1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Полюс и полярная плоскость поверхности второго порядка Теорема 1. Рассл>отри и уравнение з о о а>>х! т аззхо+ аззхо+ аыхо+ 2а>зх>хз+ 2азз~>хо+ 2а>ох,хо + + 2аззх,хз ! 2азохзхо + 2азох,хо = О (1) поверхности второго порядка. Пусть М (х',:х,'>х',:х,",) — произвольная точки, нг лгзхаи!ая на этой повгрхноспш. Тогда всг то>ки И, чгтвертыг гирмоничгскиг к >почке М относительно пары то>ек Р и Я пересечения произвольной прямой, проходяи(гй через точку М, с данной поверхностью второго порядка, лежит в одной плоскогпш, называемой полярной плоскостью точки М относительно данной поверхности Уравнение полярной плоскости точки М(хо:х.,':х„:х,) относительно повгрхнооти (1) имеет чид ( л ,о ! о о о> ад,х, +а„х, -';-а,зх, -)-а„х,) х, + т(а„х, +а„х, +а„хз+азохо)хо т ,о о, о, оЪ + (аз>х ! — аззх, -'; аззхз т аззх,>! хз т -)- (ао>х>'+ а,зх,'+ а„х,'+ а„х,') х, = О.
(2) Локазательство этой теоремы вполне аналогично доказат л!.ству соответствующей теоремы 1 для линии второго порядка Я 208). г. ооа хг. элементы пнонктивноп гномнтгни Если точка М является неосойой точкой погсрхностн второго порядка, то полярной плоскостью се относительно двиной поверхности назовем плоскость, касательную к поверхности в этой точке. Отметим, что уравнение полярной плоскости для неособой точки поверхности, имеет тот же вид (2) Из уравнения полярной плоскости следует Теорема 2. Если из двух точек Я и й( первая лежит на подаре гонорой, то и втория лезкит но поляре первой.
Иначе, если из двух плоскостей т и п первая проходит через полюс второй, то и вторая проходит через полюс первой. $219. Примерит и задачи к главе ХЧ 1. Задачи с решениями Пример 1. Относительно декартагай прямоугольной системы воардинаг задано уравнение параболы: анхо+2а,оху+ ему'+2аох+2а,у+а=0 ()о=О, К ~ О). (1) Пайти координаты ее фокуса н уравнение директрисы. Р е ш е н и е Урам1енне параболы относительна декартовой аримоугальной системы координат и зао1 слу ~ае, когда за начала коордиват принимает.
ся фокус параболы, мо:кно зависать о виде х' + у' =(х'сова-,'-у'Мп а — р)', (2) гле х'сова-1-у'ьШ а — р=-0 — ураоисине директрисы (нормальное), а Р— параметр параболы Преобразуя уравнение (2), внеси х' ын'а — 2х'у'ын а сова+у' сааза;-2рх' саь а+2РУ'ь(н а — р'=О. ота уравнение в тонгенпиальпых координатах будет иметь вид оно а — ь)н а ссьа р сова и — ь!и а сова соьоа р ыпа о р саьа рьша -р' м и о и 0 или но+со+ 2 — ам+2 — ам=О соь ы 5(п а Р Р и данное уравнение (1) нричет вид аых + аых у +позу +2Рх х +2Руоу +2Ро 0 где (4) Рх,=анхо+аыуо+а, Рд, = аоьхо+аооуо+ ао 2Ро = амх, '+ 2аыхоуо+ ага уз + 2аххо+ 2а* ус+ а.
Перенесем данну>а систему координат зак, чтобы аавым началом координат стал фокус данной параболы Тогда х=х'+хо У=У +Уо' Уравнение (4) в тангенцнзльпых коорлннзтахс ал, а,з Г», и азб аз, Уи, с =-О Г»г Рх, 2»з щ и о щ О О~пиная из элементов третьего столбца соосвстств)чощиу элементы первого столбца, умноженные па хз, и элеметюы второго столбца, умноженные на уз, получим и о =О. О а„алз йг а„агз йз ) х, Рль алло-': йзсуз4 й и о са — хи — Узо Отнимая из элсмссиов третье!с гтрокн соосветствующне элементы первой строки, умноженные нз х,, и элементы в~арой строки, умногкенпые нз у„ получим ал, а, и и„а, о =О, из а и — хзи-уо о ю — кзи — узо О алл азл аг и нлв Л л, — 2хзА л = Азз — 2уз Аз. у, фокуса: Аы — узАл —.гзАз= О Отсюда н находим координаты хз, 1 АзАлз — — Ал (Л * — Алл) кз г(з ( 4з 1 АлАлз-(- — Аз [Аы — Аж) Уз= А',+ А, Переписывая ) равнение (3) в виде риз+ ро'+ 2 соз а ию+ 2 з) и и еж = О, находилг Ас — 2Ахз Лы 2Лзуз А, Аз Р Р сози юпи откуда А„+А„ гкз+ Азуз з Р сози юп а ' и уравнение директрисы в системе к'О'у' имев~ вид А,х'+ Азу— Аз~+Лез 2 + 4лхз+ Лзуз=б силн А, (к'+ хз) + Аз (у'+ уз) — — ~ — = О Аж+Аж Л „и' -)- Л,за'+ 2Л ыио ж +2А,и (ю — лзи — узо).32Азо (со — хзи Усщ)=О.
(3) Так как уравнение (3) должно Сыть эквивалентно уравнению (3), а 4 уравнении (3) коэффициент прп ив равен нулю и коэффициенты при и' и оз равны между собой, то с'>3 1 Г х а «а ЛГ ВЛЕМГИТЫ ПРОВ КТПВИОй ГЕОМЕтР!1И а урлчпс ~пе кирс«трись в ссач«асс~о сы ~с с Л,х+ Л«йЛсс+ Лет 2 Пргсьер 2 Найти огибающую общих сага~альных «двум ортогональным оссружпос~яьс, проходящим через лве фиксированные точки (О, а) и (О,-а) а Р е ш е и н е Центры окружностей (аН О) в ~ — —, 'с), квадрасы пх аз радиусов аз(1+(з) и — (1+Нс Коордсснаты и, о, ю общей касательной удав. (з летгоряют тангенцнальпым уравнениям атих окружностей.
(аи(+ю)з=а'(1+(з)(и'- а'), (аи — ю()Я=аз Н+П) (из+ох) Отсюда (азиз+сиз) (1+ Н) = 2а' (ик+ аз) (! + (з) а'и'+ 2 а во' — шз = Π— уравнение огибающей вташснциальных координатах Уравнение же в точеч ных координатах х' ут — + — =! аз 2а' — эллипс Пример 3 Найти геометрическое место полюсов М хорд параболы, которые видны из фокуса под прямым углоч Геометрическое решен и е рассмотрим поляритет' Н атно сительно окружности С, с цен~ром в фокусе Р параболы и радиусом Г5, где 5 в вершина параболы (рнс, 282) Нри этом поляритете каждая «асательиаи Г к паработе перейдет в гочну Т луча, выходящего из фо«уса Р и пересекасощего касагель ную ( в точке М, такай, что РТх мРМ = Р5з Но зак как проекции М фо,гуса па каса.сельные к пара боле опнсываго~ «асательнуго к па.
раболе н се веригине, то мнозкеством точек Т булез линия, получаемая пз касаге.шкой ь параболе в ее верРис 2йу шине прп инверсии цеспром Г и сзспеныо ссссверсг1и, равной Р5' Но при с акой шшсрсги прнмая 5Л) псрсйдес а окру'жпость С, с диаметра, Г5 )(атее, точка Л прикосновения касатетьной г к данной параболс перейдсс а прямую а, перпсндп«улярнусо ГЛ и касающуюся окруж- и ности Сз Если  — другая соч«а параболы, закал, что ~ ЛГВ= —,, то точка В 2 ' н «асательпан к параболе в точке В псреьд) с соотве~стеессно в касательную Ь к окружности С, (причем касателысые Ь и а взаимно перпендикулярны) и в точку К прикосновения прямой Ь с округ«костью С, Звачвт полос * ~с е отображение, ари котором точке ставится в соответствие ее поляра н наоборот.
й 919. прими!*ы и злдлчи к г:!АВВ хм лорды ЛВ перейдет в прях!)1о ТК, гсол1етрнческое же места полюсов хорд ЛВ перейдет в множество прямь1х ТК Но отрезан ТК есть с!ароса киадрата, яписанного а окружность Сз. Значит, геометрнчес«ое место полюсов корд ЛВ параболы, пидимых из фокуса Г под прямым углом, псрей;Гет а 1п1ожество касательных к окружности Сз, пеитром которой яалястся середина отрезка ГЗ, а радиус равен =, где р — пара!Гетр параболы Гео11етрическим местом Р 4У 2 и й по!юсов хорд ЛВ (таких, что ~ ЛРВ= — ) будет образ множества касатель. 2) ных ь окружности Са прн рассматриваемом поляритсте. Полярой фокуса Р откосительно окружности Сз является прямая РГ), проход!иная через точки прикосновения каса1ельных, просоленных из точки Г к окружности Ст.
Так как прн поляр1пете 11 точка Г переходит и бесконечно удаленную прямую, то ее поляра Р0 псрехол1л н пентр искомой кривой Но гак как расстояние аг точки Р до прямой РГ) равно —, то прямая Р() перейдет в пентр О р 8 ' искомой линни, лежащий на луче РЯ на расс!о.пии йр от гочки Р (ибо тогда — ° 2р= — =ГЯ ), Лалее, прямые ЕР и Р() перейдут в бесконечно удален. р 8 4 ные тачки соответственно прямых ГГС и ГР, значит, искомая линия имеет дне различные бссконе'шо удаленные точки и они лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых.
Значит, искомая линия — равносторонняя гипербола, асимптоты которой проходят 1ерсз указанный выше нентр О и наклонены к прямой РЗ под углом 45'. Наконец, першины гиперболы — образы и поляритете П прямых, касательных к С, н перпендикулярных к ЗР. Одна нз таких касательных отстоит от Р на расстоянии РДГ= — —; — . Значит, р, р 4 '4),' 2' оиа перейдет а першину Л гиперболы, отстоящую ат ~очки Р на расстоянии р (2 — )Г 2); полуоси гиперболы равны р )г 2. д и а л и т и Ге с к ос р е ш е н и е. Принимая за начало координат фокус р параболы, макно записать ее уравнение а виде уз — 2рх — рз=О Поляра точки Р(Х, У) 1!мест !равнение рх — )'у+РХ-',-р'=О. Отсюда р=-— рх — )'у Х-,р ' значит, следугащЕЕ ураанснНЕ будет следстане11 Дпух ПРедыду1цИХ (ураннснии параболы и поляры точки односительно параболы): рх — Уу (рх — Уу)з ' Х+р (Х+р) нли (2РХ+ рз) х' — 2ху Х)г -(- ((Х+р)з — 1") у'=- О, Но это уравнение однородное относительно х и у и, значит, оно опредс.
лает пару прямых, проходящих через начало координат и точни нсрссечедня по,!яры с парабо.1ои. Условие ортогопальности этих прямых! (Х+р)з — Уз+2РХ+ рх=О, плн (Х+2, )з — Ух=йрз, н мы приходим к тому жс результа~у. глава хю влвмицты ыповктивноя гвомнтпии 2. Задачи для санг стоятельного решения 1.
Опр делить обшяй вид проекгивных преобразований, при которых гипербола тз уа — — — =! в' Ь' переходит в себя, а касазельные в вершинах гиперболы переходят в ее асимптоты Олгв Ь Ьз х' — з. (хси а+пай ф), у'= х — (ха)з ф+ ос)з гр). у ву 2. Доказать, что если уравнение ср --.= а„ха+в„ха+ вмх„'+ 2а х,ха+ 2вюх„хт+2а х х, =О определяет действительную овальную линию второго порядка, го условие ! 'в,т взт в,в~ вю ам в,в ф (хь х„хв) ) О ав, аз, ввт вилис~си необходимым и достаточвын условнеч гого, что точка (хт.'х,:ха) внутренняя.
3. Определить попару точки, лежашей на асичптоте гиперболы х* уа — — — =! в' Ьа (1) относительно' этой гиперболы х у Овзв. Если точка Иа(ха, у,) лежит на асимптоте — — — =О, но не совпав Ь дает с пешром гиперболы, то уравнение поляры имеет вид 'х у )в Ь где ! — некоторое число Обратно, если à — любое действительное число. ие равное нулю, то на гиперболе (11 найдется точка Ма, для которой прямая (2) будет полярой Аиачогнчны выводы и для второй асииптоты. 4. Доказать, что необходимым и достагочпым условием полярной сопря. женности двух прямых, проходяшнх через фокус линии второго порядка, является их перпепдикуляриость Является ли это свойство фокуса линни второго порядка его характерисгнческим свойствоч? В. Пусть С вЂ” аейсззительная овальная линия второго порлдка, а в — ее фокус Рассмотрич окружность У с центром в точке х" Поставим в соответ-. ствие каждой ьзса1ельйой к линия С ее полюс Н относительно окружности 5. ))оказатгь что геоме1ричегкое кесто то ~ек дв есть окружность 6.
Уравнение з„х', +пах,'+азах„чс аамтах, + .'ицхьхт+ 2в,зх х, =О (1) определяет действигельную овальную линию второго порядка. Лана прямая и,х, + паха+ изхз= О. (2) П При каком необходимом и дос~аточноч условии прпмая (2) пересекает линию (1) в двух различных (н действительиык) точках? 2) При каком необходимом и достазочном условии пряная (2) не пересе. ьае~ линию (Ц? » 279 ПРИМ!.РЫ И ЗЛДЛ2!И К ! ЛАИС КУ 637 Осла. ап аыа,за, '-' "' "' > О; 71 !<О. ат, азз ам из а, и, из О 1) .Ъ= 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
