1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 78

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 78)

Рассмотрим матрицу С„С,З С!а'Х С= с,„с,з сзз ~, Свт СЗЗ Савв элементы которой являются коэфгйициентами разложения векторов вг, э„в, по бо ису е,, е„е,: в, =-с„е, +сз,е,-,'-с„е„ в„= с,зе, + с„е, -'; сз,е„ Эз = сгзег+ сззв, + сазов Тогда В=-С 'АС и Ое( В=Ре(А. Доказательство.

Рассмотрим линейное преобразование д множества всех векторов пространства, которое векторы е„е.„е, переводит соответственно в векторы в„в,, з„: РЕ1= В,, йвз = Э.„у!вз = В,. Матрице!1 этого преобразования в базисе е,, е,, и будет С. Согласно условию теоремы )зг= Ьтгзг + Ьз газ+ "згвз взз = Ьгсз!+ ЬзФг +!! ззз огзэг + Ьвззз + Ьззэз ' ) — линейное преобразование иногквства всех !очек пространства или ино!кества всех векторов пространства !в по!леднев случае достаточно ввести в РасснотРение Ава базиса! ег, е„ез и вг, зз, ва). В <>б лФФиннык пееовелзовлния или Мйе>= Ь>,ае>+ Ьз,йез сЬ„йе„ )Вез =-Ь>зйез+ Ьззйе, + Ь„ое<„ Ме,,=Ь,.„ас,-'-Ьз,йс, -Ь,зйезн или )Ие> Ы(Ьмв> 1 Ьз>вз Ьз<вз) ~йе, = д (Ь,зе, + Ь„е, -',.

Ь„е,), )Яез =й (Ь> е> + Ьззе + Ь зез), Ы Ие>="<сиз+ Ьзсвз+(>з<ез д Чйез=Ь,зе,+Ьззез->с Ь,,е„ И Чйез = Ь,зе, + Ь,зег ';- Ьззе,. Таким образом, матрица линейного преобразования д >~у (в базисе ез е„вз) есть матрица В. Но матрица линейного преобразования д ' есть С ', а матрица произведения линейных преобразований равна произведению матриц сомножителей. Значит, В=С 'АС, Отсюда следует, что Ве1 В = Ое1 С ' (7е1 А Ое1 С = —, Г)е1 А <ле1 С-Ре1 А, т.

е. определитель матрицы линейного преобразования пе зависит от выбора базиса. Аналогичпые положения имеют место на плоскости. й 175. Аффинные преобразования и вффинные отображения Линейное точечное преобразование пространства ('плоскосп>и или прямой) называется аффиннь<л<, если оно взаимно однозначно.

Линейное точечное отображение плоскости на плоскость или прял<ой ни приму>о называется аффиннь<м, если оно взаил<но однозначно. Из й 172 (теорема 5, ! случай) следует, что линейное преобразование пространства будет взаимно однозначным, т. с. аффипным тогда и только тогда, когда при этом преобразовании какие- нибудь три некомпланарных вектора псреходят снова в пскомпланарпыс векторы. 3 а и е ч а н и е. Если преобразование пространства аффннпое, то опо любую тройку нскомплапарпых векторов переводит в пекомпланарную тройку. В самом дслс, предположим, что какпепнбудь трн некомпланарных вектора а, Ь, с при аффинпом преобразовании 7 переходят в компланарные векторы а', Ь', с'. 500 Г в а в а Хlа ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРВОБРАЗОВАННЯ Отложим секторы а.

)в, с от произвольной точки О пространства ОА =- а, ОВ = Ь, ОС = с. Г!усть 0', А', В', С' — образы точек О. А В, С при преобразовании ). Тогда О'А ' = а', 0'В' = а', 0'С' = с'. Так как по предположению векторы а', Ь', с' комплаиариы, то точки 0', А', В', С' лежат в одной плоскости и, значит, преобразовапие ) любую точку М пространства переводит в точку этой плоскости. Значит, ) — не взаимно однозначное преобразование, что противоречит предположению, Отсюда также следует, что при аффинном преобразоваиии два неколлннеарпых вектора переходят в два пеколлинеариых вектора, а любой ненулевой вектор переходит в ненулевой вектор. Лналопгчпые положения имеют место для аффинных отображе ний плоскости нз плоскость и для аффипных преобразований плоскости, а также для прямых, Если точечпое линейное преобразование пространства задапо в координатах х' = а„х+ а,ад+ а„г+ а,, у' = а„х -1- а, у + а, г+ а,, (1) г' = а„х+ а„у+ а„г+ а„ то оио будет взаимно одиозкачпым, следовательно аффиниым, тогда и только тогда., когда а„ а„ а„ аав ааа ага чь()' аю ааа ааа так как при заданном образе М'(х', у', г') он будет иметь один и только один прообраз М(х, у, г) тогда и только тогда, когда система (1) имеет при задапных х', у', г' одно и только одно ре.

гпение х, у, г, а пеобходимым и достаточпым условием этого является неравенство ЛФ.О. Лпалогичпо точечное линейное отображение плоскости ч в пло. опасть л' плп точечное линсйпое преобразование плоскости и будет взаимно однозпачпым (т. е. аффиниым) тогда п только тогда, когда оно два пеколлинсариых вектора е, и е, плоскости л переводит в два иеколлипеарных вектора. Если точечное линейное отображение плоскости и на плоскость л', или точечное липсйпое преобразование плоскости и, задано в координатах х' = а„х+ а„у+ а„д' = а„х+ а„у+ а,, ч 176. ГБОмегиическдя Геопия чв винных ниеонпазовлиип бо1 то оно будет взаимно однозначным, следовательно аффинным, тогда и только тогда, когда А=~"' "' ~о.

~ пят пзз Прн аффиниом преобразовании пространства любая плоскость и отображается аффинно на некоторую плоскость и', которая, в частности, может совпасть с плоскостью и, Говорят, что аффипное преобразование пространства порождает аффинное отображение плоскостей пространства. Наконеп, линейное отображение прямой р на прямую р' или преобразование прямой р будет взаимно однозначным тогда и только тогда, когда оно ненулевой вектор е> прямой р переводит в ненулевой вектор. Лффинное преобразование пространства порождает аффинные отображения прямых пространства. Аффинное отображение плоскости на плоскость порождает аффинное отобра>ке>гие прямых, лежащих в этих плоскостях.

Если линейное отображение прямой на прямую или преобразование прямой задано в координатах л х г аттх+и„ то опо будет взаимно однозначным, следовательно аффинным, тогда и только тогда, когда аттчь О. $ 776. Геометрическая теория аффинных преобразований* Аффинное отображение плоскости и на плоскость и' (и аффинное преобразование пространства) можно определить как такое взаимно однозначное отображение плоскости и на плоскость и', при котором три любые точки плоскости и, принадлежащие одной прямой, отображаются в три точки плоскости и', также принадлежащие одной прямой.

Из этого определения следует, что такое отображение линейное. Показательство этого положения достаточно сложное, поэтому разделим его на ряд теорема*. ' Все данные здесь опреде 1епия и теоремы относятся к действительной плоскости и действительному просгранству. Данное здесь определение аффинвого отображения и аффнпиого преобра..ования в случае действительной плоскос1и и действительного пространства не вквивалеитно определению, данному в предыдущем параграфе, которое можно отнести, со всеми вытекающими из него свойствами, для кочплексного пространства и комплексной плес. кости.

*' таким образам, под аффинныч отображением плоскости л на плоскость и' во всех последующих теоремах мы подразумеваем взаимно однозначное отображение, сохраняющее прямолинейное расположение точек. Доказатель. ство линейности взаимно однозначного преобразования прострапсгва, сохраняющего прямолинейное расположение точек, пе содержит никаких дополни. тельных трудносгей ВОЗ г . а 8 а «и лингяньщ и л ьФинн~ев пясовелзовкния Теорема Е При аффинном отображении а плоскоетп л на плотсость и' множеслюо всех точек произвольной прямой 1, лежащей на плоскости и, отображается и притом взаимно однозначно на множеппво всех точек некоторой прямой 1', лежащей на плоскости и' Прямая У называется образом прямой /, а прямая ~ — прообразом прямой Р при аффинном отображении о.

До к а з а т е л ь с т в о. Возьмем па прямой 1 две различные точки А и В. Пусть А' и В' — их образы прн афйрннном отображении сс. Тогда множество всех точек прямой 1 отображается во множество всех точек прямой Р, проходящей через точки А' и В'. Обратно, прообраз С любой точки С' прямой А'В' лежит на прямой АВ. В самом деле, допустим, что на прямой Р есть точка С', прообраз С которой не лежит на прямой АВ, Возьмем любую точку М, лежащую на плоскости ч.

Из трех пар прямых: МА, ВС; МВ, СА; МС, АВ есть по крайней мере одна пара пересекающихся. Пусть, например, МА и ВС пересекаются в точке Р. Так как точки В, Р и С принадлежат одной прямой, то их образы В', Р', С" также принадлежат одной прямой, именно прямой Р. Далее, точки Р, М и А принадлежат одной прямой, следовательно, их образы Р', М' и А' также лежат на одной прямой, а так как точки Р' и А' лежат на прямой Р и различны, то точка М' лежит на прямой Г. Таким образом, образы всех точек М плоскости и лежат на прямой Г и, значит, преобразование а не взаимно одпозначное— противоречие. Итак, доказано, что прообраз С любой точки С' прямой лежит на прямой 1. Значит, отображение а порождает отображение множества всех точек прямой 1 иа мпепкество всех точек прямой Р.

Это отображение взаимно однозначное в силу взаимной однозначности отображения а. 3 а и е ч а н и е. В процессе доказательства установлено, что при аффинном отображении а плоскости п па плоскость и' три точки плоскости и, не принадлежащие одной прямой, отображаются в три точки плоскости и', также не принадлежагцне одной прямой. Следовательно, отображение, обратное аффинному, снова аффинное. Теорема 2. При аффинном отображении а плоскости л на плоскость и' образы р' и д' параллельньх прямых р и д суть параллельные прямые, а образы р и д пересекающихся прямых р и о суть пересекающиеся прямые; при етом точка М' пересечения прямых р' и д' является образом точки М пересечения прямых р и д, Доказательство. Если прямые р и д параллельны, т.

е, не имеют ни одной общей точки, то их образы р' и у' при аффинном отображении а также .'сз имеют нн одной общей точки, т. е. р'йо'. Т 178. ГЕОМЕТРИЧГСКЛЯ ТЕОРИЯ ЛФФИПНЫХ ИРГОЕРЛЗОВ~НИИ Епз Если прямые р н а пересекаются, т. е. Имею~ и притом голько одну общую точку М, то н прямые р' и а' имеют только одну общую точку М', являющуюся образом точки М. Теорема 3.

Характеристики

Список файлов книги