1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Доказать, что если линейное преобразование з множества всех векторов пространства удовлетворяет соотношению аз+3+! О, то оно нырни<денное. у. Пусть ! и у — произвольные линейные преобразования множества всех векторов пространства. Доказать, что преобразования !у н уй имеют одни н те же собственные значення, 8. Доказать, что преобразование х' 2х — у, у' Зх — у периодическое.
Существует ли базис, в котором это преобразование является вращспиемг 9. Пусть линейным преобразованиям ! и у ыноисества всех векторов пространства соответствуют матрицы А и В! ) — +Л, у — ьВ. Дохавать, что тогда !жу — АжВ, Х! — ьА. 10. Линейное преобразование !' множестна всех векторов пространства (или плоскости) называется сопряженным к линейному преобразованию ! (этого множества), если для любых двух секторов а и Ь выполняется соотношение а)д Ь!'а.
Доказать, что для всякого линейного преобразования ! существует ечу сопряженное в притом только одно. Найман матрицу, соотзетстзующу1о линейному преобразованию !', если преобразованию ! а ортонормирозанном базисе соответствует матрица А, Огне. В ортонормировзнном базисе прсобрааованию /' соответствует матрица А, подученная траиспонирозанием матрицы А. з !за. !!!'имки! ! !! задачи к !ч«тг!и х!и 11. Доказать соотношения () ~а)'=(' ж„".
(Л( )=л(й ((й)'=д)у (см. предыдущую задачу). 12 Доказать, что если ) и р — пеш,!рожденные линейные преобразования множества всех векторов пространства, то ((д) ! — и з1 13 Доказать, что если ) — иевырожденное линейное преобразовани множества всех векторов пространства, то (( ')'=((у) '. 14. Назовем линейное преобразование ш маогксства всех векторов прост. ранства ортогональным, ес.чи ыю' =! (1 — тождественное поеобразование).
Доказать, что если са — ортогональное преобразование, то 1) ) а( =-( о!и ) для любого вектора а (сохранение длины вектора); 2) ад= шаад (сохраиение скалярного произведения)1 3) ю'=ю ', 4) ма!риаз (), соотвегству!ощаи ы в ор!опормнроааи:!ом базисе, ортогональная. 15. Доказать, что если линейное преобразова~!ие ) хшожес!в. всех векторов плоскости обладает следующим свойством: 1'= — ) (антнсиз!х!етричиость), то 1 †) О=в 1+1 (1) ортогональное преобразование первого родя, Обратно, если ш †ортогональн преобразование первого рода и — 1 не является собствен!шш значением этого преобразования, то ! — ю 1г!а антисимметрическое (т. е.
Г = — !). 3 а м е ч а н и е (1 — )) (! +() '=(1+() ' (1 — )) ведение это можно обозначать д р о б ь ю — '. 1+)' Найти петрину, соответствующую ма!рине ш, и считая, что преобразованию ) соответствует в матрина (доказать!), поэтому произ- исхо.,я нз соо!вошсшш (1! ортонормнрованном базисе ( а„— )! атз а,з Л= а, ах — 1 аа =О, аж а,з а,з — (( взятому в любом базисе а,, е„из*. ' Это тождество называют часто уравпш!игм ! амильтона —.Кали. 16 Доказать, что всякое линейное преобразование 1 множества всех векторов пространства тождественно удоллетворяег своему характеристическому уравнению, т.
е. ооб Г хааа кlю линнйныь и АФФиннын пРеОБРАзОВАния 3 а и е ч а и и с. В соотношении (!) под а,з поДРазумевается линейное преобразонаьис, которое вектору а ставит в соответствие вектор агза. Следует еще заметить, что при псренпожснии целых рациональных функций от одного и того жс линейного преобразования Х =по[" +ас[а '+ +ааа У =- Ьо[~+Ьз[а '+ +Ьт порядок инож3шелей не играет роли, т.
е, Хг'=УХ (в атом можно убедиться, умножая одна раз Х на У, другой раз )' на Х вЂ” получится одна и та же целая рациональная функция от чипейного преобразования [: аобо[а+"+ нй(а,ео+аоЬ,)[а+а '+...). Таким образом, имеет смысл говорить об определителе А, злементамн которого являются целые рациональные функции от одного и того же линейного преобразования [. Решение. ПУсть в базисе в,, е,, ва вектоРУ а=(х, У, г) соответствУет сектор )а=-(х', у', г'~ с координатами * х'=-аих+а„у+атзг, и'=агхх, аззу+аыг, г'=аз,х+а„у+а„аг. Вектор е, = (1, О, О~ нри преобразовании [ переходит в вектор [ет =(аы, агн азт(=а„,е, +а,тек+а„ез- Аналогично )ег=аыаз+ агава+вогез, [ез= агзег+ амез+ аззез.
Из последних трек соотношений след)ет (а,т — [) в, + аз,в,+аз,ез=О, а„е,+(а„— )) е,+аз его - О, агав, + аззег+(азз — [) ез=О (2) (здесь ага рассматривается как линейное преобразование, при котором вектору а ставится в соответствие вектор а(за). Из соотношений (2) следует, что ! а,г — [ аз, ! [(агг — [) ет+ азге, + азге,[— а,з аы — )( [аы ам ~ [а„ег+(агз — [) ег+аззез)+ агз азз ) ( аи азх +! ! [агав,+а,звз+(азз [)еа[=О )а„— [ аа, нли бег=О, где А †линейн преобразование, определяемое формулой [аы [ аы аы агз '333 азз — [ Аналогично получим без=О и без=О. Отсюда следует, что Аа О для любоуо вектора а. В самом деле, пусть а = хе, + уев+ ге,; когда ба=лбе, + Обе,+гй ез=й.
Итак, А †нулев преобразование. а !20. ИРияеРИ и элдлчи к ГЯАВЫ х1ч 55! 3 а ч е ч а и и е !. !ак как сумче и произведению 1!иаейных преобразова. ний соответствуют сумма н произведение соответствующих нм матриц, то матрица ~ а11 — А аз, аю Р аз аз — А аз, аы аз азз- А где /а!! а12 а12'! А=~ ам аы аз!у) аз, азз азз а„— А аы а„а„— А... а1ч аз„ (4) =— О, аао а„, ... а„„вЂ” А где а„ат, ... а„,' 4 ам авз !122 .аю ааз. Озз а числа а;2 в соотношении (4) рассматриваются как скалярные матрицы а;2Е. Замечание 2. Из доказанного следует, что, например, для лине!!його преобразования 1! множества всех векторов плоскости всякая целая рациональная функция от ( л-й степени за=аз(ч+аДл '+ ..
+а„ сводитсг. к ливейной функции р)+д от преобразования ). В самом деле, !ан как преобрааование 3 тождественно удовлетворяет соотношению ах! — / а„ (=О, ам азз — 1 ~ илн 12 — 111+1,=О, где !а1! аы( 1, аж+ам 12=~ а21 а22 то 12=1!3 — 12 н, далее (2 — 1,(2+ 1,(= О, (2=11)2 — 1 (=11(1Д вЂ” 12) — 1221=( 1' — 1211 — 1,12 и т, д. Представим йз в виде р(+ 4, где а — целое положительное число, а ),— линейное преобразование множества всех векторов плоскости. (в определителе Р числа ага рассматриваготся как скалярные матрицы агзЯ, где  — единичная матрица) Все доказанные положения верны н тля линейных преобразовацнн:но жества всех векторов плоскости.
Соотношение, аналоги!ное соотношени!о;3), имеет место для любой квадратной матрицы л-го порядка: г лага л/г гггднее!д!ггь и ле ш!нные нгковглзовлния Ид соотноп ения /' — / /-,' /,=О /гг — /г/л- г+ /д!л '=О, след)сг что гдг л — гелос полодкидельпое число, большее яли равное 2, Рзсскотрим сначала чнсдюпую последовательность кл, удовлетворщощую соогпгагениго /гдл-г ! ! дл-д=а пдаЗ !6) и гре,гпотожпгг сначала, что !д гд ',! ".
Е. кал и, что сущссгвует гсо аегрнчесьза прогрессия да=Л""' (где Л ю О), удгга." веря сщая этому спогпошенпго. Имеем )л — г /)л — д( /)л-д О каг /. ф О. то (и-1) Л" ' — /д (л — 2) Л" ' -(. !д (и — 3) Л", =),", '1(дд — !)).,' — /,(гг-2)Л,+/,(и — 3)1! (гг — 1) Л,'--!д (и — 2) Л,+ /, (и — 3) =(л — 1) (Л~ — !,Лг+/з)+ !дЛ,— 2!а. Так как Л,=-Лд, то !, =2)гн !,=Лн и, значит, !гЛ, — 2!,==2Л',— 2Л",=О.
Ясг:о, гно рсшсявем соотношения (6) является также (в случае Л,=Л, юО) лняешгая кочбинзци: (С, +Сд,п — !)) Л", указанных двух последовательностей. Возвращаясь к соотношению (5), видим, что последовательность прсобрззовапий /д... /л колясггя водзратнон последовательностью второго порядка. Если /, Ю О и корни Л, и Лз характеристического уравнения преобразования / не раины друг другу, то последовательность прсобрагозаннй линейных линейного линейных (3 /л (8) и после„оватеаьность йд "д )а-г ) йдл-д (9) ' Последовательность, для которой каигдый член, начиная с третьего, вы. ражается одной и той же линейной комбинацией двух предыдущих, называется возвратной последовательностью второго порядка, Л вЂ” /,Л+ !а=О, (7) Так кзк /д Ф О, то его уравнение имеет корин Л, н Лю не равные нулю.
Если Л, ге /.„то уравнешп г (6,' удовлетворшот дзс прогрессии Л", ' и Л" ', а т гье произвольпаз их агшейпая комбин щия С,)»" +СдЛ" ', где С, и С,— произвольные числа. Если Лд=Лд(м О), то уравнению (6) удовлетворяет помимо прогрессии Л"' ' еще последовательность (л — 1)Л", д. В самом деле, ! !ЗО.
ПРИМЕРЫ И зАДХЧИ К Г ЧХНЕ ХГУ Отсюда — и= — ' Ля Лз-й, и последовательность (9) принимает пил :Л1 + ! — ).з а-1и ) — Л1 Лп-1 Л1 Лз Лз 71 (10) Но так как последовательности (8) н (1О) удопле1ВОрявт к тОчу жЕ еше одному и тому же рекурреатпому соотношению (6), то ! — )„ч 7 — Л1 — — Л'+ )з "з — )з при всех натуральных и. Задача решена в случае Л, ю Лз Если ),=Л, ~ О, то последовательность '8) н пос:1едонательгость 7„=(о+И (и- !)) Л",-' 1!!) удовлетворяют одному и тому же рекуррентному соотношению (87.
Выбсреи з и И так, чтобы прп И=1 н й=2 соответственно (,=-1, гз- — (1 1=8, (=(8+И) Лх, й= — ' Значит, искомая последовательность при всех натуральных и. Если, наконец, )з=б, го )з=-)т)„!з=/т(з=(',! 1 ьообше 1"=7", ЧнтатЕЛ1О Прсдпатастея дОКаэатЬ, ~1тп ЕСЛИ ! ЛИПС81.ОЕ ПрспбраЗОчПННЕ мнозкества всех векторов пространства, то 1) если собственные значения преобразоаання ! попарно различны л,,о ~, ) Л !" =8Лп+ ИЛ" — ', зЛ", ! где линейные преобразования л, й и з определяются пз системы с+И+а=! ° Лтк+Лнз+Лзз=), Л18+Л И+Л з=й ! 2) если Л, =Л, ю Лз, то 1"=(8+ Ип) Л +зЛ„, де линейные преобразования рд й и з определяютсп аз системы 8+я †(а+ й ) Лз + зЛз = 7, + Лз=(з' где Л и й —.т ю б ы е лниебныс преобразоезння множестна всех вектопо,: плоскости, удоплетпорчют од и о м у и гон у зке рекурре~ ~ши1у соотпшпш1шо «ч (зх» ~ ! 7 х з 0 Выберем а и И так, чтобы дна первых члена последопа1ельпости (91 бы зи раппы соответственно двум первым членам последовательности (8)1 8+8=1, лтд+ Лей=)1.
554 Г л а в а ХНЧ ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ !!РЕОЕРАЗОНАНИЯ 3) еычп А, =-А,= Лз, то 1" =. (Š— ', пй+ пзз) !.", где 2=1, (Š— ', АА-з))ч=), (0+25-'; 4з) ).~ =)з. В случае, если одно из собственных значений линейного преобразования 1 равно пупки последовательность (л является возвратной последовательностью первого порядка Исходя из применяемого здесь отображения множества линейных прсобразоваиий па множество квадратных матриц, можно сформулировать соответс|вующпе предчожепия для матриц. Рзссмотрим числовой пример: дана матрица 113 А= 151 Найти А".
Находим собственные значения: ), =3, Лз=б, Хз — — — 2 Значит. Лл= Р 3" + 0 ба+)т ( — 2)", где Р, О, Я вЂ” матрицы, определяемые нз системы Р+ 0+1(=Е, ЗР+6Я вЂ” 2Е=А, 9Р+360+4Я Аз. Отсюда находим ! 1 у 1 — 1 15 Р = = ( — Аз+ 4А+12Е) = — ~ — ! 1 — 1), !5 1 — 1 ! ! ! / у — 10 !ч )г= — (Аз — 9А+13Е) = — — ~ 0 О О) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
