1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Всякие дне различные прямые, ннцидентные одной точке, инцидентны и притом только одной плоскости Х. Плоскость и неинцидентная ей прямая инин. дентны и притом только одной точке ва« Г а а а а ХК ЗЛГЧГНТЫ ИРОГКТИВ1ЮЙ ГСОМСТРИИ 9 !99. Однородные координаты точки и проективной плоскости в проективном пространстве Введем 1 прсстранстсс сбшую декартову систему координат. Если точка й! скбствепная, то в выбранной системе ксордииат она имеет координаты Х, Г', Е. Рассмотрим четыре числа Х, г', Е, 1 н вотьые«1 класс л«1х«1х,1х« всех четверок чисел, пропорциональных четверке чисел Х, *Г', 7., 1, х, = йХ, хк=-И','хк —.— И, хк —./г, т. е.
гле й принимает все действительные значения, кроме нуля. Так как х«~-0, то Любые четыре числа построенного класса х,:х,:х,:х« называютсп однородпымп координатами точки М. 1=.ели М вЂ” несобственная точка пространства, то через иес проходиг связка параллельных между собой прямых. Возьмем какой- Таким образом, про.гложсния 1, 111, Ч, Ч!1, ! Х соотвстствеи1к1 лвойственпы прсдчожспиям 11, !Ч, Ч1, Ч!1! Х.
Оказывается, чи1 если верна некоторая теорема д о точках, примы . и плоскостях проект»нного пространства. сформулировал- и»ь 1олько в терминах ппцпдс1и.ности между пнми то будет вер- и» и двойственная теорема В. Это прелложснис составляет содержание так называемого прин- ципа двойстветшости. Более полно зтот принцип может быть сфор- и! Лировап и доказан лишь при аксиоматическом построении проек- Т11вного пространства. Для проективной плоскости имеет мсст4 так называемый ма- лый принцип двойстссшюстн: если горна некоторая теорема А о точках и прямых пр01.'ктивпой плоскОсти, сформ1лнроваппая тОлькО в терминах инцидентности между ними, то будет ьерпа теорема В, двойственная тсореме А, т.
е. теорема, которая получается из Л заменой слова «тсчках на слово «прямаяэ, а слова кпрямаяъ па слово «точка«ь !1аирнмср, утверждению: двум любым различным точкам ипцидситпа прямая и притом только одна лвойствепно утверждение: двум люоым различным прямым ипцнлеитна точка и притом только одна.
Доказательство малого принципа двойственности так же, как и сформулированного выше боль|ного принципа двойственности, полу- чается лишь при аксиоматическом построении проективного про- странства, З воо, иилвнгния поямоп цкчок и связкл нибудь вектор а, коллинеарпый этим прямым; пусть Х Г, 2— координаты это~о вектора. Рассмотрим четверку чисел Х, У, Л.
0 и возьмем класс х,.х,:х„:О всех четверок чисел, пропорциональ- ных четверке чисел Х, У, 2, 0: х,:х,:х,:х, = Х:)':2:О, т е. х =АХ, хв — ЬУ, хо=а, хв О, где й принимает все действительные значения, кроме О. Любые четыре числа построенного класса х,:хв:х,:хв называются однородными координатами несобственной точки М. В проективном пространстве всякая проективная плоскость определяется в однородных координатах линейным однородным уравнением и,х,+и,хв — ', и,х,+и,х4=0 и, обратно, любое линейное уравнение такого инда определяет в проективпом пространстве плоскость.
Проективными координатами проективной плоскости и проективном пространстве называется любая четверка чисел из класса и„:и,:и,:и, четверок чисел, пропорциональных коэфрицяентам уравнения этой плоскости. Самую проектнвную плоскость будем обозначать так: (ил:ив:ив:ив) Две плоскости совпадают тогда н только тогда, когда их координаты пропорциональны. $ 200. Уравнения прямой, проходящей через две точки. Пучок н связка плоскостей Точка М (х,:х,:х,:х,) лежит на прямой, проходящей через точ- ки А (а,:а,:а,:а,) и В (Ь,:Ь.,:Ь,:Ь,) тогда и только тогда, когда х, = аа, + рЬ,, х, =аа, + рЬ„ х, = аа, + рЬв, х,.
— аа, рЬ„ где а и р принимают любые значения, не равные нулю одновре- менно. Этн уравнения называются параметрическими уравнениями пря- мой. У'равнение всякой плоскости пучка, определяемого двумя различными плоскостями и, и и,, и,х, — ивх, †' и,х, + ивхв =- О п,хв -„'- ивхв + цвх, + и,хв — О, может быть записано в виде а ( и,х, + ивх, -', и,х, -'; — и,хв) + )) (о,хв + овхв + овхв + овх в) = 0 и, обратно, если а и (з не равны нулю одновременно, то зто урав- нение является уравнением плоскости, входящей в пучок, задан- ный двумя плоскостями пл н и,.
586 Рва вв Кт ЭЛЕМЕНГЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕГРИИ Три точки А (а,:а,:а,за„). В (Ь,1Ь,1Ь81Ь,) С (с,:с,:сззсв) не принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен трем, ибо тогда строки этой матрицы будут линейно независимы и зпач1п, координаты нн одной из точек А, В С пе м1- гут быть представлены линейной комбинапией координа1 двух ару тих точек При этом ураекекк пл<ккостп л проходяо1ей через эти точки, имеет внд Л1Хз Х, Х, а, а, аз а, Ь, Ь, Ь, Ь, с, с, с, с Три плоскости, заданные уравнеяиямн и,х, + и,х, + и,х, + и,х, = О, о х, + о,х, + о хз+ е,х,=О, Ф1Х1 + ивзхз + ц'8Х8 + Юзхз = О, и, и, и, и, ' 11 8 8 4 ЛГЕ, ив ГЕ Ь,,) равен трем При этом точка М и, из из Е4 Ез "З ивз Ьзз ЦЗ и, из и, — Ет Оз О4 Ю1Ж8 Ю4 (ил ив из )О1 Е4 ОЗ )~1Ю4 вОЗ ил и и, Е1 Ез Ез ~1 ~з 1"з является точкой их пересечения. Если точки А (а,:а.,заз;а4). В (Ь,:Ь,:Ьз:Ь,), С(41:с81сз:св) не ле жат на одной прям1 й, то точка М (( .и, + ()Ь1+ ус,)1(ааз+ рЬ, + ус,):(аа + 1вбз+ ).сз):(аа, + + ()Ьв+ ус,)) при л1обых а, )), у, ке равных пул1о одновременно, лежит в плоскости АВС и обратно, координаты любой точки плоскости АВС име1от одну и только одну обп|ую точку тогда и только тогда, когда ранг матрицы з зо~ оспояиля теогемл 587 могут быть представлены лннейпымн кочбинациями координат точек А, В, С.
Если плоскости изхз + изхз+ изхз+ изхз=О о,х, + сзхз + озх + о,х, = О, ай х з + газ х з + сизх з + назхз = О имеют и притом только одну обшую точку, то плоскость а(и,х, +и,х, +и„х,+и,х,)+ -)- б (озх, + изхз +озхз+ озхз) + + з (шзхз -1 2/зхз+зазхз+юзхз) =О проходит через эту точку и, обратно, уравнение плоскости, проходяшей через эту точку, может быть выражено в таком виде. Правильпосзь всех этих утверждений следует нз теории линейных однородных систем уравнений $201. Группа проективных преобразований проектнвного пространства. Основная теорема Проективное преобразование Я проективного пространства геометрически определяется аналогично проектнвному преобразованию плоскости В координатах такое преобразование является преобразованием, при котором точке М (х,:х:х,,:х,) ставится в соответствие точка М'(х,:х,:х,:х,) с к<>ордннатами хз = аззхз + иззхз + иззхз + аззхз, хз = аззхз + аззхз + аззхз + иззхз, х, = а„х, + аз,х, + а„ха+ а„х„ хз — аззхз + аззх + аззхз ~ аззхз где а„а,з а„а„ а„ а„ а„ а„ а„а,з а„агм а„а,з а„азз Матрица А =(ам) называется матрицей просктивного преобразования Я(.
Множество всех проективных преобразований пространства образует группу Группа аффипных преобразований пространства изоморфна подгруппу группе всех просктивных преобразованный 588 Г ь ь ь а ху элемвггты пгоектггвггои Гсомстгип пространства, которьге отображают несобственную плоскость на ссбя. При проективном преобразовании пространства всякая плоскость отображается на плоскость, причем коордгшаты прообраза выражаются через координаты образа при помаши линейных однородных соотношений с матрицей А', полученной трапспон провапнем матрицы А проективного преобразования и(. Если в проекпгивнол пространстве заданы две группы по пять точек в кажд:гй Л В, С, О, Е и А', В', С', 0', Е' такие, что никакие четыре точки первой группы не лелсат в одной плоскости и никакие четьгре точки второй группьг не лежат на одной плоскоспги, то существуегп и притом только одно проективное преобразавангге, которое точки А, В, С, О, Е переводит соответствен.
но в точки Л', В', С', 0', Е'. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы для проектпвной плоскости. ф 202. Ангармоническое отношение. Гармонизм Рассмотрим первую модель проективной плоскости. Возьмем па этой плоскости собственную прямую, а па ней упорядоченную четверку попарно различных собственных точек А, В, С, О. Сложным, или ангармоническим, отношением (АВСО) гпочек А, В, С, О, взятых в этом порядке, называют число, определяемое равенством (ЛВСО) =(АВС) =АС А0 (АВ0) СВ 0В Если точки Л и С совпадают или точки 0 и В совпадают, то считаем (ЛВСО) =-0 Если точка 0 совпадает с точкой Л или точка С совпадает с точкой В, то (АВСО) ие определяется.
Если одна из точек, например точка О, несобственная, то по определению (АВСО) принимается равным пределу сложного отношения (АВСО,), где О, — собственная точка, причем предел берется в предположении, что точка О, неограниченно удаляется по прямой ЛВС. Так как Иш— А 01 0,В при этом условии равен — 1, то в случае, если 0 †несобственн точка, (АВСО) = — — =- —. АС АС СВ ВС В ты д!П дРЧ~7П!1ЧГСКОЕ О1ИОШСПИВ. ГЛРМОНПЗМ вав диалогично, если Л вЂ” несобственная точка, го (ЛВСО) = —; ОВ СВ если  — песобствеипая точка, то (ЛВСО) =— 0А и, наконец, если С вЂ” несобственная точка, то (ЛВСО) =— В!7 А!7 Определение сложного отиощепия четырех иесобстпепиых точек дяпо пп7ке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
