1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Доказать, что если нз внешней точки лейстнительпой овальной !инин провести касательные к ней, то прямая, соединяю!лая эту то!ку с серединой хорды прикосновения, буде! аиамстрои хинин, сопряженным направлению хорды 8. Найти сгиба!ощую семейства прямых, образующих вместе с двумя дан. ными пряными треугольник постоянной площади. 5 Ота ху = —., где 5-пло7пэдЬ греуГольинка, а Ы вЂ” угол междУ дан.
из!и я' ными прямыми !за оси коордипа! принимаются данные прямые]. 9. Дап треугольник ЛОВ; из каждой точки его стороны ЛВ опущены перпендикуляры на с!арапы ОЛ и ОВ. Найти огибающую прямых, сосдппшощих основания этих перпендикуляров. Оша. Парабола. 1О. Составить таигспциальное уравнение поверхности второго порядка: а,»х;х»=!. ! аы аы азз а,з и! аз! а22 аз! а24 из а,п азз азз аз! из а4! а,з а,з аз, из и, и, из и„ О з ~~~Р Лг»ити»=О, ,»=! где Л;» — алгебраическое дополпенве элемента а;» а матрице (а!»).
11, Найти геометрическое место точек пространства, нз которых данная точка и данная пря77ая проектпру7отся на плоскость ванной липин второго порядка в ее полюс и попару Огиз Липин второго порядка, лежащая в плоскости, проходящей через данную точку и попару точки пересечения данной прямой с плоскостью данной кривой относительно этой кривой ДОПОЛНГИПК1 ОРИКНтАИИТТ 1 Ориеитаиии плоскости Определение 1.
Ориентированным треугольником ЛЯС называется упора доченная тройка точек. не принадлежащих одной пртаой При обозначении ориентированного треугольника порядок его вершин определяется порадкоч их . аткн Определение 2 11епью, соеьиняюи)ей ориентированные треугольники ЛВС и Л'В'С', называется конечная упорядоченная последовательность ориентира. ванных треугогьников первын згелентоа которой являетсл ориентированный гпреигольник АВС, псслеоним — ориентированный треугольник Л'В'С', тикая, тпо каждые ооа соседних ориентированных пгреуеочьника втой псслесхоеагпель ности отличаются только одной евра~иной, занимающей а обоих треугольниках одно и то же месгпо ЛВС и А'В'С' Теорема 1.
Вь Гые сеа ориенп ированныт треугольника можно соединигпь цепью Дока за тел ьсч в о Такая пень гудет, например, АВС. ЛВО, АРЯ А'РО, Л'В'О, А'В'С', гре Р— любая зочкь, ье лежащая пи на прямой АВ, ни на прямой Л'В', а Р-какая-нибудь точка, не лежагпая пи па прямон АО пи па прямой А'О' (рис 283]. Определение 3, Даа ориентированных треугольника АВС и ЛВР ил~в|от одинаковый обход, если точки С и Р лежат по одну сторону от прямой ЛВ 'грие 284) Если же гпочки С и Р леягат по разные гтгроны от прямой ЛВ, то ориентированные треугольники ЛВС и ЛВР имеют противоположный обход (риг.
285) Аналогично определяется одипаковын и противоположный обход ориентированных «реугольпнкон, отличающихся только вторымя или только гервыми вершипамн Определение 4. Если в цепи, соединюощей ориентированные треуголь ники ЛВС и Л'В'С', число пар соседних треугольников, имеющих противопо.
ложный обход, ~етное, то гоаоряпи ~тг ориентироаппные гпреугольники ЛВС и А'В'С' имеют одинаковую ориенпгацию, если же зто число нечетное, оииГнтхции то ориентированные треугольники ЛВС и Л'В'С имеют нротивополохсную ориентацию Иа рис 286 взображеиы два орие|пированпых;реугольвика АВС и А'В'С', В пепи — — — ь — ) АВС, СВС, ВЕС, Е5ЕС', Л'ЕС', А'В'С' Рис, 283 Рис 284 обход менпетсн два раза, значит, ориентированные тре> гольнн: и АВС и Л'В'С' имеют одинаковую ориснтапию для того чтобы оправдать определение 4, надо енсе доказать следу5ощуго ,теорему Теорема 2. Во всех цепях, соединпющих ориентироеинные треуголь- В А' Рис 288 Рис 286 ники ЛВС и А'В'С', число нар соседних треугольников, имеющих лротивололохс« ныо обход, или всегда четное, или всегда нечетное.
Иннин словамн, надо показать, что свойство двух ориептированпык тре. угольников иметь одинаков)чо или противополо5кну5о ориентапи5о не зависит от выбора иепи, соединяюптей зти ориентированные тречгольиикн Теорема 2 является следствием следу|о5ней теоремы, Теорема 3. Пусть относительно общей декора~свой системы координат ыгда ни вершины Л)хо У,), В(х~ У), С(х, У„) А'(х, у,), В'(х, у ), С'(хв у ) б!О дополшвнме ! ориентированных треугольников ЛВС и Л'В'С'.
Для того стобы ориенптрованные треугольники АВС п Л'В'С' ипели од}никоввю орпентонто, необходима и достаточно, чтобы определив!елц х, у, ! х у, 1 х.з у„! ~ х! у, ! А=х,у,1 н Л'= хз уз 1! имели один и тот же знак. з!ох азательство. Рассмотрим каких-нибудь два соседних треуголь.
ника цепи, соединяющей ориентированный треугольник ЛВС с ориентированным треугольником А'В'С'. Пусть, например, это треугольники Мурр и й!Х<~ с вершипамн м (хзя, ум), В(хгг, уы), Р(хр, ур), () (ха, уо). Уравнекие прямой Мй! имев! вид ! х у ! хт ул! 1 =! хм ум ! Рассматрич результаты бр и бб подстанавак координат тачек Р и (г в левую часть этого уравнения: (хр ур ! х!э уа 1 бр= хл! Ум ! и бр= «л! Уж 1 хы УМ ! х!в уж ! На основании й 62 числа Ьр и бб одцога знака, если точки Р и С лежат па одну с~арапу от прямой М!У, и разного знака, если точки Р и Я лежат по разные стороны от прямой Мгй Иначе говоря, числа бр и йб будут одного знака тогда и только тогда, когда ориентвраванные треугольники МтУР н и!!У() имеют одинаковый обход. Ото!ода следует, что число перемен знака в конечной последовате.
ьнасти определителей, соответствующих треугольникам цепи, соединя!ощсй орнецтировппные треугольники Л ВС и А'В'С', равно числу пар соседних треугольников этой цепи, имеющих противоположный обход. Но если апре е.!ителя Д и д' имею! одинаковый знак, зо в последовательности определителей, соответс!ву!ашик ориентированным треугольникам цепи, знак чецяется четное число ра! независимо от выбора цепи, а значит, независимо от выбора цепи, соедяия!ощет! орие!пированпые треугольники ЛВС и Л'В'С', числа пар соседних треугольников, имеющих противополозкный обход, или всегда четное, плн все!.!а нечетное Из доказанной теоремы следует, что два ориевтираваиныл треугольника, имеющих одинаковый обход, име!от одинаковую ориентацн!а, а два ориентированных треуголыщка, имеющих противоположный обход, имеют противоположную арне!жацию С в е д с т в н е 1.
Прп круговой перестановке верщиц ориснтировацпого треугольника АВС его ориентация не че злятся, а при парушепнн кругового О Р И Е! 1 Т Л Ы И Я порядка вершин опнентання пепле!ся пч противоположную, т. е. треугольники ЛВС, ВСА. СЛВ ит!е!о! одинакову!о арне!ыаю!ю, треугольники ЙЛС, ЛСВ, СВА (2) Рис 288 Рис. 289 Рнс 287 также имсо! одинаковую ориентапню, а тобол треугольник (Ц с любым треугольника!! (2) име!бт протипоположпую ориентацию, Эго следует из того, что определитель ! х, у! ! гь уз хг ит ! пе меняв~ -пака прн круговой пересгапозке его строк и чспяет знак на обрат. ный прн нарушении кругового порядка строк С л ел с ! в и е 2.
Прп преобразовании симметрии о паси !сльно пряной ,рп, 287) орисптапия ориентированного !реугольннк ! меняется нз протнноположпую (длл зоказатедьстза в! ести дек.!ртову прямоугольную сне!ел!у коорю|пат, припивая ось симметрии за зсь Ох) С и ед с т в и е 3 Ппн симме!рпн относительно гочки О (рис. 288) ориентапия ориентированного тре! !ольпн, а не вен зета (для доказательства пвестн общую цскгргову систем! координат, прння !о !ку 0 за начало координат) С не дс т в и е 4 Ориент!!ппг! орпепп!рованного треугольника не меняется прп переносе, т е сслп ЛЛ'= ВВ';= С(. рлс 289], то зриеп!проваппые тре. уго.:ьпикп АВС ь Л'В'С' нчскл одинакову!о арне!пят!ю Определение б Влослость ча мом!прод !иксировам ориентировоммын тре. угольник Е,Е,О, мазь вас!ноя прием!си! оваммоа и!искоса!ыо. Если ориемтированмь!" треугольники ЛВС и Е!Еь(' члгеюп! оаимикову!о ориентациго, то будем н.вопить, что треугольчик ЛВС имеет поломительную ориентацию, а если орпентированмл!е треугольника АВС и Е,Е,О чл!гют противоположную армен.
, опию, то треугольнил АВС ил!ест отрицательную ориентацию Если на плоскости госдепа огтщая декартова пиетет!а координат, го ее ориентиру!от треугольника ! Е,Е,О (базисный треугольник), где Π— начало координат, а Е, и Е,— соответственно единичные точки осей Ол и Оу, 21 и с. Модьньв допо.!!!гиии ! Ысе декартовы сис емы координат па плоскости делктси на лва класса! дае системы принадлежат одному классу, если их базисные треугольники иь!еют одинаковую ориеитапию (рис 290), и разным классам, если базисные треуголь ники ичеют противопогожпу!о ориептапию (рис. 29!). Теорема 4.
Если относил!ельно обшей декартовой системы координат задины вершины треугольника А(х,, у,), В(хг, у ), С(х, уь), Рис 290 Рнс 29! то приенпированный треуеольник АВС имееп! полояси!пельную ориенгпацию, если и отрииптельную, если Л < 0 (Х, У! — координоо!ы вектора СА; Хг, Уе — каор. динпяы вектора СВ). г(оказательство Так как СЕ!=(), О), ОЕэ=(0, !), то Л=~ ~=)>О, ! О !О ! и, значит, если Л ) О, то ориьнг! роп! и!ь!е треугольники АВС и Е,ЕгО имеют одинакову!о орпентапиэо, а если Л < О, то — противоположную. 2.
Ориеита!тин пространства Определение 1, Ориентированным тетраэдром АВСР наэывоетсл «порядоченнся чеггверка точек, не принпдлежащих одной плоскости Определение 2. Цепью, соединяющей ориентированные тетраэдры АВСР и А'В'С'0', называется нвнвчноя упорядоченная последовательность ориентированных л еюраэдроу, перва!м элементом которой являеглся ориентированный тетроэдр АВСР, пвследним А'В'С'0', такая, что каждые два соседних ориентированны' тетра!бра отличаю!псл только одной вершиной, занимающей в обоих ориентированных тетраэдрах одно и то же место Теорема !.
Любые два ориентированных тетраэдра АВСР и А'В'С'0' можно соединить цепью. О Р и Г ы т А гт и я 611 До к а з а т ел ь с т в о Такой цепью буде г, например, цепь ЛВСР, ЛВСРА ЛВРВ, АРОК, Л'РРР, Л'В'Р)2, Л'В'С'й, Л'В'С'0', гле точки Р, Р, Р выбираются последовательно гак: )г — точка, не лежащая в плоскостях ЛВС и А'В'С', 0 — точка, не лежащая в плоскостях Л'В'В н АВАг, з Р— точка, пе лежаиган в плоскостях АРР и А'РР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
