1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Уравнение ()) в новой системе координат примет вид а11х +азер +аззг +2а!гх У +2агзУ г 2аз11 х + + 2а, х'+ 2 а, у'+ 2а,, г' -)- а = О. 17) Линия пересечения понерхпостн (() плоскостшо (2) в новой системе координат выражается уравнениями а,х' +2а,х у+а у' +2 (а,— а 0) х'-)-1(а,— Ра ) у+ +а„Р' — 2а 0+ а=О, зз з г'+ 0=0, По условию теоремы вто сечение является ливией второго порядка, т. е.
среди чисел азы а„, а, хотя бы одно отлично от пуля. Поэта»!у простейшее )равнение последвси линии в плоскости г'= — О пишется в виде )ч,Хз+)» 'г'з — ' —.=О. если 1,=,, ~ О; К,, ~а„а, 1, а„аз д Хг х 2 — —,)'=О, 1, а1! а11 а,— а„0 1( = а а " — 'зз0 если ! =О, ФО а!1 а11 и1 Л иг! азг из В а, а, а 0 Л В Р 0 а1, и!! аы а, А аз! игг а,з аг В аз! им азз аз Г а, а, из а 0 Л ВС РО аиа„а, А аз, озз аз С а1 аз а Р ,Л С Ро аг, агч аг В им изз аз С аг а, а Р ВСРО ДОНОВ!1ЕНИЕ !!! 662 н в виде 1,Х'+ —, =-О, если 1, =О, Кз =-О, 1, =а'„+а„~ О, К, 1 причем а Х, п Х вЂ” корни харвктернстического уравнения 3' — 1,Х'+1, =-О, рассмотрим уравнение а1 гх 2+ азз у 2 + аззг2+ 2агзху+ 2агзуг+ 2аз 1гх -,'- 2 (А х+ Ву+ Сг) = О. После указанного преобразования координатной системы вто уравнение примет спеку!питий внд: Сравнивая инвариант Кз и семиипварнант К, для двух последних уравнений поверхности, получим а„а12 Л ~ а„а,з Л (а„аз В 11== — азз азз  — ! аз, аз, С вЂ” ! аз, пзз С = А В 0 (А С 0 )В С 0 =а„+а =1.
Теперь рвссмотрич уравнение а„х' -,'-а„у'+ аззгз —; 2а „ху+ 2а„уг -'; 2аз, гх+ +2азх1+2азу1+2азг(+а!2+2 (Ах-'ЛВу+Сг+О1)=0 поверхности второго порядка в четырехмерном пространстве. Произведем то же преобразование поворота осей Ох, Оу, Ог (сохраяяя ось 01, т. е. полагая 1=1'); тогда получим новое уравнение в виде а и" +аззу +аззг *+2агзх'у'+2аззу'г'+2азгг х + +2а х'!' 'г2азу'1 +2азг 1'+а1 +23'+2О1 0 а„а„а, А а„а„а,„В а„аз, азз С А В С О а11 а12 О 0 0 0 аы а„ аи Ю !а а а31 а32 азз ! 21 22 0 0 ! 0 2З аз1 азз 1 — а12 азз ) о (о, )о )о ПЛОСКИБ И КРУГОВЫЕ СНЧННИЯ б63 Сравнивая определители пятого порядка, составленные нв всех коэффициентов двух последних уравнений, получим ' 112 а а12 21 а,з а11 а, 21 22 а — а 0 а — а 0 1З 2 2З О О Умножая элементы третьего столбца на 0 и вычитая ив последнего столбца, получим детерминант, равньпз К . Если сечение представляет собой две параллельные прямые, то, сравнивая семиипвариапт Кз для двух последних уравнений поверхности в четырехмерном пространстве (йе выписаны слагаемые, * Если над переменнымн мпогочлепа второй степени ~~а вххв+2 ~» а х;+а производится линейное преобразование х;=~ч~~ЬРхг-~-Ьн то получается функция вида ~~агьхгхя+2~ч~~а, х +аз, причем коэффициенты преобразояаниого многочлена с коэффнциентвми начального много1ленв связаны соотношениями ( а ) = ( Ь, ) <а;2! 1Ь121, Отсюда следует, что Ре1( а, '1=0е1 [а;2! !Ре1 1Ь;2)]2, тав ау Эти положения следуют нз аналогичной теоремы для квадратичной формы (см.
подстрочное примечание на стр. 347). аз,азза, а, А аз, азама В аз1 азз азз аз С аз аз а 0 А Н С 0 О аз1 азз а — а Р а — а 0 1 12 2 22 О О а, а'„а', а О а„а„а, а,О аз, азз азз аз ! а, а а а 0 О О 1 0 О азз а О а2з а О а аз а — а Ра — Оа О з за з ! 0 О а22 а, а — а Оа — Ра з зз з ! 0 ЛОПОЛНСНИН 1и бб) равные нулю), получим азз агз аз В аз, азз аз С аз хз а 0 В С 0О А В 0 о ага А азз аз С а, а 0 С 0О а, "Зз аг А ам а, о а,з а„а, а, аз а А В 0 а'„а ( а'зз а' 1 11 1 а'„а', 1 а а 0 з 0 о а,„ а11 а,. а, а ° з 11 а, О а, о а, а 0 О 0 О а'з а 0 О 0 О а, о Первый детерминант прагой части равен нулю в силу гого, что (мы предполагаем, что линия пересечения есть пара параллельных орямых).
Двв остальных детермипвгпа преобразуются ь виду! а ато выражение равно К . ИЛ1ЕЕМ А!+ Вт + Сп О. ото равенство удовлетворяется прн тех же виазеинях 1, т, п, при кото рых выполняется равенство (1), поэтому соответствуюшке коэффициенты пн 2. Расположение в пространстве плоского сечения поверхности второго порядка Поиажем, как определить расположение в пространстве плоского сечения поверхностн второго порядка в случае. если сечение является нераспадаюплейся ливией второго порядка С л у ч а й 1.
Пиния сечения является действительной центральной пе. распада1он(ейся линней второ~о пор ялиа (эллипс или гипербола). Пусть (х,, уз гз) — центр пиная сечения. Прн выводе уравнения диаметральная плоскости поверхности второго порядка было показано что необходимым в доствтош1ым условием того, чтобы точна (х,, уз, зз) была серединой хорды, нмшошей направление вектора !1, т, л), является раоснсгво (аззхз+ алзуз+ аззг +аз) 1+ + (азлхз+ аззу„+ аззгз+ о,) т+ (1) + (аззхз+ аззрз+ а. ге+ а.) л =О.
Но тан как (хз, уз, г )-сенту сечения, то для направляющих векторов (1, т, л«Г хоРд поверхностей, лежащих в 11ЛОсКОСти, ПРоходяшнх через эту точку, соотьошенне (!) выполняется. Кроме того, иэ «славия ксмплзнариости век.1ора (С т, л~ и плоскости Ах+ Ву+ Сг+ 0 = О т(лоскин и крыгонып ссчгыия ббб 1, пг, и в ура~ пениях (11 и (2) пропорциоизпьны пллхг+ пггь, + ол,гь-) о! — )А, аых,-( аг,уь-( а„г„.л аг=) В, (3) ал,хо+вы)ь+ оггг,-) ах= ХС. Так как пентр (хе, у, г„) сечения лежит в секу пей плоскости, Лхв-г Ву + (:и+1 =О, (4) Итаи, координаты х,,у„,г, иеитря сечения, есл: линия сеченая пе~ттпаль.
ная. находятся пз системы (2), (4) Для определения расположения сечения в случае, если оно эллипс или гипербола, остается определить координаты векторов, имеюшнх главное иа- прапление Пусть «1л глл,ггл(г ч (!г,жг,пг) единичные векторы, каллянеариые соответственно осям О'Х и О'У симметрии линии сечения, причем в системе ХО'у пиния сечения выражается уравнением ) Хг) дуг+ Хг г 1 где ьл и хг — корни харгктеристического уравнения Дг 1,Д+)г=б. Введем в пространстве систему координат О'ХУЕ, принимая оси симмет.
ряи линии сечения за осп координат О'Х и О'у, а за ось О'2 норма и к плоскогти пипки Единичные векторы осей (УХ, О)у, О'2 обозначим так. Ет=(!„жл,пл~, Е,=(1гппппг) Ез=(А,В,С~. Форт(>лы преобразование координат имеют вид; х 1,Х+(гУ+ А2+ ке, у=гллХ+гл )'+ВХ+уе г=лгХ+ пгУ+ С2+ гэ где хе, ув, г,— координаты центра О' линии сечения. В указайаой системе координат группа старших членов уравнения поверхности имеет вид Х,Х + Д,)'з+2Р,Хг+ 2бгЕХ+ у2', причем матрица втой квадратичной формы выражаегся через матрицу квад. ратичной формы ам ха+ аггУ'+ аззгг+ 2а(,хУ+ 2агврг+ 2пг,гх со от ноше н и ел| (" ":)-('"-'::Х '::: ('-' '-' ") р,))гу А "С а„ааалгl и, и, С Так ках чагрица лгг лгг В ортогональная то обратная к пей совпадает с транспоннроваиной Поэтому, допог!кении >>! умножая обе части последнего матричного равенства слева нв патрику т,т,В получим ам а„ а, т, тг В = т> т, В О )>з ((з аз азах, и, л, С л, л, С >)>()зу Перемно>кая магрипы и сравнивая соответствующие элементы пронзав.
деиий, получим сне>ечу (а„— Х>)1, ->- аы>п, А а>зп> — А()> О, ам>, + (азз — )н)>л, + амл, — В(), = О, ал> + аззт + (а>з — Д>) л, — С((> = О, а кроме того, А1, + Вт, + Сп, = О, ото>оза найлем координа>ы вектора Ен имеющего направление оси симмет- рии О'Х Аналоги >но пз уравнений (ан — йз) 1,+ а„лы+ а„п,— Ай>=О, аю1, + (а „вЂ” ) г) тз + а„аз — В()з = О, аз>1>+ аттз+ (азз — )>з) лз — С()з= ". А(>+ Вт,+Сл,=О найдем координаты вектора Е,, имеющего направление оси симметрии О'У. Впрочем, можно найти Ее зачем>в, что Е,=(Е>Е>); координаты Е, найдены, з Ез равно (А, В, С) С л у ч а й ! ( Линия сечения — парабола Принимая за новое начало коорднна> вершняу О' параболы, за ось О'Х вЂ” касательную к вершине„за ось О'У вЂ” ось симметрии, а за ось О'Я вЂ” нормаль к плоскости сечения, приведем группу старших членов уравнения поверхности к виду )чХ" +2()>ХЕ+ 2()>У2+уЯ> и прсдыдушими рассуждениями установим, что координаты .
вектора Е>=(1>, т,, л,), коллинезрного касательной к параболе в ее вершине, определяютсл нз системы (໠— Х>) 1, + а„п>, + аыл, — А ))> = О, аз>1>+(а„— )ч) т, +а„п, — ВВ> =О, ам'>+ аззт>+ (аю — Х>) л, — С(» — — О, А1>+ Вт>+Сл,=О, где )>> и> О, а следовательно, уравнение плоскости, сопряжеяной направлению касательной к параболе в ее вершине, 1, (нюх+а>,у+ а,>г+а>)+ + гп> (аз>х+ аззу+ пз>г+ аз)+ + л> (амх+ азгу+ аззг+ аз) =О вместе с уравнением плоскости сечения Ах+ Ву+ Сг+Л =0 определиют ось параболы. ПЛОСКИЕ И КРУГОВЫЕ СЕЧЕНИЯ Вершину параболы найдем, разрешая систему грех ураза:ний. Ах+ Ву+ Сг+ 0 = О, 11(аггх+ аггу+ агзг+аз)+ глг (агзх+ агзу+ аззг+ аг)+ -Г пг (аз, х+ ему + а,вг + аз) = О, а11х +иззу +атзг +2а1гху+2агзуг+2азггх+ + 2а,х+ 2азу + 2авг + а = О.
КооРдинаты вектоРа Е,=(1,, гпе, лз), коллаиеаРиого оси паРаболы, пРоще всего определить из соотиошеийя Ез=(ЕзЕ1) илн из приведенной выше систе- мы уравнений при )1=0. Если преобразовать данную прямоугольную систему координат Охуг в пря- моугольную систему Ох'у'г' с теи гке началом, направив оси Ох', Оу', Ог' соот- ветственно по векторам Е„ Е„ Ем то уравнение (1) примет вид + 2а,х'+ 2а,у'+ 2а г'+ а =О, так как при г'=О это уравнение получается из канонического уравнения се- чения (парабола) в результате преобразования перепаса.
Уравнения линии сечения: а„х' +2а,х'+2а у'+а=о, г'=О. Здесь вы=11~О, а твк как обе системы координат Охуг и Ох'у'г' име- ют одно и то же начало, то а =рег, где р=(аг, а, аз). Отсюда следует, 1то если рЕз и Хг имеют разные знаки, то вектор Ег направлен в сторону вог- нутостн параболы, а если одинаковые, то в сторону выпуклости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
