1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Если уравнение а„х, + а„х, + а,,х, + а„х,х, †, 2а„х,хя + 2а„хах, = 0 2 2 в 7 является уравнениел! действиягельной овальной линии второго порядка и если из точки М(х,!х,!х',), не лежащей на втой линии, л!ажно провеспги к ней две действительные касательные, то полярой точки М является прямая Т,Т,, проходящая через точки прикосновения Т, и Т, этих касательных с данной линией (см. рис. 280). До к аз ател ь от во. Так как точк ! Т, и Т, лежат на прямой Т,Т„то полюс прямой Т,Т, должен лежать па полярах точек Т, и Т,.
Но поляры точек Т, и ҄— это касательные к овальной линии в точках Т, и Т,; эти касательные пересекаются в точке М. Значит, точка М вЂ” полюс прямой Т,Т,. $ 209. Сопряженные диаметры, центр и асимптоты в проективной теории линий второго порядка Если полюсом является несобственная точка проективной плоскости, не лежагная на линии второго порядка, то прямые, к которым присоединяется эта несобственная точка, параллельны между собой и имеют пеасимптотическое направление. Точки, гармонически сопряженные с рассматриваемой несобственной точкой относительно точек пересечения этих прямых с данной линней, будут серединами хорд линии, высекаемых па прямых данной линией. Их геометрическим местом будет диаметр липни. Так~!ы образом, диаметр линии С, сопряженный параллельным хордам этой липин, есть поляра несобственной точки, присоединяемой к этим хордам, или иначе: полюсом диаметра линии С является несобственная точка хорд, сопряженных этому диаметру Каждый из сопряженных диаметров линии второго порядка делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.
Это свойство вытекает из теоремы 2 ч 208. В самом деле, если диаметр й сопряжен хордам, параллельным прямой 1, т. е. является полярой несобственной точки прямой 1, то поляра несобственной точки диаметра а должна проходить через несобственную точку прямой 1, т. е. диаметр, сопряженный хордам, параллельным й, должен быть параллелен прямой 1. Центр линии второго порядка является полюсом несобственной прямой. В заключение параграфа отметим, что асимптоты гиперболы являются касательными к гиперболе в ее несобственных точках.
5 210 ОПРЕДГгЛГНИЕ ЛИНИИ ПО ПЯТИ ТОЧКАЬ1 а!3 Запишем уравнение гиперболы к' уг — — — =1 а Ь в однородных координатах кг хг 1 г 2 — — — х,=О. аг Ьг Решая зто уравнение совместно с уравнением асимптоты 21 хг — — =0 а ь получим одну точку (а:()10) — несобственную, в которой,асим.тата касается гиперболы. Другая асимптота а ь касается той же гиперболы в точке (а: — Ь:0). Наконец, парабола х, = 2рхгхз г касается несобственной прямой х,=О в точке (110:0) — несобственной точке ее диаметров. ф 210.
Определение линии второ~о порядка по пяти точкам Теорема. Если на проективной плоскости заданы пять точек, из которых никакие три не лсясат на одной прямой, то суи(гктпвует и притоли только одна овальная линия второго порядка, которая проходит через вти пять точек. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть па плоскости заданы пять точек2 А„А,, Аз, А„Аз Предположим сначала, что пгчки А„А„А2 и А, совпадают соответственно с точками (1:0:0), (О:1:0), (010:1) н (1:1:!) и пусть х",:х,':х,'— координаты точки А. Пусть 2 2 2 9 а11Х + а22хг + аззХг + ьагзхгхг + 2аззХ2К + а11ХзХ1 Π— искомое уравнение. Из условия прохождения лингзи через точки Аг(1:0:0), А„(0:1:0), А,(0:0:1) находим а11 = азг = азз =О, так что искомое уравнение имеет внд а,гх,х, +аз хгх ~- а, гхгхг О.
бг4 г . а в а хк элемеп 1 ы пгосктпвной Геометпии Из условия прохождения этой линии через точки (1:1:1) и (х',:х',:х'„') имеем и з о г ) з з агг+агзтазг=О тгхгатг+х,хгагз+х,х,а =0; отсюда ам:а,з гад — — ! х~ (х~ — х~)1: (х," (х," — х,") ~: ~х," (х„," х,)), Искомое уравнение: хз (хг хг) хтх + хг (лг хз) хзхз + хе (хз хт) хзхт = О. Послсдпсс уравнспие определяет овальную линию второго порядка, так как на линиях других просктивных классов нет пяти точек, из которых никакие три пе лежат на одной прямой Пусть тсперь А„Л„А,, А,, Аз — произвольные точки проективной плоскости, из которых никакие три ие лежат на одной прямой.
Произведем проектнвнос преобразование Я, которое точки 0,(1:0:0), Оз(0:1:0), Оз(0:0:1) и Е(1:1:!) переведет соответственно в точки Л,, А„Л, и А,. Пусть Р (х",:х,":х.',!') — прообраз точки А, при этом преобразовании. Г!о доказанному существует и притом только одна овальная линия С второго порядка, проходящая через точки О,, О„О„Е и Р. Производя проективпое преобразование 21, получим овальную линию 5 образ линии 5 при этом преобразовании и(, которая будет проходить через пять данных точек Л„А„А„А„Аз. Другой линии второго порядка, проходящей через эти пять точек, не существует, так как если бы такая линия существовала, то существовали бы две различные овальные линии второго порядка, проходящие через точки О,,О,,О„ЕиР.
3 а м е ч а н и е. Имеет место более общая теорема: если никакие четыре точки из пяти данных точек не принадлежат одной прямой, то через зти пять точек проходит только одна линия второго порядка ". 5 211. Пучок линий второго порядка Рассмотрим две линии второго порядка, заданные уравнениями г г з гр=атгхт+а„х,+а„„х,+2а„х,х,+2а„х,х,+2а„хгх,=О (!) и тР=Ьгтхг хГ Ьггл,+Ьззхзг+ 2Ь„хтхг+2Ьгзх тз+ 2Ьзгх хт =О, (2) и линию второго порядка, заданную уравнением р+).
р =о. ' Огь Н. Н. М у сх ел и шнял и. Курс аналитической геометрии. М.-Л., ОГИЗ, 1947, гл. ЧН!, ф 2!2, стр. 404, 4 411 ПУЧОК ЛИНИЙ ВтоРОГО ПОРЯЛКЛ е>з Уравнение (3) определяе< множество лпипй второго порядка, проходящих через точки пересечения линии <У=О и <Р=О, так как если удовлетворя>отса одновременно уравнения <р=О и <р=О, то будет удовлетворяться и уравнение (3), В общем случае две линии второго порядка пересскюотся в четырех точках и, таким образом, уравнение (3) выражает лини<о второго порядка, проходящую через эти четыре точки, Уравнение (3) называется уравнением пучка линий второго порядка, заданного лиииямп <р= 0 и <р=О. Доках<ем, что любая овальная линия С второго порядка, проходящая через точки, общие линиям (1) и (2), может быть выра.
>кена уравнением вида (3), если только никакие три из точек псресечения линий (1) и (2) не лежат на одной прямой. В самом деле, возьмем иа линии С точку, не лежап<ую пи на линии (1), нн на линии (2), ни ~а одной из прямых, проходящих через какие-нибудь две из точек пересечения линий (1) и (2). Подставляя координаты этой точки в уравнение (3), получим ср.+) р.=о, где <р, и ф4 — результаты подстановки координат вз>ггой точки в левые части уравнений (1) и (2). Из последнего уравнения находим )„Ч'4 <1>о и уравнение (3) принимает вид р.~р — <р.~р = о.
Это и есть уравнение линии С, так как овальная линия С вполне определяется задаяисм на ней пяти точек, из которых никакие три пе лежат на одной прямой. В частности, таким путем можно составить уравнение овальной линии второго порядка, проходящей через пять точек, из которых никакие три пе лежат па одной прямой. В самом деле, рассмотрим такие пять точек Л, (а,':а,':а,'), 1=-1, 2, 3, 4, 5; уравнения прямых Л,А, А,А„АВА4, А,А, запишем так: („=о, (,4=0, (В,=о, (м=о.
Рассмотрим линии второго порядка <р = > 14144 = 0 <р = > 44<<41 = 0 каждая из которых распадается па две прямые (первая на прямые А,А, и А,А„вторая <а прямые Л4АВ и А,А4). Эти линии пересекаются в точках Л,, Л, А„А,. а!6 Г.4 ааа Хг Э,!ЕПЕНТИ! !!РОЕКТНВНОП ГЕОМЕТРНН рассмотрим пучок линий второго порядка !12424+ ~'123141 2 О Подставляя сюда координаты пятой точки Аз, найдем Х, и поде~валяя это значение Х в последнее уравнение, получим уравнение линии второго порядка, проходящей через пять заданных точек АР 5 212. Поверхность второго порядка в проективном пространстве. Классификация поверхностей второго порядка по характеру пересечения с несобственной плоскостью Поверхностью второго порядка в проектнвном пространстве называется геометрическое место всех точек просктивного пространства, однородные координаты которых удовлетворяют однородному уравнению второй степени: 2 2 2 ! 2 а„х, + а„ха+ а„х, —,- а„х, -! 2а42хгхз-'- 2агзхгхз+ + 2а,4х,х4+ 2а,зх,х, + 2а„хзх, + 2аз,х,х, = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
