1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Точку М вместе с се коптравариаптнымн коордипатамн обозначим М (х, у), а точку М вместе с се коаариаптными коордииатэзщ М )х,у). Такнч образом, коптраварнаптпыс координаты точки М вЂ” это ее общие декартовы коорднваты, з коварпаптпыс координаты точки М вЂ э скалярные произведения ее радиуса-вектора ОМ па базисные векторы е, н ез. Таким образом, если в уравнении прямой Ахч- Ву+С=О, заданной относительно общей декартовой системы координат, х н у рассматривать как контравариантпые координаты точек, а А и В как коварнантные координаты вектора, то вектор п=ГА, В) является вектором, нормальным к данной прямой.
Вектор и через векторы е',е' базиса, взаимного к базису е„ез, выражается соотношением и= Ае'+ Ве'. Разложим векторы е' и е' по векторам е, и ез: е'=ате,+)З,ея, ее=а,е,+))зез. ЛОПО'1НЯНИГ 11 Мпншкая скалярьо обг част, первого пз этих соотношений на е' и ех, по: тчпм а 11 — а а11 — 1 и апалогичяо из пторого соотношения аю =а,, а" =рз. Формулы (1) принкмают вид е' а"е, (2! подобным же образом выводится соотношение « е;=а,„е Умно>кап скалярно обе части соотношения (2) на еь, получим е'еь=аме„ею или а" аьа йь (41 Из соотношения (4\ следует, что матрипы (ага) и (аь) обрапгы друг другу так что аы ам,11 а11 ы айь а а ' а где а —.
)а11а11 ~ р 11 11 11 Отметим также, что соотношение (4) — то же самое, что н следуюшее равен. ство иезиду матрипами !а,„) и (а'"): р ~~аиа11~ ~) о) 2. Контраварпантные и ковариаптпые координаты вектора н точки в пространстве Все сказанное выше бев существенных изменений переносится па случай трехмерного евклидова прострапства1 базвс е,, е,, е, вместе с фиксированной точкой О пространства определяет общ)ю декартову систему координат.
Координаты векзОРа и точки в втой системе будем называть контра в а р и а н- та и. Взаимной тройкой е', е', еэ к базису е, е, еа называется базис, определяемый условием бх )О гели (Ф/г, )) ссли 1р й т. е вектор е' перпепдик)лярен векторам е, и ез и обрззует с вектором е, остры( «гол модуль вектора е' определястся условием е'е,=! и т. д Вскторы е', е', ез через векторы е, еа .ез выражаются соотношениями е' = — е'=— (е,е,] (е,е,) (ехез) е,= —. е,е,е„ е,еее ' е,е,е, ' Коптрапориантпые координаты вектора а выражаются в визе а'=ае', а ковг) пантпые и;=пег МЕТРИЧЕЕКЛЯ ТГОРИЯ ИНЕЛРИЛНТОЕ ЫПОГОЧ !ЕНЛ 0(9 Метрические тензоры (ковариаптные и коитраемркаспные) и оазисе чм еэ, е„определяются соотношениями д;х=есех, е ~=у .
меч ы Векторы е) и е! связаны соотношеинями ~ч ч е =у' е„е,=уже . Ковариаптпые координаты ат вектора и с его контраварнаптиыми координатами ас связаны аналогичными соотношениями а = у 'а„, а, = ус,а'. !ч Матрицы (у!э) н (йы) симметричны и обратны друг другу. Скалярное произведение аЬ двух векторов может быть выражено в олпом нз следующих видов аЬ=а„э"- а"Э,=а,з,у'я=а"Ыр„ч (по а и р суммирование от 1 .ю а). Контравариантными координатами точки си в общей декартовой системе координат (О, е,, еч, е„] оазьищотсн коитрзварнаитиые координаты ее радичсансктора ОЛ! Следовательно, это общие декартовы координаты:очки,1!. Коварнантными координатами точки И в общей декартовой снстстю координат (О, е,, е,, е„) называются ковариантвые координаты се радиуса-вексора Он!(, т.
е, координаты этого вектора в базисе е', еч. еэ. Так, например, если в уравнении плоскости Ах+ Ву+ Сг+ С = О, заданной относительно общей декартовой системы коордвнат, рассматривать х, у, г как контравариантные координаты точек, то А, В, С вЂ” ковариаитчые координаты вектора, нормального к этой плоскости. 3. Теория ннвариаитов уравнения липни второго порядка Пусть относительно общей декартовой системы координат линия в~срого порядка задана ураваснием а „хе+ 2а мху+ а„у'+ 2 а,х+ 2агу+ а = О, (1) Поехав~ и задачу на!пи каноническое уравис~псе и расположение этой линчи.
Преобразуя данну!о систему координат е прямоугольную, снова пол)чим уравнение второй степени относнтсльпо х и у, а поточу уравнение (!) определяет одну из линий уже изнесгных пам восьми аффипиых классов. Однако при переходе от общей декартовой системы координат н прямоутольпой, фуикмнп, которые рассматривались в й 142, уже не будут инвзрнантпыми, так как среход от общей декартовоч системы к прнчсоугольнойне является ортогональнььх! преобразованием. Танич! образом, теорня инваризнтов, а вместе с тси и чопиос о расположении линии, н)ждаечсч ~ обобщении, к которому мы 1 перех шим Определение. Метрическим ииеариакпюлс называется такая рациокилькая функция ) ст коэффииигнтое ураекгьия (1) и от кохтонечт д;ь метрического тензсра данной общей декартоеой систечы координат, которая имеет одно и то эсе значение е деук любык таких сисп!смак: ) (атс аг, а усэ) = ! (ат' а, а', усч)' ЛОПОЛНЕПИЕ П теорем! 1.
Ояеауюи1ие 4!ункчии яеяя1стся метрическими инеариантаии; а1, а1 а1~ а„а„а, ~ а, а, а ~ 21!! У!2 1 Уе где ст„сьо и ст„с„— координаты новых масштабных векторов а и е, вначальнон системс хОу После преобразования (2) уравнение (1) перейдет в следующее! а„х" + уа „х'у'+ а, „у" + 2а,х'+ ха у'+ а' О, причем, как было указано в й 1421 сх, с„ еа, с, а11 а12 а1 а21 а22 а2 а, а а' аы а„а1 а„ае, а, а, ае а ) Сз! Се, ~ ' (4) Докажем еще соотношение В "амом леле, так как е,=-сме1+с21ее, Е, =С!,Е, +С22Е2, то е,е,=с!!г(!!+с„уьм е,е,=сыу„+се!ухе, е,е! —.стеу„-)-се!у!2, е е,=с„у1,+ге,у„, значит, е,е, е,е, ~ ~с1!У„+с!!У!2 с!1312+се!Уее ~ ~ см с„1~ У !31, Е,Е, Е,Е,~,С!2У„+Се!У!2 С!2312+Се!У!2~ ~СМ Се, ~~ У21 У, и далее, умножая обе части этого равенства нз определитель Ре( (с;а), получим е,(с„е, +се!ее) е, (сые,+гме1~ 2)у1! ухе~~ем с!21 Е (С22Е1+Се!Ее) Е (С!ее!+Се!Ее) ~ ~ С,1 Уе, ~ ~ Се, Сея~ ' Д о к а з а т е л ь с т во.
Рассмотрим наряду с санной системой координат хОу другую систему коорзинат х О у'. И!ар мУлы преобразования координат име1От внд х=с„х'-(-с„у'+с, у=с,х'+с еу'+с„ (2) метРическАя тсооия ииВАРик11ТОВ мнОГО!1ЛГ11А 65) нлп е, е, е, е. ( (р!! у12) ~~с!! 212~~ е, е, е. е, ) )У21 222)) сз! с22~ !2 У,, У,„~У„2!2)'с!1 с!2 Теперь из равенств (3) — (5) находим а!1 а12 ~а!1 а!2~ а„а„~аз! а22~ 11 У!! 22! У22 а11 а12 о! а2! а22 а2 а! а2 а' а„а1 а„ах а, а у!аз 222! У 2 ! Е22~ уыхе — ', 2уыху+ус,у' — !!ге!+рея]2, у„х" + 2й,,х'у'+ д,у" == (х' е, + у' е,)', (хе,+уех)2=(х'е, +и е,)2=-06)2.
Применяя уже доказанную инва рнантность )2 к вспомогательной функции !р, получим ! 11 211 12 У!2 ~ ~ 11 211 12 2121 221 У22 ) Уз! У22 Приравнивая коэффициснты прп А в первой степени, получим ! 2 У 1! . 12 ) 221222 221 раз Таким обрааоц доказано.
что )2 и Кз — мотря юскив инварианты. Остается доказать нивариантпость 11. Рассмотрим функцию 2Р=-а!1хтасйа!22У фа22У2 — Л (У!!ля+ 22!2хУ+У У'), где Х вЂ” произоольный параметр. Прн переходе от системы хОУ к системе х'Оу' с тел же начало!1 координат эта функция перейдет в функцию !р' = а ! !к" + 2а„х'у' таз!у' — ) (у! ! «" + 2у„х'У'+у„у"), так нак бополы ыип ы ьчп-! доке«а ! ! .", !» ! 1, т~оситсльчо преоира«озапия отпей де.
1 ар говор системы координат в об кую декартову систему с тев же изчалоч 2)о так как в выражение длч )1 пходят лишь коэффвциеиты при х', ху и у', которые ие меияютс.! при переносе, то 1, является ииваризцточ переноса Зз и е ч а и и е Фш!каю /1, К, и 7! цожйо записать в более коипактпоч впдс: 1 2 а, а, а, К,= а',а'а, ! й а' а' а ! а', а',~ 2 ! 1 й~ ),=а'фа', 1 1 2' где аь й а«а !« а' ужо„, Б самом деле и 12 ой, ай«((у й У!1 Уи~ ~ай! аы!1Я й Ую Ийй а' ай аы пы а, а,а, а, 1 2 2 а а, а, ай ай а а,„р"' ай„й"2 а, «! 2 ай«у ' ай«б„' а, ~ о„д" о«у"2 а "=1:" "-!!'ы,'-! -Ыы ""! !':-!=- а У!1+а «21 а йй12+а дйй)л (й «11+у чй! У У12 ) й чйй~ д11+й йй! и й!1+р й211 )а в!1+у а21 а у!2+а 7 2 )йй, ' Теор.ма 2.
Функция ы ры аы а, а о И о, а 1 оыйюа, ой! рйй ай ,о, 0 а является инварпонтом такого преобразования общей декартовой систел!ы ко. ординат, при котором сохраняется начало «осроонат Если ясе линия (1) распадается на две параллельные или совпис)ающие прямые, то К,— инвариант общеео преобразования декартовой системы координат хОу в любую другую х'О'у', Док аз а тельство Рассмотрим фуикцию !р — ),гй, где ф — левая часть «равиепия (1), а г=хе,+уе .
мгтпичвскчп теория ипвзрилптов мпогочлвпд бйз ( (месм к — кгь = = аих'+ 2а„ху+ а,зу'+ 2а,х+ 2а,у+ а — Х (Уихз+ 2У12ху+ (язуз). При переходе к системе х'Оу' с тем и<с началом получим ф' — йхз= а,, х' +2а, х у'+ а,у'+уа,х'+ 2а,,у'+а' — Х (У,х' +2у,,ху'+У, У'). Применяя к функции ф — Хгз уа.е доказанпум иивариантность Кз, будем иметь а,,— Хд, а„— ку,, а, а а2 а аи — й аз аз — Ха а1 аз, — Хдз, а,з — ХУ22 а, а, а, а «) 1 и приравнивая козффяпиенпя прп Х в первой степени, получим у,, а„и~ ~а„ У21 азз а.
! +, а , О а, а ! ! а, -12 ! Р„а, О а' вы аз,а, аи у,за, + аз, йзз а, а, О а у„а„а, О а, а Уи Уи и что простейшие уравнении соответственно имеют вид 1 /1Х2+ К' =О, !1 (1! 1) У21 У22 При переходе от системы хоу и прязьзугольной х'Оу' с теч ите началом Кз и меняется. к прямоугольной системе координат К, принимает вид ) а12 а, ! ! ( азз аз ~ и, как было доказано в 4 !42 в случае расеадеиия линии на две параллель" иые прямые К, пе меняется при переносе 311зчит, К, имеет одно и то ке значение во зсе обзцих декартовых системах координат 3 а м е ч а и и е Функцию К, можно записать в более компактном виде2 '=!."' ".'! !.":! Теперь так же, как это сделано в й 143, доказываем, что линия (1) принадлежит к 1, 11 или !!1 группе, если соответственно /,ФО, /,=О, К2ФО, /,=О, К2=0, /, ФО, поиолнгниг и где )ьх н )ьа †кор характеристического уравнения 1,: атт-)ухх ахз — )ухх]=О.
а„— )а„а, — ).д„! 4. Определение рас положения линии второго порядка Если уравнение гр=а дха+2а„ху+а ву'+2а х+2аху+а=О является уравнением центральной липни второго порядка, заданной относительно абц(ей декартовой системы координат, то координаты центра находятся нз системы а„х+а„у+а, =О, а„х+а„у+а,=О.
Рассмотрим линейное преобразование, которое точке М(х, у) ставит и соответствие точку М'[ахтх+а„у, а„х+а„у] (коордннап,! точки М даны в системе хОу, а координаты точки М' — во взаимной системе х,Оу ), Это преобразование !' самосопряженное, так как для л!обых двух векторов а=] ), и ) н Ь=]!', и') выполняется соотношение В самом деле, а)Ь ] ), е~ ) )аы!'+агхпи, а„!'+а,хт') = = а, г(!'+ ахх ((т'+ !'т) + а„т т' = =] !', т' ) )и„!+о„т, ах1!+атт)=Ь)а Значит, име!отса двз взаимно перпендикулярных собственных вектора ! н / (буден считать их елина шылт): ()=х,), )у=) у, где ),, и ),,— собственные значения, соответстпуюп(ие этим собственным векторам Соотпо!пение )а=ли(а-собственный вектор )] подробно тапишется так: (пы)+о„т) е'-) (а„(+а„т) ех=Х ()е, +те,) Ухи|сжав скалярно обе части этого равенства один раз на ех, другой раз на е„, получим а,т(+ ох т = Х (Кы(+ дыт), (1) о„! + а„т = Х (ех, ! + йтт), ила (и„— Хды) (+,отх — )ынх) т =О, (ах, — адат) )+(ат — Хнхэ) т = О, и так как ! и гл не равны пул!о одновременно, то собственные значения э, и лэ лолжны удовлетворять уравнению 'ы )'Иы ом Ха~э ~ =-О, (з! е ха — ) ям ахэ — кйхх ынтпг!ческчп тгопня и!!вариантов много!лица б ">б нли (2', (2" ! Л -1,Л+1,=0 Обратно, сели Л вЂ” корень этого уравнения, то система (1! имеет ненулевое решение 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
