1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Определение 3. Два ориентированных тетраздра А ВСР и А ВСЕ ггмегоггг одинаковый обход, если лтчки 0 и Е лехсат ло одну сторону от л,госкотли ЛВС, и противоположный обход, если глочки 0 и Е лехсагл по разные ыпороньг олг плоскости ЛВС. Аналогично дается определение однпакового или противоположного обхода для двух орисгпироваипых тетраэдроа, отлицагоннгхся толька одними первыми, илн только один ги вторыми, нли только одними третьизщ вершниамн Определение 4 Если в цепи, соединлющей ораентированньге тетраэдры АВСР и Л'В'С'0', число лар соседних ораентированных тетраздров, илгегогпих лротиаоло,гожный обход, четное, то ориентированные тетраэдры АВСР и Л'В'С'0' иаеюгп одинаковуго ориентацию; если аге зто число нечетное, то ориентированные тетраэдры АВСР и Л'В'С'0' имеют противоположную ориентацию, Теорема 2. Во всех цепях, соединяюи(их ориентированные теглраэдры ЛВСР и А'В'С'0', число лар соседних ориентированных тетроэдров, имеющих про- тивоположный обход, или всегда четное, ссли всегда нелетное.
Эта теорема валяется следствием следующей. Теорема 3. Пусть относительно общей декартовой системы координата заданы вершины Л (хг гйх, гх), В (хр, Уз, гр), С (хз, Ул, гз), 0 (хз Уз, гз); А (х,, и, г,), В'(х,, у„г,), С (хл, уз, гз), Р'(хз у4 гз) двух ориентированных тетроэдров АВСР и Л'В'С'0'. Для того чтооы зти ориентированные тетраэдры имели одинаковуго ориентацию, необходимо и до- статочно, чтобы опреде гите ги х, у, г, 1 хр уз гр 1 хг уз гз 1 х,у г! хл уг гг 1 хз ур гр 1 хз уз гз ! Х4 у4 г4! и Ь'=- 21' имели один и тот же знак. Этз георсгт доказывается на основании э' 85 о расположении точек по одну и по разные стороггы от плоскости аналогично тому, как доказывается теорема предыдущего п>икта на основании теоремы 4 62. Иэ этой теоремы следует, что, переставляя буквы Л, В, С, Р всеми двадцатью четырьмя способами, получим 24 ориентированных тстраэдрв, нз которых 12 имеют одинаковую орнсптзцщо, а 12 — нм противоположнуго. Следусг.
такгкс замегнть, цто два ориентированных тетраэдра, и:сощих одинаковый ггбход ггггегот и одинаковую орнснтзпиго, ес:и же онп имеют про. тивоположиый обход, они имеют и противоположную ориенгацию. дополнения > Из доказанной тсоремы вьпе>,ают слсдствия С л е д с т в и е 1. При преобразовании сп»»етрни относительно члоскостп ориентация ориентированного тетраэдра АВСО меняется па прогивоположпу>о >для доказательства достато н>о принять п "оскость симметрия за плосгость хОУ прятюугольной системы зоойди >ат хОУ и воспользоваться георемой 3) С л е д с т а и с 2.
При преобразования гп >т>етрин относит льио прямой ориентация ориентированного гстрьэ гра АЛСО не >епяетсч >для доказательствз ввести декартову нрямоугольнт>о систему гоорзннат припав за ось Ог данную прямую) С л е д сто и е 3 При преобразования симметрии отпоснтельно точки ори. ентзция ориентированного тстраэдрэ меняется Сл ел с т в не 4 Ориентация ориентированного гетраэдра не меняется прн переносе т е если А А' = ВВ' = СС' = 00', А (х, ум г,) В >хг у, >П С >х> уз гт), О !хя уь гь) заданными относительно общей гекартоеои системы координат, ия>еет лоло. жительну>о ориенгпацию, если определитель х,у,г>1 хг Чг гг 1 хз Уз гз ! хя Уя г> 1 г,—, Х,У,Е, г,— г, = Хь Гг Лг >О, гз — г, Х> У> 7ь х, — х, у, — у, хз хя Уг Уэ уз уя и отрицательную, если Л < О !Х> ум 2, — координать> вектора ОА, Хз, Ую Хг — кооРдинаты виктоРа ОВ Хм Уз, г.я — кооР)анап>ь> тектоРа ОС) Доказательство 1а>, ьак ОЕ =>)1, О, О) ОЕ,=(О, 1, О), Ойт=)О, О, 1) то ориентированные тетраэдры АВСО и А'В СО' име>от одинаковую ориентацию Определение 6 Если е пространстве фикгирозан ориентированный те>пра.
едр Е,Е,Е„О (базисный тетраэдр) ао проьаранс пео ориентировано. Если ориентированные тетраэдры АВСО и Е,Е,Е,О >нею>п одинаковою ориентацию, ао ориентированный аегпраздр А ВСО имеет пото>котельную ориентацию, а если ориентированные тетраэдры АВСО и Е,Е Е,О имеюп противоположную ориентацию, то теараэдр АВСО имеет отрица пеяьнуго ооиентацию Если в прас>ранстве введена обтап декартова система координат то его обычно ориентиру>от орн итировт>ным тетраэлром С,ЕзЕзО, где Р-начало координат, а Е,, Ез, Е,— епю>нчпые точки огеп Ох Оу, Ог Таким абра юм все се> зртовы спето»»о>!.дина> з прострэпстве ма>к" о рнзбить па лоз класса дос системы принадлежат л олпомт к>ассу, ее >и пх базисные тетраэдры нмекн одина оную ориен ганн,о н н разным классам сслн базисные тетрзэдры и> е>от противоположную ор >ентацию Теорема 4 Г>риентироеанный тетраэдр АВСО г еершинаяш Огивнтлгтия 645 ~оо л'= о ~ и =1>о, ОО4 то утверждение теоремы следует нз определенна 5 п теоремы 3.
Определение 6. Расслютрим две упорядоченные тройки некомпланарных векторов а, Ь, с и а', Ь', с', Отложим векторы а, Ь, с от произвольной главки 0: 0А=а ОВ=Ь, 0С= а векторы а', Ь', с' от произвольной точки 0'. 0'А'=а', 0'В'=Ь', 0'С'=с'. Упорядоченные тройки некомпланарных еекпшров а, Ь, с и и', Ь', о' имеют одинаковую ориентацию, если ориентированные тетраздры АВС0 и А'В'С'0' имегот одинаковаю ориентацию, Если же вти ориентироеанньье тетравдры АВС0 и А'В'С'0' имеют противоположную ориентацию, то упорлдоченные тройки векторов а, Ь, с и а', Ь', с' имеют противоположную ориенпгацию Заметим, что выбор точки 0 (и 0'1 произвольный В савом деле, е ли векторы а, Ь, с отложены от точки Р РАа=а, РВ =Ь, то тетраэдры АВС0 и А,В,С,0, получаются один из другого псреносои и потому имеют одинаковую оригпгацню Если в пространстве гяедея базис е,, е„еь, го мы будем гояорить, что упорядоченная тройка пскомглзяарных тек~оров а, а, с имеет положительную орнентацюо, если зта упоряхо сипая тройка имеет орненгзцию, одинаковую с базисол~ Если ме упорядоченная тройка некомялацзрпых векторов а, Ь, с и базис имеют противоположную орпгнтацию, то буде", говорить, что опа извет отрицательную ориентациго Ясно, что упорядоченная тройка пекомплапарпь1х векторов а (Х, г', Х,~, Ь=(Х, г', Х,~, с=(Х, Уз У,~, задавных своими коордипагачн ~тноспгельно об цей декартовой системы коор- динат, имеес положительную ориентацию ~огда и только тогда, когда Х, у г, Л= Хе Уз Ез >О Х,ул Хт Если Л < О, то упорядоченная тройка а, Ь, с векторог имеет отрицательную ориентацию.
3 а м е ч а п и е. Банные определения ориентации плоскою и и пространст~ з опираются лишь на аксиомы соединения и порядка Значит, данные опредс |синя одинаковой или противоположной ориентации двух ориентированных треугольников нли двух ориентированных тетраэдров можно перспестн, папрнмер, на плоскость и пространство Лобачевского (нлн в абсолютную геометрию1, ДОПОЛНЕНИЕ П МЕТРИЧЕСИАН 1ЕОРИП ИНВАРИАН1ОВ 3!НОГОЧЛЕНА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ ОТ,1ВУХ И ТРЕХ ПЕРЕ!!ЕННЫХ ОТНОСИТЕ'!ЪНО ПРЕО!эРАЗОВАПИЯ ОБШЕЙ ДЕНАРТОЫОЙ СИСТЕМЫ НООРДИНАТ !. Контравариантные и ковариантпые координаты точки и вектора на плоскости Пусть на плоскости введена общая декартова система коордиват хоу с масштабными вектоРачи е,, ез.
Наедем следУющие обозначениЯ дла скалЯР- вых квадратов масштабных векторов и для самого скалярного произведения егезг е =Утг, атея=Ими е =Узз. Совокупность этих чисел у,а будем называть метрическим тензором в базисе е„е,. Наряду с системой хоу рассмотрим систему х,оу, с тем же началом координат и такую, что ось Охг перпендикулярва оси Оу и образует с осью Ох острый угол, а ось Оуг перйсндикуляргга оси Ох и образует с осью Оу острый угол, масштабные векторы е' и е' осей Ох, и Оу, выберем такими, чтобы ска. лЯРные пРоизвеДениЯ ет Ети Е,ез бы- У ли равны 1 Итак, е,е'=Б е,е'=О, е,е'=О, е,е'=Б или короче е,е"=6"„ где бг=К если г'=и, и 6,"=О, если ~т гФй Систему хтоу, будем называть в з а и м и о й к системе хоу (рггс, 292) Очевидно, что системой, взаимной аля х,оу,, будет исходная система хоу, упорядогеггиые пары векторов е,, ее и е', еа называются взаимны ми базгсачи Совокупность скалярных произведепвй уг"=еге" называется метрическим конг авариаптныч тепзором базвсв ег, ез ассмотрим вектор а.
Разложим его по векторам е,, е, и по векторам е', езг а=агег+азет а=атег+азез. Коэфгрициеггты а', а' называются ионтравараавтвымн координатачи век. тоуа а, а аг, аг — коваРвантными кооРДвнатами аектоРа а в базисе Ег, е„ мвтричиокля твория иннлрилнтов многочлинз 647 Рассмотрим два вектора а н Ь, разложив их по век|орам ем е, а гакже по векторам е' и е'. а=а'е,+азе,, а=а,е'+а,е'. Ь=Ь'е, +а'е,; Ь=Ьте'-) Ьзез Составим скалярное произведение аЬ в четырех вядах1 аЬ =а'Ь'а„»-(атУ+а'Ь')ум+азбтузз аЬ = а,э,ум+ ~азэ, »- а,Ь,) ум+ азвту~', аЬ = а,Ь! + а,Ь', аЬ = а'Ь, + азЬя. й|ы видим, что удобнее всего выполнять скалярное утнюженне двух некто.
ров, если один вектор задав козарааигьычн, з другой когнравариаптнычи координатами установим связь контравэрпантны . координат а', аз с ковариаптиыми координатамн а,, аз одного и того жс вектора а Из соотношения а=сне, + а'е, =а,е'+атее находим а,=и'е,е, +а'е,е,, ае а'е,е,»-а'е,е„ ат = а'ум + азутя, а, =а'ьатз+азуяз, или аз=агапа, если чсловиться, что по индексу а, который одни раз является нижним, а другои раз — верхним, производится суммирование от 1 до 2 Аналогично находим а'=ущ а Отметим еще формулы а'=ае' н а;=аеп выражающие коптрапариэпзные и коваривптиые координаты вектора а через скалярные произведения этого вектора на базисные векторы е; и е'. Наряду с понятиеч контравариаптпых и ковзриаитных координат вектора вводится понятие контравариантиых и ковариантных координат точки М, как координат ее радиуса-вектора ОМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
