1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 108
Текст из файла (страница 108)
3. Круговые сечения поверхностей второго порядка !. Эллипсоидз хз уз гг — + — + — =1. а' Ь' с' (1) Пусть Ах+ Ву -1- Сг+ 0 = О (2) нормальное уравнение плоскости (т. е. А'+В'+Сз=1). Исходя нз формул (3) — (5) п. ! настоящего дополнения находим Аг Вз Сз 1= — + — + — ° Ь'с' с'аз а'Ьг' 1,-А (1,+;1-)+В (1+ — „',)+С (',+ 1,), Кз — — —, (Оз — А'а' — Взйг — С'с'). 1 а'Ьгс' Для того чтобы сечение эллипсоида (1) плоскостью (2) было онружностюо, необходимо и достаточно, чтобы 1з — 411=0 11Кз < О. Первое условие прикипает вид 1(А (Ьт+сг) ГВ (сз+аз)тС ( — 1+ — з)1 А', Вз Сз 1 — — + —.+ — ) =О, (, Ьгс' сваг а'Ь',) лопопнинмк гм 668 илн, так как Аз+ В'+С'=1, го (А ( + ' т)+Вэ( . т)+Се( +(Я" г Аэ Вв С" т — — + — + — ) (Аа+ Вэ+Се)=0, '(Ьтсз сзаз атуз) кли 1 ч(-.'а--,') ' (4--,'')1' +Вв ~Вз( в) +2Аз( )( з ) ) 2Сэ( )( — х — а))=0, н полагая, что а > Ь > с, находим В=О, А'( э — — )+Ст( — Ьэ)=0, А с 3' аа-Ь' ЬгР— с~ Условие т'гКэ < 0 принимает вид рз рэ Сэ — < — + —.
асувса Ьвсз авЬз ' Так как Аэ+Сз=1, го Аз= сз (аз — Ьв) Ь'(а' — с') ' Сз= ав (Ьз — сэ) Ьэ (аэ — св) ' и, значит, Р' аа - Ьз Ь' — с' + аэЬтст Ьз (ав сх) Ь4 (ав сз) г или азсз р < —, Ьт ' или где (Х(<1 Вместе г тем этими уравнениями выражаготся плоскости асвх круговых сечений элдипсопда (1). !1. Эллиптическни параболоид х' уз — + — — 2х=О, р>0, у >О. Р у Находггм Сэ !э= —, Ру 1т — — — (Вэ+ Св) -'- — (А'+ Сэ). ! ! Р у Итак, плоскости, пересекающие эллипсоид (1) по окружности, выражаются уравиенняхиг с .
х Ьа ' з+)ас=О, У а' — с' 1' аз — с' ПЛОСКИЕ И КРРГОВЪ1Е Газ!в(змя К = — (20 С - В о - А хР). 1 РО Условия )т — б) =О, (зКз < О здесь принимают вил ( В'+ Ст А з+ Са ' чсз — — О откуда Если В =О, то в предложении р > д приходим к противоречию. А" = — < О, значит, остается (в случае Р > о) положить А =О; тогда В * 9 Р— 3 Р = — , следовательно, Р 9 Р В= ~/'— ' Р Так каи Аз+Вз+Сз=1, А=О, то с= ~/ — '. Ах+ Ву+ Сг+ 0 =О с ~/'х 0<Р— О тгг'Р Значит, плоское~и круговых сечений (прзпом всех круговых сечений) выражаются уравнениями рг р+з+ х О ~Р Ч Р вЂ” О 2 где ь — любое число, меньюее 1. И1.
Однополостпый гиперболоид: л, дт тз — +' — — —, — 1=О. а' Ьз сз ' — ),- 20С вЂ” Взч — А"Р < О; заменяя С' на 1 — А' — Вз. преобразуем сооз ношение (а) и виду цА — ц;+(1 — В'1 р)з+злоА В =О АВ=О, (А — !) Е+(1 — В)Р=О. Изменением знака левой части уравнения можно всегда добиться того, что С ~ О. Бзяз из условия )зКз < О, т. е.
условия 20С вЂ” Ве <О, находим (сз) (Р) ПЛОГКИЕ И КРУГОВЫЕ СЕЧГНИЯ Однако условие )зКз<0 здесь прнме1 вид Ьзсз Ьс —,— 0'<О, т.е. ) О) > —. аа а Плоскости всех круговых сечений двуполостпого гиперболоида сУа' — Ь' Ьрга'+сз у ь г+ Х Ьс = О, )г Ь'-1-сз У Ьз+сз где Х вЂ” любое действительное число, по абсолютной величине большее 1. 4. Ом6 ил ические то чк и Если плоскость параллельна плоскости кругового сечения эллипсоида, эллиптического параболоида или двуполостпого гиперболоида н имеет с поверхностью только одну общую точку, то эга то1ка называется очбилической. Такич образом, очбиличегкую точку одной из укаэанных выше поверхностей можно определить как круговое сечение по окружности нулевого радиуса. Так как условие, определяющее такое сечение, имеет вяд )а > О, !з — 4)э=О, Кз=О н так как координаты венгра симметрии сечения определяются иа системы уравнений 13), (4) п.
2 настоящего дополнения, то 1) для эллипсоида г' уз гэ а+ +г аз Ьз г' координаты омбилнческих точек находятся из двух систем уравнений1 х сУ а' — Ьт а ЬУа — ' у -'- = О, Ьз г ак Ьа — Г' Ьэ ах — )Ь с)' аэ — Ьз аарг Ьз — с' — хш —, г-йас=О, Ьгаз — гт ф' аз — сз где перед радикалами надо брать одноврсненно либо оба верхних, либо оба н1ш,них знака. Разрешая этп сисхсчы, находим четыре омбилические точки трехосиого эллипсоида: (~ а уГ'-, „О, .и с у Ьэ ГЦ; зх уз 2) для эллиптического параболоида — -,'— — = 2г, р > д >О, указанная вы- 11'У ше система примет внд — =О, р ДОПОЧПЕММГ Ы! — и+г+ — '= О. -х р-с 2 Ото~ода находим две омбизические точки: (О.
~Р о(р — О), '— О): 3~ длз двуполостного гиперболоида .казанная система принимает вид — =О, х оз у су' аз-Ьз оР'ЬзЧ-сз ' з Ь г" аз+се — — 2=~ с' иР Ьз+сз с1' а' — Ьз Ь у аз+се р — — т =р Ьс = О, р'Ьз+,х р Ь=" где, как и в случае зллипсоидз, перел радикалами берутся либо одновре.
менпо верхяие, либо одновременно нимние знаки. Решая эти системы, вайдам четыре охйалпческие точки дзуполостноюо гиперболоида: ДО)7ОАНжиИК Г~ ИРОЕКТИИНЫК КООРДИНАТЫ. ТКОРКНЫ ХЕЯАРТА, ПАСКАЛЯ И ))РИАИИ)ОИА. А)»ТОПОЛЯРНЫЙ ТРЕИОЯЬИИБ. АИТОИО,ХИРИЫЙ ТЕТРАЭДР Ь Проективные координаты иа проективной плоскости реализуем проективпую плоскость в виде связки 5 прямых и плоскостей трехмерного евклидова ирастрииства «вторая»«одели',. Нано»»»»им, что прямые св»зкн валяются «точками» пров»»инион плоскостй, а плоскости связки— «прямымн» (рис. 293). Выделим в связке 5 четыре прямыс а„а,, аз. е, из которых никакие три не принадле»кат од»~аГ«плоскости.
Возьмем па прямой е произвольн>ю точку, отл» чную от 5, и проведем через нее три плоскости, одна о» Рис 293 Рпс 294 из которых параллельна прямым о, и оз, другая параллельна прямым а, и аз, а третья паралле'и па а» и а, )рнс. 291) Пусть проведенные плоско;тп пересекаю» прямые а„о», оз соответсгвенио и точках т» 7ь 7« Пусть т — произвольная прямая связка Возьмем на ней произвольную точку М, отличи»ю от 5. Тоглв координаты х,, х,, х» точ«к М в обшей декартовой системе коорд1«»»вт с начало» 5 и «»асштабн~«»«и о«резка»»и 5Т„57», 5Т» называются проективпыми координатами «точ«и» и Ясно, что если «точка»т имеет координаты хм х„х„то ее кооршшатами будут также три числа ахи Ггх„йхт, где й — любое действитсчьиое числа, ие равное нулю. Кроме того, о«мети»«, что если иа прямой выбрать другую»очку»лля построения вспомагазельной обшей декартовой системы координат), то масштабные векторы новой 22 и.
с. Моле»»о» 674 ДОПОЛНЕННЕ !Ч общей декартовой сне!сны координат будут пропорциональны векторач 5Т„ 5Т, 5Т, п, значит, пров«тинные координаты «точкн» т образуют тот же класс пропорциональных .!роек чисел х,;х«:х». <Точки» о,, о„о, называ!атея ф у п д а м е н т а л ь н ы м и, «точка» е — е д ин и ч и ой; овв имеют следу!ощие проективные координаты: о, (1:0:0), о, (О:1:0), оз (О:0;1), е (1:1:1). Таким образом, просктивная система координат на проективпой плосностн (в случае реализации ее в ваде второй модели) определена, если па ней выбрат! произвольно че»ыре «точки» о,, о», о,, е, по три не принадлежащие одной <прямой», н приписать нм соответственно следующие координаты: 1:0:О, 0;1:О, 0:0:1, 1:1:1.
Уравнение произвольной плоскости связка (а указанной выше общей декартовой системе координат) имеет вид н,х, + и<х«+ и»х„= 0 Рис 295 и, обратно, вп!кое однородное уравнение первой степени относительно х», х», х, является уравнением плогкостп связки. Таким ооразом, всщ ая «прямая» проективной плоскости выражается однородным уравпепэсч горной стспсни и обратно. К ..!сс и,:и»:и„ пропорциональных троек !исел из коэффициентов в урааненни «пря«юй» н,!тылы от просктивнынв координатами этой «пря!!ой». «'1 очку» т вместе с е~ прогктпннымн координата»!и будем обозначать так: гл(х»!л«'х»), а «прямую» Л та.: Л (и,:н»:и») Пока»кем теперь, ка«вводятся проективные коордиваты точки в случае, если проектпвпая плог! ость рассматривается как евклидова, пополпснпан несобс»вснпычп точкачи. Возьчсч в пространстве прои»вильну!о плоскогть и н допол!им ее до прог!г! явной н тоскостп П Выбере.
в свклидовоч пространстве произвольпчю точку 5, пе лс»кащую на плоскости н, и рас- Ш смо»рнм связку прямых и плоскостей с центОг ром 5 (рис 295). Поставим в соатвстствае ))«) Об каждой прямой т связки точку М, в которой прямая т пересекает проектпвпую п»юскость !1, сслп пря«!ая т параллельна евклидовой плоскости и, то точкон ее пересечения с плоскостшо И будем считать т! несобственную 02 точку плоскости П, которая присоедипснв к прямым плогкости н, плраллелщ!ым прямой и!. 11 Построенное соответствие между множеством <точек» проективной плоскости, реализованной в виде связки с центром 5 (2-я моде.п ), и множеством точек проектианой плоскости, реализованной пополненной:!есобственнымн точками евклидовой плоскости (1-я модель), называется перспективпыч.
Псрспект,!гчое соответствие вза|ышо однозначно, и при этом любыч трем точкам, принадлежа!ц!г» одной прямой (в первой модели), апо ставит в соответствие »ри точки, также принадлежащие одной прямой (во второй молслп) Введен просктивную систему коорд, пат во второй моде.ш просктивпой плоскости. Тот!а каждая «точка» будет иметь просктивные координаты. Пусть М вЂ” произвольная точка плоскости П, а га†<точка», ей соотвгтс~ву!ощая в указанной перспективе. будем считать, что точка М и»!еет те »кс координаты х»:х, х„ какпс имеет «точка» щ, и называть пх проективными координата»ш точки М. !ГОРВМЫ ДНЗЛ!П Л, !! тСКЛ.!и И ГРИЛНШОНЛ 670 Пусть прямые и,, с,, оа, е пересекают плоскость П в точках О,, О, Ом Е.
Точки 0„0„0а пазываюгся фундамептальпычи, нли базнсными, точкьа!!и проективпой систечы координат па плоскою и П, а точки Š†единичн точкой, Если на плоскости П выбрать произво.!ьво четыре точки О,, 0„ Ов, Е, из которых никакпс три ве принадлежат одной прямой, то любая точка М плоскости П получит вполне определенные проективпые координаты. )) сачоч деле, выберем две произвольные точки 5 и 5', пе лежащие па плоскости л. 1!рямые 50г, 50г, 50л 5Е можно персвссти в прямые 5'От, 5'0„5'Ог, 5'Е таким аффипныт! прсобразованиеч пространства, при котором все точки плосности и неподвижны, а точка 5 переходит в 5' (косое с!катив к плоскости и).
При этом преобразовании прямая 5М перейдет в прямую 5'М. Ото!ода следует, что точка М плоскости П иыесг одни и те гке просктианые координаты, если реализовать просктивную плоскость любой нз связок 5 и 5'. Мы видим, что проективные координаты точки М па плоскости П пе зависят от выбора центра 5 вспомогательной связки (при помощи которой на плоскости П вводятся проективные координаты чо !ки), если !олька па плоскости П фиксиРованы фУпДаментальпые точки ОР Ог, Оз и еДипичнаа точка Е, которым приписаны соответственно координаты (1:0:0), (О:1:О).
(О:0:1), (1:1:1]. Предположим теперь, что пв плоскости х введена общая декартова систеча координат ХОУ, а кроче того, на плоскости П введена проектианая система координат. Будем обозначать проективные координаты точки М через х,:х,:хз, а однородные через х:у:г (так что для собствепвых точек плоскости х у П отношения — и — являются общимн дакар~оными координатами в системе г г ХОУ'). Установим формулы, связывающие проективные координаты с однородными. Пусть на проективпой плоскости П заданы базисные точки О,, О, Оа и единичная точка Е своимп однородными координатами (пикакие трй точки нз точек 0„, Ом Ов, и Е пе принадлежат одной прямой); Ох(а„;аю:а„), Ог (аы!ааг!ааэ), Оз(а!а!ага!агл), Е (е,:е,:еа). Пусть х:у:г — однородные координаты точки М плоскости 11, а хт;х,:хз— проектинные координаты той же точки М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
