч': и п х| = ахг + ()хп хз = Мхе -Р,)хз, х = — ах;| + Рхз. Подставляя координаты этих точек в уравнение линии, получим уравнение, из которого найдем отношение аг(з, соответствующее точкам Р и Я: атт (ах", + ()х,)2+ а„(ах', + рхз)'+ азз (ах„'. + ((хз)2-1- + 2а „(ах", + )х, )(ах', + Дх, ) + + 2аз (мхе+ рх )( з+ Рхз) + + 2а,т (ахт + ()х,)(ях', + рх,) =-(), или, обозначая через |р(х,, х„ха) левую часть данного уравнения: |р(х'„х'„х„.') аз+ 2Ргсг)+ г (х„х„х„),~а =(г, (2) где Р =, (а„х" ,+ а „х" ,+ а гзхз) х, + + (аз тх | т аззхт + аззхз ) тз + Н о от +(а„х, +аз х, +аз,х,) х,.
зо П, С. Модеаов Г в а во ХИ ЭЛВО!ЕНГЫ ПРОГК ГИЕНОЙ ГЕОМЕ1РИИ аи1 Ооозначим через и,:1)1 и ав1(вв решения последнего уравнения. Тогда координаты точек Р и Я будут соответственно (авх", + Рвхв) 1(авх,'+ иввхв):(авхв+ ()дхв) (а,х", + Рвх,) 1 (а х', + Рвх,) 1(авхв + Рвх,), н так как ангармоническое отношение (М))РЯ) = — 1, то на оспзванни 5 202 (теорема !) имеем . Рв — — 1, нлн ~-+ — =О. ав а, а, а, Г Отсюда и из уравнения (2) следует, что Р=О, нлн подробио1 о О ов (а„х, +а„х, +ав,х,)х, + о о 01 +(а„х, +а„х,+а„х,)х,+ о О1 О\ +(а„х, +а„х,, а„,х,)х, =О. Мы видим, что координаты точек 11) удовлетворяют следую1цему уравнению первой степени относительно х„х„х,Г 0 О О\ (аввх, + а,вх, + а„хв) х, + О о ов +(а,вх, +а„х, +а„х,)х,+ (3) В этом уравнении коэффициенты при х„ х„ х, одновременно в нуль пе обращаются, так как в противном случае мы имели бы о о 01 О (а„х, +а„х, +а„х,) х, + О о 01 + (а„х, + а„х, + а„хв)х, + о 0 ОЪ 0 +(а„х, + а„х, +а„х,)х, =О, Рис 280 или о' 0 о о 0 О 0 0 а„к; + а„х, + а вхо + 2а„х, х, + 2аввхв хо + 2а„х, х, = О, т.
е. точка М лежала бы на данной линии. Значит, все точки Ю лежат на прямой, определяемой уравнепиевв (4 (рнс 280) Определенно 1(рялвая т, на которой лежат точки, гармонически сопряженные точкой М относительно точек пересечения линии второго порядка секущими, проходящими через точку М, называется полярой точки М относительно рассматриваемой линии вто- ь ооо полюс и поггявн ливии втового пояядко ьм рого порядка. У очка М назынается гголюсом пря.иой т оптосипгельно нагой,гинии.
Сопоставляя уравнение поляры с уравнением касательной к ли- ии второго порядка, видим, что уравпеиие касательной к линни второго порядка в ьсосооой ес точке (х",:х,:х,') и «равиеиио поляры точки (х',:х",:х,„'), !.е геж,п! ей па этой линии, имекгт один и тот жс вид.
Поэтому данное определение поляры точки г тпосительно линии второго порядка об!аппо дополняют следующим если М(х',гл,"гх.",) — пеособая точка ливии второго порядка, то ее щлярой отиосительпо этой линии газывается касательная к этой линии в точке М. т оеорема 2, Если точка М лежит на поляра г точки Т, то точна Т леясит на полнрс гп гггочкгг М (рггс. 881). Доказательство. Пусть координаты точек М и Т таковы: Т и! М(х,'ох,'.х,') и Т(х,:х,:х,). Уравнение поляры т точки М имеет вид (а„х', +а„,х,'+ а,ох,') х, + Рис вв! о о, о! + (аогх, -( ао„х, аоохог хо + +(а~гхо+аоох."+ а,,х„') х,=О.
Уравиепие поляры г точки Т имеет вид (а„х, +а,ох, +а„ох,)х,-(- + (а„х, + ао„х, + а„х.„) х, + +(а гх, +а ох,+а ох,)хо=О. Условие того, что точка М лежит иа поляре о точки Т, имеет вид (а„х, +а„х, +а,ох,)х', -(- +(а„х, +а,ох, +а„х,)х,'+ о + (а„х, —,' ао,х, + аоохо ) хо = О. Это равенство можно переписагь так: о о о (а„х, + а„х, +а„х,)х, + + (а„х,'+ а„х, '+ а„х,')х, + +(аогх, +а„х, сао,хо)х, =О, а это значит, что точка Т лежит иа поляре т точки М, б!2 глава хю элементы пговктивиоп ггомвтгии Доказанная теорема может быть сформулирована и так; если поляра 1 точки Т проходит через точку М, то и поляра т точки М проходит через точку Т. Теорема 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
