1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 110
Текст из файла (страница 110)
тогда формулы преобразования системы координат будут иметь внд х = ч- Р 1азг ) хт, х,= щ рг (аз,( х„ ;=~У~ з(; (3) и, значит, уравнение (2) примет вид Е,х, +е,х', +езх),,' =О, (2') (4) зто мнимая псраспадагоптаяся ливия второго порядка. Если же линия (2) †действительн овальная линие второго порядка, то, считая ам > О, аз > О, азз < О, заключаем, что уравпепис (2) при преобразовании (3) системы координат припвмает вид х -(-х, — х, =О. з з (б) где вг равны -1-1 или — 1, Если е; все одного знака, то уравпеиие (2') может быть переписано в виде ДОПОЛНЕНИЕ гн б80 В зточ»лучае гр(1, О, 0)=ам) О, гр(0, 1, 0) аеа> О, гр(О, О, !) а, < О, а таь иак а, б = ее =а»»ааеаит < О, Оа 0 О Оа„ ю для точек О, и О, имеем грб < О, а для точки О, юб > О, Значит, для действптстп пой 1вальпой липин второго порядка вер»пнаа О, автополярпого треь гооьпика является внутренней точкой линии (5), а асрпйгпы О» н Оа-внеш- Ф Рис 303 Рис 302 ни»:и точка ч, (!роведеч из точек О, и Ое касательные к линии (5).
Опи персею,)тся ч чюырех и .»ах Е Гы стрический смысл выбора вовой единичной точки Е (фор»1улы (3)),аклгочает»х и том, что за новуго единичную точку Е берстсг тобая из тогек Е (рис 302) 3 ТСОРЕЫЬ» ДЕзаРГа, ПаСКаЛЯ И БРИЕ!!ШОНЕ Теорсьга ! ()[спарта)г Если пряные АА', ВВ', СС', соединяющие соотвеоо спгеенг ыг вершины двух треугольников АВС и А'В'С', проходят через одну пгоеяу тд ив люгти Р, О и В пересечения соответствуюи!их сторон ВС и В'СО СА и С!А', АВ и А'В' .гмот на одной прямой и обратно (рис 303) Д о к а з а т е л ь с т и о Введем па плоскости проективпую систему коордк нат принимая точки А, В С за базисные, а Π— за единичную; О (1;1:1) А (1:0:0) В (О:1:О).
С (О:0:!) Тогда гочки А', В', С имеют координаты А' ((1 + й): 1:1), В' (1:(! + р): !), С' (1 ! !! + ч)). Поя»г, АВ ВС и СА имеют координаты АВ [О:О:![, ВС[1гО:0) СА !О:1:01, а прямыс А'В', В'С' и С'А". А'В' [РНХ:(-Х вЂ” !» — ХР)1, В'С' и — т — р — чр):т.А, СА [:( Л вЂ” — йт)),[ ТЕОРЕМЫ ДЕЗЛР! А, ПА:КА !Я И НГИАг!ШОНЛ 68! Точки Р, Я, В пересечения ВС и В'С', СА и С'А'. АВ и А'В' будут Р(0: — (ьгч), 0(йгО! — и), В(Л! -р:0) Так как 0 — и ч 0 й -р то -очки Р, О, Гс лежат на одно! пряэшй Обратная теорема следует из дока.
наиной по малому припинпу доойстпсппогти (онз может быть до! азана также знялогично прозепснному доказательстну прямой теоремы), Теорема 2. ',Паскаля) Точки пересечения протаеопстъгньы сторон шестиугольника, списанного е де;ьстоительную нероспггдаюшуюся лини!о оторопи порядка, лежат но одной пряной Г(ок а з э т е л ь ст по. Пусть А,, Ле, Ль, Л„г1,. А„- шесть прокяпольпых точек, лежащих па действительной нераспадаю!пейся линии второго порядка. Приме!! тачки Л,, А,, А„за вершины базисного треуголш!нка! Л, (1:О:О), А,ГО:1;О), Ае(О:О:1), а точкч А, за единичную: А, (1: 1! 1) Пусть и этой системе проектияяых коорлипат точки Аь и Ал яме!от координаты Аз(а:Ь:с), Аь(а".Ь'.с'), Тогда уравнение линии ии!рого порядка. прохоавией через точка Ах, Аз, Аз, Ал, А, (см. й 2!0], имсег иил с(а — Ь) к!хе+а(Ь вЂ” с) хель+ Ь (с — а) кзх,=О.
Так как эта лиииЯ пРоходит чеРез точкУ Лз(а'.Ь'!с'1, го с(а-Ь) а Ь'+а(Ь-с) Ь с'+Ь(с-а)с'а'=О. Теперь найдем координаты сторон шестиугольника Сторона А,Аз." (О:0;1) Сторона АзАз. (1:0:О). Сторона А Ае! ~ 1 1 11: 1 1! (1 !!1 или (1! — 1:О) Сторона Алдь:((Ь с~ (с а1' а Ь(1, или ((с — Ь):(а — с):(Ь вЂ” а) ) Сторона АзАе.' ((Ьс' — сЬ'):(са' — ас'), (аЬ' — а Ь)) и, наконеи, сторона ЛеА,! 10: '. — Ь'). Зная координаты прямых А,Л, и А,Аз, находим точку (з их пересечен~!гп Р ( — (а — с): (с — Ь):О).
ДОНОЛЫГНИП ГЧ Зваи координаты прямых А,Лз и Л,А„, находим точку () их пересечешгаг Оз (О: — (аь' — а'(г):(а'с — ас') ). Накопен, зная координаты прямых АзЛ4 и АзА„находим координаты гочки (г их пересечения: Й (6'. 6". с'). Далее, ! — (а — с) с — Ь 0 0 — (а6' — а'6) а'с — ас' ~ . О Ь' 6' с з силу соотношения (1), значит, точки р, 1), Я лежат па одной пр вюй (рпс.
30() 1:нс. 305 Рис 304 диалогично ао1газызаготсз сзедуюпгие теоремы (часто иазываечгые частными сяучаяии эеоремы Паскале) Теорема 3. 11ргпгь Лп А, Лз, А, А; — пять проиэзольных точек, лглсагчих на дейсттггпельной нераспадоющейся линии второго порядка, 1 — касапигьная к эгпой линии в точке А, Тогда точки 0 пересечения прямых 1 и АзАп Л,Аз и А,Лм АзАз и А,Лч Рис 300 А,А, и АзАз и 1, и и лежат на одной прямой (рис. 300).
лежат на одной прямой (рпс. 303). Теороиа 4. Пусгггь А„Лз, Аз, Аг — четыре ггроиэзогьнь(с гпочкгг, лежаи(ие на действительной нераспадаюцейся линии второго порядка, 1,. 1, (л, 1;касательные к этой линии, проееденньге соотзепгстненно э точках Л,, Л,, Аз, Аз. Тогда четыре пгоюги пересе гения арямьт АзАю Л,Аг, (з таОРек!ы дезло! л, напк!ля и !*РнлншОн ! Теорема 5. Пустпь Л,, Л„Лг — три проноса !ьные !почки дейстоительной нгриспидиюгтсисл линии оп!араго порядка, а 1,, 1е 1ь — касате,!ьные к этой ли.
нои, прооеденнью к неи о этих !почках. Тогда !почки пересечения прямых А,Л, и 1!, ЛеЛл и 1„, АоА, и1, лежат на однои поя.ной (рис. 307). Теорема б (Брнаишопа). Прял!те, соединяющие пропигооположнв!е вершины юестиугот ника, шшсанного око.го дейсгппительной неоырохсдающеися линии второго порлдка, проходят через одну точку (рнс. 308). До к а з а т е л ь с т н о. Пусть точки касания сторон описанного шестиугольника б)дут Мг, Мг, Мг, Ыг, Мь Ме. Обозна нш с ороны вписанного шести. угол.
ника М»Мг, МьМю Ф!зМю М,Мь, М»Ма, Мьм! йэ г Мг Рнс. 307 Рис 308 соответственно чеРез 1„)з, )ь, Ры Уе, Уз. ВсРншпы Р, Рг, Рь, 6г, 6г, 6з игестиугольника, описанного около липни второго порядка, будут поткюами сторон )г, )ю )з, ут, йе, уз, На оснонаиии сзойста аоляр и полк!сов прямы! Р,б! будет по.носом точки ()„у!), прямая ре6,— полк!сом точки ()э, д ) и прямая Еэ6з— полюсои точки (1з, уг!). Так как точки ()„д!), (1а, й!) и ()а, до) лежат на одной пРЯмой, то пРЯмыс Р,6,, Г,6г, Рз6з пРоходат чсРсз одпУ точкУ (полюс этой пряной). Теорему Г>риюипона можно доказать и аналитически, исходя, например, нз следующего уравнения опальной л!ыии: хь+х — х„=0.
Частаые случаи теоремы Брианшона: !. Пусть А,АеАзЛ,Аь — пягиугольиик, описанный около деиствительпой цераспадааицсйсп линии второго порядка, и Аг — точка прикосновения прямой Л,Ль к этой линии; тогда прямые А,А, Аед„, А„А, проходят через одну точку (рис 309) '!. Пус!» А,АзЛгЛ, — четырехугольник, опнсаинь и о!.о ю дейстиительпой иераспадаюпггйся линии второго порядка, а Ль, Ль Л„ Л„ — !очки прикосновения сэо)кн! А,А„АтЛз, АзА„АгА! Тогда четыре прямые Л»Аь, АзАг, АьАт, АеАз проходяг !срез одну точку (рис.
3!О). 331 до1плнтннне !ч 4,, 4з Рис 303 Рис 310 3. Пусть А,А,Лз — треугольник, описанный около лействитсльяой нсраспада|ощсйсй линни шорого порядка, а Ам Аз, А,— то|ки прикосновения сторон Л,Л,„ЛеЛз, АзАи т Тогда йря~!ые АтЛь, АзАз, АтА„ проходят через одну точку (рис 311). Мти трн полозке1шя могут быть доказаны непосредственно (аналогично привезенному выше доквзатель. ству зеорсмы Паскаля) или выведены из частных случаев теоремы Паскаля с использованием свойств поляр и зй по;носов (гак, как была выше доказана теорема Брпаншояа).
Ф. Проектнвиые координаты в проективном пространстве Введение проеитввных иоординат точки (н прямой) па проектнвной плоскости мы дали, исходя из второй модели проектнвной плоскости И здесь. конечно, моткио было бы следовать точу г«е пути, вводя в рас. смотрение четырехмерное еаклидово простраяство. Однако ввиду отсутствия геометрической наглядности такого построения мы выберем другой путь, по аналогии с формулами (!), которые оыли получены а п.! этого Р 3П тяолямы дезАРГА, пАскАля и БР11Апшонл у>=О11Р1Х>+О12рзХ2+ОшрзХЗ О>»Р»Х4 у, = — а „Р,х, + а„р,х, + а,зозхз+ а„р, х„ гу>==-'О»1Р1Х>, Оз"Р2Х2+о»зозХ»+О14о»Х У, = а»,Р, х, + а»зузхз + а„Рзхз+ О4,р,х„ гДе Рм Рз, Рз, Р» опРеДелаютса пз системы УРавпепий а>лр, + а„оз+Олзрз+а,»о,=е,, а„р, + а„рз+ аззр, + аз»Р4 = 22 а,>о>+ аж о» т а:;»рз+ ат»о» = ез О41Р1ч О42 >2 О43РЗ+ О4»Р4 34 В силу того, что точки Ои О,, 0„0, не принадлежат одной плоскости, Ое((агь)жб, значит, вта система имеет и притом только одио решение р>, р, рз, Р».
Все числа рм рз, Рл, р,, образующие это решепие, отличны от пуля в силу того, что точка Е ие лежит в одной плоскости ии с одной иэ трех точек из числа четырех базисных. из спотк»шеппй (1) г (2) следует, что проективиые координаты х, х, х, х через однородные выражаются соопшшениями у, О>2 а>» а>» Уз азз аю Оы уз а„а.з аз» а» О>2 О43 О44 х,= ап у, а,з аы' аз, у, а„а„ а уз азз аз а„у, а»2 а»4 е, а,за,за>, 3, О„а,з а„ ез агм аз, а>4 34 4142 г>4» гг»4 аы 2, а>2 а>4 а„е, а„а,» а,м 3, а»2 а, а„з, а,, а»1 (а„ Оы У> Оы а„у, аз, О32 уз а34 а„у, а„ аы а>2 а>з у> а„аз аз уз аы а,, азь у„ О»1 О»2 а»2 у» аы аы алз е, аю а„а,, ез Оз> азз Озз гз( а„а„ае, е,( а21 а„ а„, Оы а„, ал а„ а>2 е, аы а„ез а„ Г>32 33 41*4 1142 34 О44 Из этих же формул следует, что проектиеБые коордиизгы базисных точек 01, 03, 03, О» и единичпой точки Е проективной системы координат соответсз- дополпсаия и которьы устанавливали связь олпородпых координат точки с ее проективпыми коордипшзми Имспио пззовсм просктигпоя системой координат (0,02030,Е) в просктяв.
пом пространстве совок) пиость пяти точек О,, 02, 03, О,. Е, из которых никакие гс>ырс пс пряиадлсжаг одной плоское>и Точки 01, Ою 03, О, будем называть бззиспыми, а точку Š— единичной. Тетраэдр 0,01030, будем называть базисным. Введе>1 В ПРоектизпом прострапствс общую декартову систему коордипат Олух и пусть в этой системе координат базисные точки и единичная точка проектив.
иой системы координат имеют коордиг аты' 0,(а„:аз>:аззга»1), 02(аы'Озз'Озз:а»1) 03(аы:О„;азз>а,з), 0„(а>,гам:а»4>а4») и Е(е,:е,:езге,). Г(усть А) — произвольпая точка проективиого простраиства, а у,:уз:у,:у,— ее однородные коордппаты (в системе Охуз). Ыазовеи проектив>гь»гп коордипатзми точки А( чспзре числа х„хм хз, х, (а таки е любую егверку чисел ух>, Ах„ lгх», ух„где А-любое число, пе равное 0), определяемые из соот- ношсиий Ьсб до по.с! н к н и в ! ч аспис таковы! 1=п 1+й О, 1=а О+)3.1, 0 по+00, О=п О+й О, и, далее (дл «аордипат точки Мс,): х,=Л 1+о.О, х,=л О+и.!, о=л.о+о о, о=л о+р.о, где Л=х, и р=х, Значит, сложное отношение хс (ОсОзЕтзМ,«) — и т д., хз п=1, ()=1 т е отношение проексивных координат точки имеет чисто геометрический смысд Отсюда следует важный вывод: проективные координаты точки, лежаша„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
