1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 74
Текст из файла (страница 74)
5. Составить уравнения прямой, на которой расположены центры сече. ний эллипсоида ха уо га — + — + — =! а' Ь' с' плоскостями, параллельными плоскогти Ах+ Ву-;-Сг=О. х у г 22А Ь2В оос Оща 6. ПУсть (хо Уа га) — внешиав то Гьа эллипсоида уо аа ' Ь2 Гс2 Составить уравнеияе конуса с оерпщной в данной точке (хм уа га), х у га описаипого около данного эллипсоида — + --+ — = 1. а' Ь с ха (х — хо) до (д — уа) га (г — га) 1 аа + Ьа + со гхо 12 22 о, 1а о ) Г(х--хо) (У вЂ” до)2, (г — га)21 1А ао ьо са ,! 1 ао + Ьо ' са геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние от центра эллипсоида до касательной плоскости в этой точке имеет одно и то же значение, равное 2( (поладия).
чгй Г э я!а хг! паннах:!астм. зада!!ныг О ишим уртгпеиием 7. Найти геачетрпчесхое веста гочки пересечения греч взаимно чсрпсндикуг!ярнь!х плоскосгей, каждая пз которых касается эллнпсоида — +' — -,'- —,.=1 ,.2 !а яа аз ' Ь' ' са Ота.
Сфера, 8. Какой вид будет нчеть уравнение зллппсопдз, если за плоскость хОу принять плоскость кругового сечения, проходящего через центр алнипсоида, а за ось Ог — диамегр, сопряженный этой плоскости Отв. ха+уз+дага=1. где Ь > О 9. Опредетить геометрическое место точки пересечения трех взаимно пернендикулярпьгх плоскостей к парабалаиду хз пз — л- — ' = 2г А ' В Отв Плоскость 2 !О. Сосгагить уравненве цилиндра с образующими, коллинеарными вектору а=)Л т, л), о!нюаивого около олпополостного изи двуполостного гиперболоида х', у' --т — —.Ъ-=~ ' аз Ь! с Ота 11.
Как запив!ется уравнение аднаяолостпого гиперболоида, если за начало координат припать точку О этой поверхности, за оси Ох и Оу— прямолинейные образующие, проходящие через эту тачку, а за ось Ог— диаметр, сопрягкепный плоскостям, параллельным плоскости хОу? Отв. ху+Лг'+2)тг=О, Л Ф О, р Ф О.
12. Как заппюется )равнение двуполоствого гиперболоида, если за начало коордюит припять произвольнуго точку О этой поверхности, за оси Ох и Оу — две прямые, лежащие в касателыгых плоскости в тачке О, иь!сющие сопряженные направления относительно лгобого сечения плоскостью, параллельной касательной, а за ось Ог — прямую, проходящую через центр поверхности? х' у' г' Отз. 2г=.— +' — — —, а' 'Ьз с' 13. Какой вид причет уравнение одвополостнога гиперболоида, если за плоскость хОу принять плоскость кругового сечения, проходящего через центр поверхности, за начало координат — центр поверхностн, а за ось Ог принять: 1) диаметр.
сопряженный плоскости хОу, 2) нормаль к плоскости хОу, проходящую через центр поверхности? О!па 1) х'+у' — Ьзг'=)тз, Ь Ф О, р ~ О; 2) ха+уз+ага+2рхг+2ууг+а=О, а ( ))з+уа, а < О, 14. Кйкой вид примег уравнение дяуполастного гиперболоида, если при- нять за плоскость кОу плоскость, проходящую через центр поверх!юсти, параллельг|ую плоскости круговьж се !спой, а за ось Ог припять! 1) днамегр, сопряженный плоскости хОу, 428 Г з я я а Хг! ПОНЕРХ:!астм.
Зала!!НЫГ О ИШИМ УртРПЕИИЕМ 7. Найти гсачетрпчссхое песта гочки пересечения греч взаимно чсрпсндикуг!ярнь!х плоскосгей, каждая из кагарлч касается эллипсоида — +' — -,'- —,.=1 ,.2 !а яа аз ' Ь' ' са Ота. Сфера, 8. Какой вид будет исеть уравнение эллппсонда, если за плоскость хОу принять плоскость кругового сечения, проходящего через центр аляипсоида, а за ось Ог — диамегр, сопряжениый этой плоскости Отв. ха+уз+дага=!. где Ь > О 9. Опредечить геометрическое место тачки пересечения трех взаимно пернендикулярпьгх плоскостей к парабалоиду хз пз — — =2г А ' В Отв Плогкость 2 10. Сосгагить уравненне цилиндра с образующими, коллинеарными вектору а=)й т, л), о!пюаивого около олпополостного изи двуполостного гиперболоида х', у' --т — —.Ъ-=~ ' аз Ь! с Ота 11.
Как запишется уравнение аднааолостпого гиперболоида, еслв за начало координат припать точку О этой поверхности, за оси Ох и Оу— прямолинейные образующие, проходящие через эту тачку, а за ось Ог— диаметр, сопрягкепный плоскостям, параллельным плоскости хОу? Отв. ху+Лг'+2)тг=О, Л Ф О, р Ф О. 12. Как заппщется )равнение двуполостного гиперболоида, если за начало коордщит припять произаольнуго точку О этой поверхности, за оси Ох и Оу — две прямые, легкащие в касателыгых плоскости в та~ке О, иь!сющие сопряженные направленая относительно лгобого сечения плоскостью, параллельной касательной, а за ось Ог — прямую, проходящую через центр поверхности? х у г' Отз.
2г=.— +' — — —, а' 'Ьз с' 13. Какой вид причет уравнение одвополостнога гиперболоида, если за плоскость хОу принять плоскость кругового сечения, проходящего !ерез центр поверхности, за начало координат — центр поверхностн, а за ось Ог принять: 1) диаметр.
сопряженный плоскости хОу, 2) нормаль к плоскости хОу, проходящую через пептр поверхности? О!па 1) х'+у' — Ьзг'=)тз, Ь Ф О, р ~ О; 2) ха+уз+агз+2рхг+2ууг+а=О, а ( ))з+уа, а < О, !4. Кйкой вид примег уравнение диуполастного гнпсрболонда, если при- нять за плоскость кОу плоскосгь, проходящую через центр наверх!юсти, параллсльг|ую плоскости круговых се !спой, а за ось Ог припять! !) дначегр, сопряжеаный плоскости хОу, 480 Г е а ва МЫ ПОВЕРХНОСТИ, ЗАЕАННЫЕ ОБЩИМ УРАВНЕНИЕМ двумя сопряженными диаметральиыми плоскостями, то Р 0=р 4 23 Доказать, что касательная плоскость в вершине гвперболического параболоида делит пополач отрезок прямолинейной образующей, заключенный между двумя главными плоскостями втой поверхности.
24. Доказать, что параметрические уравнения х=)г р (и+о), у=)е д [и — в), г=2ио, где р > О, д > О, суть уравнения гиперболического параболоида. Какие линии определяют уравнения и =сопз!, а =сапа(Р 25, Доказать, что если дяе плоскости касаются конуса второго порядка вдоль его образующих, то хорды, параллельные линии пересечения зтих плоскостей, делятся пополам плоскостью, проходящей через указанные обр а зуева ив 26. Доказать, что геометрическое место центров поверхностей второго порядка, проходящих через дзе пары противоположных ребер тетраздра, есть прямая, соединяющан середины ребер третьей пары, 27.
Составить уравнение касательной плоскости к поверхности 2х'+ бд'+ 2г' — 2хд+ буг — 4х — д — 2г = О, которая (плоскость) проходит через прянуео 4х — бу=б, г — 1=.-0. Отв 4х — 5у — 2г+ 2 = О. 28. Определить А и р тач, чтобы уравнение хг — уз+ Зг'+ [! х+ Ид)з — 1 = 0 определяло круглый пнлиндр О 3=4.1, „=~ 3'2 29. Определить й так, чтобы конус х' — 2ху+йг'=0 был конусом вращения и найти ось вращения Ота lе= ! ~ Р'5 (два конуса) Оси 1) г=О, (1+ г' 5) х — 20=0. 2! г=О, (1 — )е 5) х — 2у=О 30. Какой вид примет общее уравнение ер=-0 невырождающейся действн.
тельной поееертностее второго порядка, если за плоскость хОд принять касательную плоскость, точку прикосновения — за иана.ю координат, а оси Ох и Оу направить по главным направлениям кривой, иа которой данная поверхность рассекастся плоскостью, параллельной касательнойР Отз оыхз+а,зуз+игзгз+2о,гхг+ 2игзуг+2агг=О. 31. Доказать, что, для того чтобы в конус второго порядка можно было вписать трехгранный угол, ребра ноторога попарно перпендикулярны (прямоугольный трнэдр), необходимо и достаточно, чтобы !, =0 32. Общее уравнение ер=-0 поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр Что определяет уравнение р — — '=От Кз уг Отз.
Две его асиьптотнческне нлосносгн. 1 ~ет. прммеРы и 3АдАчи к главе хм 431 33. Пусть общее уравьение "оверхпостн второго по?яака онрсаеляет гиперболоид. Прн каком необходимом и достаточном условии ~очка 44„!хо, уо, го) лимит между поверхностью этого гиперболоида и поверхностью его асин ~~о- тнчеслого конуса? Огпэ Результзт нодстанош и координат данной точки в левую часть уравнения гиперболоида должен быть заключен между С и — ° К, уз 34. Общее уравнение поверхности второго порядка опреаеляет две пере- гона~сапеги плоскости, Найти котангенсы углов между ними. Отв.
Ш пмэ= ш 7у «,з 2 г, 33. Общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллнптическнн цилиндр Прп каком веобходимом и достаточном условии точка (хо, уо, го) лежит внутри этого цилиндра? Огне ),~р(хо уо го) < О 36. Общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскостм Пайти расстояние между ними )7 — 7(, Отз. и'=2 ' (7 ( 37. Как запишется уравнение круглого конуса, касающегося плоскостей лОг и уОг по прямым Ох и Оу? Отэ, г'=+ 2ху. 38. Составить уравнение поверхности второго порядка, пересекающей плоскости координат по гиперболам х.=й, уг=л; у=й, хг=Ь; г О, ху=с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
