1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Йо из уравнений (1] следует (а,, !+ а „т) е'+ (а„1+ а„т) е' = — Л (у! „е'!+ у,„е" т) = Л (!е, + л!е), т, е !е,+тек — собственный еектоР пРеобРазовзннв 1, а Л вЂ” соответствУ!ошсе ечу собстнеппое значение. Так как линейное преобразовзние 1 — симметричное, то оио имеет .!вз взаимно перпендикулярных собственных векторз, при !ем соответсгву!ощис им собственные значении, т. е. корни уравнении (2', илп (2'), или (2") дсйсгви. тельны. Перейдем от канвой системы каор,чипа! хОу к прямоугольной х'Оу', па. правив осп Ох' и Оу' по собственным сдипичным и взаимно псрпсадпку.!вр.
ным векторам 1, !' преобразования (. Тогда, полагая г=-хе!+уев, имеем а„хе+ 2а„хУ+а !Уз =х (а„х+ аззУ)+ У (аз!к+аз!!У) =Гье = =(х з+ у!'1) ( (х1+ у !) = — (х'1+ у!) (х!1+ уЦ) = =(х1+у !),х'Л,1 — у Лау)=Л,х"+Л,у", Таким образом, если направить оса Ох' и Оу' по взаимно перпендику. парным собственным векторам линейного самосопряженного преобразование г, то уравнение линии второго порядка примет вид ).,х" + ! зу" + 2а х+ 2а у+ а =О Далее, при помощи перепаса осей зто )равнение приводят к одному пз прог!еи!пих уравнений (1), (11), (1П). Если .чинпи пентралщ!ая ()., вз О, Л, ~ 0), то координаты векторов, да!ощих направления ее новых осей О'Х и О'У, в каноническом уравнении (!] находятся из системы (аз! Лу! !) 1+ (атз Лу!з) т О (а„— Луе,) !+(азз — Лузе)т=О' Н) координаты направлщощего вектора оси О'Х найдем, полагая здесь Л=Ло а координаты направлн!ощего вектора оси О'У найдем, полагая Л=), Если линия ивляетсв параболои, то координаты направлв!ощего вектора оси находят из системы а„(+ ажт = О, а, !+ аззч! = 0 (5) Всрш!!ну параболы можно найти так.
Уравнение касательной к параболе, заданной общим уравнением, имеет пил (а!таз+ а„уз -',— а!) (х — х,) + (аз,хв+ аз!уз+ аз) (у — уе) =О Значит, амхз-)-а„у,-',-а, и а„хе+аз,уе-(-аз — ковариаатные координаты нормального к ией вектора. Значит, точка (х,, уз) будет вершиной параболы тогда и только тогда, когда (аттхо+аыуз+а!) е'+(а„х, +а„уз+а,) ее=-! (!е,+ и!е,), дОпйлнение >т 656 где 1, и — контраваризнтные координаты направл >ошег«лектора >он (т. е.
1=а„, т — а„, нлн (=а„, >п= — а,г) Умно>кая скалярио обе части последнего соотношеиил олпп раз на ен лругой раэ на ез, получим ат,ха+а,зу„+а>=1(ц> (+ а т), а„хл+аг уз+аз=г(дз>1+ц т), (6) Улн>сжал обе части первого соотношеннл на 1. обе части второго па >л н складывая, в силу соотношений (5) будем нтегь ар+ а„е> = г (й>„1 + 1йм1т+ пззл> ), откуда а,1+ азл> уы 1з+ 2д >а(т + аытз Но точка (хз, уз) лежит па параболе, з> ачит, ат>к~ + уа>зхзу„+ аз у'+ та>кч+2а уз+а=о, или (а мха+ а муз+ ат) кз+(а„к,+ л„уч+ а,) уз+а,хз+ азуз+ а = О, или 1 [(й И1+ у>зл>) ха+ (дз>1+ уззт) уз) + а>хз+ ауз+ а = О, (7) и для отыскания координат вершины остаетсв решить линейну>о систему (6), (7) (1 уже определено).
Вектор, коллипеарный оси и напраилспнь») в сторону вогнутости пара. боны, определяется так же, как н в 5 )50, если 1, (а,1+а,т) < О (здесь 1=акт т= — азо илп 1=аз„т= — азз), то вектор (1, >п [ направлен в старо»у вогнутости параболы, а если 1>(а>1+лат) > О, то в сторону выпуклости Случаи мнимых линий н случаи распадения линии па две прлмыс не представляют интереса. 5.
Поверхности второго пор ядкв рассуждениями, вполне аналогичными предыдущим, устаналливаем, что следующие функпни являются инвариантами преобразования общей декартовой системы координат в другую: а„а,з а,з а аг, а„агз аз аю а„ам аз а, а, а,, а аы а„ ащ аз> аз, а,„ агт аз, азз[ ! у» у>>г у>з~ уг> узз узз аз> язз ую у» й>з у>з аз> узз азз Ыю Ызз вм! Предполггая, что поверхность нторого порядка задана относительно оби.ей декартовой системы коордлнвт (с метрическим теазором у,а) уравнением а>,хз+ а за уз+ аззгг+ 2а>зху+ 2агзуг + 2аз,гх+ 2а, х+ 2а,у+ уааг+ а = О, !1Е ! РИЧ!..К ЛЯ 1ЕОРИЯ ИИНЛ1,ИЛ;!т, Н мИОГОНЛ; ИЛ л Яи а,з а1„ Я„а„азз + Яз! азз аы1 ~аз, аи Ям + а21 а22 Я23 а ! а:!2 азз 'зы Яы азз а21 Язз азз аз, ам азз Я!!из Ям Яз! Я22 Я23 Я31 Язз Я1м азз ~ 1Я1! ам Ям аз!~+~ Я!! азз Язз а з 1Р!1 '!ы Язз ~ аы Я!2 Язз ~ + аз .Рзз Яы ! Яы Язз Яы Язз Мзз 81 Я32 Язз и что функния а аы а1 ам Я12 а!3 а1 Яз! азз азз аз 1 а21 Язз азз аз ~ 1 Яз, ам а,, аз и„, ам аз„аз ~ О а, а„а а, О аз а з Яз! Я12 .
13 ~ Я21 Яы Язз Яз! Я32 Я!3. является ннвзривнтом прсобрззовзсия обшей декзр!оной системы в обшуго яскзртову для поверхностей 11! 1Н и Н групп, 3 фмпкиия я„а,з а, Яы азз аз Язз азз аз О а, а а„а„я!3 а, + ая1 Яы Язз аз Язз Язз аз а, О О а аы а„ +яз,а, Яз, аз, О аз ЯИ 21 ~31 К— Яы Ям Язз Язх Яы Язз Яз! Язз Язз для поверхностей, совнздз!оших ло- является инвнривнтом укззвнного общего преобразования рзспздяк3шихся нз пару иврзллельных плоскостей, или скостей. Все этн новлрнвиты и семнниввр изнты могут быть комнвктоом ваде! ззписвны в более а' а' аз 1 1 ! 1 2 3 аз г з аз аз аз 11= а, '+а',+а', ! Ям Яы Я21 а Яз! а!2 1 а 1 а, аз ,11 а2 1 аз 2 а' 3 аз з а, а, 3 а аз з а аз аз а а„ аи а;, а„ аз! азз а, а, я,! а,1 а 3 аз Язз аз1 'О а1 Яы а1 Язз аз Язз тз О а 088 чополыгиии ы ~а', а, 'а, + !а" ,а„~ а' а) 1 а! а'!' а! и а' аз!.
з з з а' а'а 1 3 а, а, а, а, а, а, 1 3 а' а'а 1 з а,а, а,аз з + а'а аз а где а! =а;зл, а =а а„ аз ! и Простейшие уравнения поверхностей ! — Ч групп записывают и в случае прямоугольной системьн ),,Хз+ Хзу з-й Х!21+ — з = О, !з Х,Хз-)-ЛзК й 1/ -~' 8=0, 11 ).,х +лр. + — =о, Кз 12 з,.
- Кз 1 "! 1 тан же, как (111) (1Ч) (Ч) амх — '. а!зр+ а!зг+а! =0 аз!х + аз!и — аззз -г а! = О, аз!х+аззр-'! а!ее+аз О (8) (для поперхностей 1П группы зтими уравнениямк задается прямая центров, а для поверхности Ч группы-плоскость центров). Координаты направо!пеших век!оров осей канонической системы координат для центральных поверхностей [1, зе 0) находят вз системы (аы )Яы)1+(ам )й!1) ш+[аы Лй!з) п=о, (ам — Лаз!) 1-,'-(а,з — Лазе) т+(а!з — Ллзз) а=о, (а!! — Хйз!) [+(аз,— Лйм) и+(азз — Лаз!) а=о [О) куда вместо Х надо подставн!ь поочередно корин характеристического урав- нения ! а„— Хды а„— Лс!!з а,з — Ла!з) аз! — ЛУ11 азз — Хлззз а,.„— Лаз.! =О, аз! — ) й!и азз Лйзз "з! Ля!! (10) или (1О') Лз — 1 Лз Чь 1 Л вЂ” 1 =О. где Хх, Х„Хз — корни характеристического уравнения аы — Лл„а!1 — Хйм ам Ла!з[ а„— Хй„азз — Хазе азз — Лаз! =О.
Лаз! азз )' !(м а з Лаз! В случае центральных поверхностей (группа !) координаты центра нвхо. дят из системы 659 В случае параболопдов координаты векторов, и. сющих главное направление [оси О'Х и О'1' в каноническом уравнении (11)), находят из системы (9), куза надо подставлять вместо Х отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Из системы аз,г+ а„т -)- аып = О, а„)+ а мул + аззп = О, азз! + аз,т + аз„п = О Дз (!аз + таз -)- паз) < О, то вектор (1, т, и) направлен ч сторону вогпутости сечения поверхности (11) плоскостью У =О, если же ).,((а,+та +паз) > О, то в сторону выпуклости Наконеп, кооРдинаты хо, Уо, г, веРшины паРаболоида находат из системы аых,+аззуо+аззго+аз =! (уы!+у,за+ доза), аззхо+аззуо+аззго-,'-аз=! (Яю(+Уют+Узза)* аз,хо — '-амуо+аззго+аз=! (Ую!+ Дзот+Язон), а„х', -р аззу!'о + аз,г,' + 2а з зхоуо+ 2а.ау от, + 2аззгохо+ + 2а зхо+ 2азуо+ !аз го + а = О где 1, т, и находят из системы (11) Из системы (12) находим (12) а,! лр а,т+ азп У„! +У„тз (-Узза лг2узз! +2у„тп+Уу„п)' ! (Хо ( м2+уззт т ч зол) т уо (дозу+ Кзот+воза) + + г, (ум!+ уззт+ д,ззг)) + а,х„+ а,уо -)- а,го+ а = О и вопрос сводится к решению лиаейноа системы относительно хо, уо, го. Исследование расположения эллиптического, гиперболи ческого и пара.
болического цилиндров и рассмотрение остальных аффинных классов представ. ляется читател!о. находят координаты 1, т, и вектора, имеющего особое направление Если прн этом ДОИОЛНННИЕ и1 ПДОСК11Гь СЕЧЕНИЯ ПОВЕ1зХИОСТЕИ ВТОРОГО 11ОРехДКА. ЕРУГОВЫЕ СЕЧЕИИИ, ОВГН.)ИЧЕСКИЕ ТОЧКИ 1, Приведение к каноническому аиду плоского сечения поверхности второго порядка Теорема 1.
Если относительно прямоугольной гистелзы координат задана: 1) поверхность егпорого порядка селим оба!им цоаенением а„хе+о„уз+ аззгз+па,зхун. "о„уз+'.аз,гх+2а,х-'; ки,у+разе+о=О, (1) 2) плоскость сегал! норлтльным цривнениели (2) Ах+ну+Се+1)=0, Аз+из+Се=! и если плоскость (2) пересекаегп поверхноипь (!) по линии второго порядка з, то простейщее уравнение линии второго порядка, по которой плоскость (2) пересекает поверхность (!), пиигется е одном из следуют!их видов: "ьзХз+кзг зле — '=0 в случае 1, ~ О, з Кз— 1, 1,Хз ~ 2 "11 — — У =0 в онуче.
1,=О, Кз т О, Кз 1, 1ьХ'-(- — "'=0 в схучве !з=О, Из=О, 1з ~ О, Кз 1, где ао азз азз Л азт азз а,з В 1з=— азз азз азз С ,Л В С 0 ~а,з а„Л )ан ат Л) (азз азз В 1!= — ~аз, аз,  — !а~, азз С вЂ” ~азз азз С Л В 0 )Л С 0 В С 0 ' Сл)чвк. кот;гв плоскость (2) пересекает поверхность (!) по одной прямой плн когда плоскость (2) входит в состав поверхности (2), мы, таким обрезом, исключаем. ПЛОСКИЕ И КРУГОВЫЕ СЕПГИИР (6) а Кг и )1З вЂ” Корни ХарактеристичесКОге уаав»ение Кз-1!К+1,=О Д о к з з а те л ь с т в о Преобрзэуе ! данную пряиоугольиу!о систему координат в прямоугольную так, чтобы плоскость Лх-1 Ву+ Сг=О стала плоскостью х'Оу'. Тогда одна ив !Гормул преобразования координат будег иметь следу!оший вид: г = Ах+ Ву+Сг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
