1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Поэтому все поверхности Ч класса также конические и все они имеют только одну действительную точку (вершину конуса). Поверхности Ч класса называются поэтому м н и м ы м и коническими поверхностями второго порядка. Ч1. Поверхность, заданная уравнением (И), распадается на две различные действительные плоскости.
Отсюда следует, что каждая поверхность второго порядка Ч! проективного класса является парой различнь~х плоскостей. Ч! !. Поверхность, заданная уравнением (Ч!1), распадается на две ра зл и ч н ые ми им ые ил ос кости. Множество всех действительных точек поверхности (И !) состоит из множества всех точек оси Ог, дополненного одной несобственной точкой этой оси. Эти свойства инвариантны по отношению к проективпым преобразованиям, поэтому любая поверхность И! проективпого класса является парой мнимых плоскостей, имеющих обшуюдействительную прямую (проективпую) Ч!1!.
Класс Ч111 состоит и.. сдвоенных плоскостей. Мнимые, овальные и тороидальные поверхности второго порядка называются н е в ы р о ж д а ю ш и м и с я. Для того чтобы поверхность, заданная уравнением (1), была певырождаюшейся, необходимо и достаточно, чтобы ранг квадратичной формы ч был равен 4. ь гы ш осксивгго.леыссггсля клкссиеиклпия поввгхностви Действительная и мнимая конические поверхности называются вырождающимися. Для того чтобы поверхность была конусом действительным или мнимым, необходимо и достаточно, чтобы ранг квадратичной формы ср был равен 3. Поверхность второго порядка, являющаяся парой плоскостей, называется распадагощейся.
Для распадения поверхности второго порядка на пару плоскостей (действительных или мнимых, различных илн совпадающих) необходимо и достаточно, чтобы ранг квадратичной формы ср был меньше нли равен 2. $ 214. Проективно-аффинная классификация поверхностей второго порядка в проективном пространстве (кажды й из которых дополняется несобственной точкой любой образующей его асимптотического конуса) (каждый из пих дополняется одной несобственной точкой его особого направления) 3'.
Эллиптические параболоиды 4'. Мнимые эллипсоиды 5'. Однополослгные гиперболоиды (каждая нз этих поверхностей дополняется несобственными точкамп всех ее прямолинейных образ) юшнх). (каждая из этих поверхностей дополняется несобственными точками всех ее прямолинейных образующих) (каждая из этих поверхностей дополняется несобственными точками всех его образующих) (каждый из них дополняется одной несобственной точкой его образующих) 6'. Гиперболические параболо- идьс 7'. Действительные конусы второго порядка 8'. Действительньсе эллиптиче.
ские цилиндры Определение, Проективно-аффинной классификацией поверхностей второго порядка называется разбиение их на классы эквивалентности по относиеншо к проективным преобразованаям проекгливного пространства, при которых несобственная плоскость переходит в себя.
Теорема 1. Все поверхности второго порядка в проективном пространатсве делятся на девятнадцалгь проективно-аффинных классов: 1'. Зл,гипсоидьс 2'. Двуполослсные гиперболоиды Г л и в а х!' эл ела!и ! ы пеог ктивной Гвомвт! ии 9 Гиперболические цилиндры (каждая из этих поверхностей дополняется одной несобственной точкой сс образуюших) (каждая из этих поверхностей дополняется одной несобственной точкой ее образуюших) !(! Параболические цилиндры 1 !' Мнимые конусь! 12' Мнимые э алиптические ци- мсндры (на каждой такой поверхности имеется только одна действительная и притом несобственная точка) (каждая такая пара дополняется прямыми, ан! которым эти плоскости пересекаются с несобственной плоскостью) (каждая такая пара,аополняется прямой, по которой онн пересекают несобственную плоскость) 13 Пары действительных пе.
ресекающихся плоскостей !4' Поры дсйсапвигпельных па. раллельных плоскоспаей 15' Пары действительных плоскостей, из которых одна собственная, а другая несобственная 1б!". Пары мнимых пересекающихся плоскостей (каждая такая пара плоскости дополняется одной действительной несобственной ~очкой той действительной прямой, по которой пересекаются плоскости) (на каждой такой поверхности имеется только одна действительная прямая, притом несобственная) (каждая такая поверхность дополняется прямой, по которой сдвоенная плоскость псресекает несобственную плоскость) !7*. Пары мнимых параллельньах п аоскостей 18' Пары сдвоенных собственных плоскостей 19', Пары сдвоенных несобственных плоскостей Д о к а з а т е л ь с т в о. Если просктивное преобразование Р! переводит несобственную плоскость в себя, то на множестве собственных точек просктивного пространства оио равно некоторому Ь 214 !!РОЕКГ1!ВПО-ЛФФНИ11ЛЯ КЗВЛССИФИКЛ11ИЯ ИОВШ'ХИОС!ВГ1 аффиниому преобразованию А.
При этом ости это аффинноегл1реобразование А прямую / переводит в пряму1о /*, то проективное нреобразо1запис 2! несобственную точку прямой / переводит в несобственную точку прял/ой /'. Если аффпнное преобразование А плоскость и переводит в плоскость и', то проективное преобразование й несобственную прямую плоскости и переводит и пссобсгвсппую пряыу1О плоскосги и' Но так как иа множестве собственных точек проективного про.
страпства указанное разбиение па классь1 !' — 19" является аффиипой класспфикапией, то на мпожесп.е всех точек просктивно1о пространства указанная классификапия — проективно-аф.),пиная. Теорема 2. ! проективньш класс соппивляют эллипсоиды, двуполостнь1е гиперболоиды и эллиптические параболоиды. !! проективный класс составля1от мнимые эллипсоиды. ! ! ! проективный класс гогтавляют однополостнь/е еиггерболоиды и гиперболические парабо.говды. !Ч проективный класс гоопавляюпг дейсгпвительные кон1/сы вп/орого порядка и действительные ц~линг/ры юпорого порядка !эл,итти:1еский.
гиг1ерболический и параболический.) Ч проеюпивнь1й класс составляют мнимые конусы и мнимые эллиптические цилиндры. Ч! проекгпивнь1Й к,юсс состанляюгп пар/я деисгпвип1ельны» 1ге/1есека1ощихся плоскостей, пары действительных параллельных 1/лос1гостей и пары действительных плоскостей, из которь1х одна собственная, а другая несобсгпвенная. Ъ'!! проективный к.аасс образуют пары мнимых перегекающихся и парь1 мнил1ых 1.арал,ае 1ьных плоскостей. Ч! 1! /гроекгпьгвный класс образу/оп/ сдвоеннь1е собственные плоскости и сдвоенные несобственные плоскости. При этом указанные выше поверхности дополнтотс» несобс1тиенными точкальи так, как указано в прес!ыдущей теорел/е.
Д о к а з а т е л ь с т в о. !ля дока1ательства достаточно проверить проектнвпо-инвариаптные характеристики каждого из восьми классов поверхностей второго порядка в проективном пространстве. .!. В самом деле, эллппсоиды, двуполостные гиперболоиды и эллиптические параболопды, имеют бесконечное множество действительных точек и пе имеют прямолинейных образую1ппх. ! !. На мнимых эллнпсопдах нет пи одной действителыюй точки. !!1. Однополостный пщерболоид и гипероолический параболоид обладают тем свойством, что через каждую точку их поверхности 1в том числе и через несобственную!) проходят две различные прямолинейные образующие. !Ч.
г1ействительный конус второго порядка, эллиптический, гиперболический и параболический цилиндр явля/отся дсйстш1тельными коническими поверхностями; для трех последних поверхностей вершина--несобственная гочка и т. д. Г а а а а Хт' ЭЛЕМЕНХЫ Г!РОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ 3 а меч а и не. Покажем, какие проективные преобразования переводят друг в друга поверхности, входявдие в один просктивный класс, по в различные проективно-аффинные классы. ! Однородные уравнения эллипсоида, двуполостпого гиперболоида и эллиптического параболоида " 1 2 т 2 — + —,+ — ' — х =0 аз Ьх са 4— Х к к„ вЂ” т — — —,+х =0 аа Ьт х 4 Ха К вЂ” + — — 2х ха = О (Р > О, Ч > 0) (3) (2) переводятся в уравнение сферы х,"+х', +х" ,— х,"=0 переводится в уравнение х," + х",+ х„' + х," = 0 * Все поверхности, о которых говорится здесь и ниже, предполагаются дополненными несобственньан точками так, как ато указано выше.
соответственно следуюптими просктивными преобразованиями: х, ах',, х, - бх',, х, = сх,, х, = х',; (Й ) 4+ 3 хх= р' Рхы ха= р' Чххы ха= — '', ха= — ''. (Йв) Отсюда следует, что проективпое преобразование Й, 'Й переводит эллипсоид (1) в двуполостный гиперболоид (2); преобразо- ванне Й, 'Й, двуполостный гиперболоид (2) переводит в эллипсоид (1). Преобразование Й, 'Й, переводит эллипсоид (1) в эллиптический параболоид (3), а преобразование Й, 'Йв эллиптический параболоид (3) переводит в эллипсоид (1). Преобразование Й,'Й, переводит двуполостный гиперболоид (2) в эллиптический параболоид (3), а преобразование Й, 'Й, эллиптический параболоид (3) переводит в двуполостный гиперболоид (2). П.
Все мнимые поверхности второго порядка образуют один проективный и один проективно-аффинный классы. Однородное уравнение мнимой поверхности к! ха , кв а + г ~ +ха=О а' Ь' са П(. Уравнения однополостного гиперболоида н гиперболического параболоида (4) (5) (Й ) ( (2) Значит, преобразование 'х(, '6 переводит одпополостпый гиперболоид (4) в гиперболический параболонд (5), а преобразование а','Яз вторую из этих поверхностей преобразует в первую !Ч. Уравнения конуса и цилиндров второго порядка Х Х Х 1 2 3 — + — — — =0 442 ' Ьг сг (6) ,2 2 21 Хг — + — — х,=О Зг Ьг 2 Х, Х, — — —,— хг =0 22 4 х12 — 2рхгх4 = О, р > 0 л =сх, х =х; хг = Ьхг, Х вЂ” Х 2 2 х = ',, х —.-х,.
)' 2р Х, +Х х,=х„х,= )' 2р ф) 4 2~4. пноективно-лч 4 иннхя клхссич икания поввгхностсг1 следующим прссктивным преобразованием: х,=-ах',, х. =-Ьх',, х,=схг, х,=х,. г 2 Х Х К вЂ” +- — — — — х =0 аг ' Ьг сг 2 2 Х Х вЂ” — — — 2хх — — 0 (р>0, д>0) 2 4' преобразуются в уравнение '2 '2 2 2 х,-(-х,— х,, — х, =О соответственно следу1ощими просктивпыми преобразованиями: х,=ах,, х,=йх„х,=сх„х,=х4 — — Х, Х Х вЂ” Х Х1 ) РХ1 Хг ) 4)ХЗ ХЗ= — 2 Х4= Р2 )'2 преобразуются в уравнение х, +х,— х, =0 соответственно следующими проективньгми преобразованиями: х, = ах„х, = Ьх„х, = х„хг = х,; х, =ах„х,=Ьх„х,=х„х,=х,; (8) (0) (ч( ) ( (1) (2)(4) 626 Глава КР, ЭЛЕМЕНТ!в! ПРОЕКН!Е!!ОИ ГЕОМС4Р!!!! Значит, преобразование Я, 'Я„преобразует конус (6) г, эллин. тический цилиндр (7), а преобразование Я, ",'!,, наоборот, эллиптический цилиндр преобразует в конус (6) !)рсобразование Я, 'Я, преобразует конус (6) в гиперболический цилиндр (8), а преобразование Я, 'Яв преобразует гиперболический цилиндр (8) в конус (6) и т, д.
(всего 12 различных проективных преобразований, прсобразуюгцих одну из поверхностей (6) — (9) в другую) Ч. Уравнения мнимого конуса н мнимого эллиптического ци- линдра кв к кв ! 4 4 — + — + — =0 ов Ьв 44 > (10) в 3 К! Кв 4 — + — +х,=О ал Ьл (11) преобразуются в уравнение х,+х, +х,=О соответственно следу4онцими проективными преобразованиями; Х! ='аХ!, Хк = ЬХ4. Хв= сХв Х4 =Хл! (Я„) х4 =ах!, хз=Ьхв, хе=хв, хл=хк (Я ы) Значит, преобразование Р(,!' Я,„преобразует мнимый конус (10) в мнимый эллиптический цилиндр (11), а преобразование 6„14144— мнимый эллиптический цилиндр (11) в мнимый конус (10).- рассмотрение остальных случаев Л, И1, Ч1И предоставляется читателю.
$ 215. Необходимое и достаточное условие того, что два однородных уравнения второй степени определя!от одну и ту же поверхность второго порядка Теорема !. Для того чтобы део уравнения а„х', + а,вх, '+ ав,х, "+ а,лх', + 2а„х,х, + 2а„х,хз+ +2а„х,х, + 2ае,х,х, + 2а,4хех, + 2а,„х,х, = 0 Ькдхлл + Ьккх, + Ь хв л+ Ьллхлв + 2Ь44хкхк+ 2Ь44хлхв + + 2Ь„х,х, + 2Ь.„х,х, + 2Ь44х.хл+ 2ЬЕ,х„х, = 0 (2) еырахеали одну и пн! Хсе поверхность е комплексном проектиеном просо!ране!нее, необходил4о и достато~но, чтобы соотеетстеуюи1ие коэр4и4!иеногы этих 4)раенени41 бь!.4и пропорйиональны, .(о к а.
а тепле г о о не обходи мости (достатол4ность очевидна). 1!усть уравнения (1) и (2) выражают одну и гу же поверх- $215 да 2 ОдпОРодных уРхвпипня в1ОРо!! с1а11снп 627 пасть. Если эта поверх!ныть распадается на две плоскости, то теорема следует из того, что ссли два уращпгппя с однородных координатах ягляются уравнениями одной и 72!!! же плоскости, то соотастствующис коэф1)пщиепты уравнений этих плоскостей про.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
