1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 72
Текст из файла (страница 72)
„. †.„„.,~ -~з„з„за. а, а„а„а„аз а„аз, а„аз ~ где А „ А„ А, — алгебраические дополнения элементов а,, а,, а, в определителе К,, Вектор (А„ А„ А,) ненулевой (так как в противном случае мы получили бы, что К, = О). Подставляя в выражение ).1 (а113 + а,т, + а,п,) вместо 1, тз н пз соответственно А,, А„А, и замечая, что О,А, +а,А, +а,АЗ=К, (так как алгебраическое дополнение элемента а в определителе К равно 1,=0), заключаем, что если ),,д, <о, 5 г66.
ОпРедсление РАспОлОжения повеРхности 465 то вектор а„х+а„у+а„г+а,, азгх+ агз!/ + аззг + аз а„х+а, у+а„г+а, и, значит, точка (х, у, г) будет вершиной поверхности тогда и только тогда, когда эти координаты пропорциональны координатам вектора, коллинеарпого особому направлению, т. е. а„х+а„у+а„г+а, =/,/, а„Х+аззУ+ а,„г+а, = Тггз/„ (6) аюх+ аззу+ аззг+ аз = пз/ Умножая эти равенства соответственно на /„и, и и складывая почленно, в силу соотношений (4) получим аг/6+азпгз+азп = / (/з + гпз ~л пз). Отсюда находим 64/4+ аззгз+ азпз / +т +пз Переписывая уравнение поверхности в виде (а„х+а„у+а„г+а,) х+(аз,х+а„у+аз,г+а,) у+ +(а„х+аззу+аззг+аз) г+а,х+а,у+а,г+а=О, в силу соотношений (6) получим (/,х+т,у+п,г) /+а,х+а,у+а,г+а =О.
(7) (8) (9) Таким образом, для нахождения координат вершины надо решить лине й е у ю систему (6), (9). (А,, А„А) направлен внутрь сечения параболоида ) гХ'+ ) з)" + 2а',2 = О плоскостью ХО'2, а если ) ТК4 > О, то — в противополож юм направлении. ДлЯ эллиптического паРаболоида К, < О, а коРни л, и Аз одного знака. Значит, если зти корни положительны, то вектор (А„ Аз, Аз) направлен внутрь указанного сечения, а если †отрицательйы, то в наружу.
Для гиперболического параболоида ) г и ) з разных знаков„а К, ) О. Поэтому считая Аг > О, заклгочаем, что вектор (А„А„А ) направлен внутрь сечения этой поверхности плоскостью ХО 2. Вершина параболоида находится так. Возьмем на поверхности параболоида точку (х, у, г). Координаты вектора, нормального к касательной плоскости в этой точке поверхности, таковы: 4ВВ Г а а [а 7[1 ПОРЕРХПОСТИ ЗЛДЛНН Ь[Р ОГП!ИМ УРАВНГИ[ИГМ Предположим что обп,ее уравнеш[с поверхности второго порядка является уравнением параболического цилиндра. Пусть С— парабола, по кот[.рой плоскость перпендикулярная к образу[ошил[ параболического цилиндра, пересекает зту поверхность.
а г[— плоскость, в которой расположена парабола С. Обозначим через е, ==(1„т„п[) и е,=(1,. т, п,) векторы, лежащие в плоскости и, первый из которых перпендикулярен к оси параболы С, а второй ей коллпнсарен. Обозначим через е, (1,. п[я, и,) вектор, коллинеарпый образующим цилиндра. Будем считать все векторы и,, е„и,, единичными. Произведем преобразование системы координат. :не меняя начала координат О, направим [п[вые оси Ох', Од' Мг' соответственно по век[орам е„ е„ ва Формулы преобразования координат тогда имеют следующий вид[ х=1[х'+ 1,у'+1,г', д = т[х'+ т,у'+ п[„г', а=п[х +пад +пвг, а уравнение параболического цилиндра в системе Ох'д'г' таково[ ) [х" + 2а,х'+ 2а,у'+ а = О, (А) где а, = а,1, + а,[па + аапг.
Переносом осей координат последнее уравнение приводится к виду А,Х'+ 2П,У О, причем по-прежнему а,=а,1,+а,п[,+а,п,. ) аким образом, если ) [а, < О, .илн 1, (а,1, + аз[я, + а,п,) < О, (10) то вектор (1, и[,, и,) направлен ло оси параболы внутрь параболы, а если 1[ (а[1~ + аз[па + папа) ) О, (11) то — в противоположном направлении. Остается , оказать, как находятся векторы е„ е,. н,. Из соотношения (А) следует что в начальной системе коорд.
Пат Охдг уравнение всякого параболического цилиндра можно записать в виде (их+Ну+ ух)А — ', 2агх+2а,у+2а,г+а=О. Уравнения +()у+ух=О, 2а,х-(-2а,у-, '2а,г-)-а=О 4 гат ПРИМЕРЫ И Заллг!и К ГЛЛВЕ ХП являются уравнениями прямолинейной образующей этого пилипдра, и из пих мы находим координаты вектора е,, коллииеарного образующим.
Координаты вектора е„име!ощего главное направление, находим из системы (2), где надо положить Х=)т, Вектор е, находим как вектор, перпендикулярный к е, и е,, При исследовании знака произведения ! ! (ат(г + агтв + аз"з) вектор е,=((„т„пэ) можно считать ие единичным (так же как и векторы е, и е„.). Зная вектор, пмеюдий главное направление, можно составить уравнение главной диаметральной плоскости.
Уравнение этой плоскости совместно с уравнением самой поверхности определяет прямуго, по которой указанная главная диаметральная плоскость пересекает поверхность. Из этих двух уравнений легко найти координаты какой-нибудь одной точки этой прямой. В закл!очение отметим, что если общее уравнение поверхпост.! определяет пару плоскостей, то вопрос о ее расположении решается разложением на линейные множители левой части данного уравнения. $ !67. Примеры и задачи к главе Х11 1. Задачи о решениями Пример 1. Лапы эллипсоид к', уг г' — + — + — =! 9 4 ! н плоскость Зг+4у+ бг — !2=0. Установить, пересекает лп этз плоскость длнный эллнпсонд(по дсйствнте !ьноз липни) н в утверднтсльноч сч!кгсг!е найти центр липни ссченн Р е ш е н н е.
Ззпншег уравнение плоскости (2) в параметрнчеш ой! грортгс! к=би, у бо, г 2 — Зи — 4о !3! плн г' = (би, бо, 2 — Зи — 4о) (О, О, 2) + и (6, О, — 3) -! о (О, б, — 4). Таким образом, и н о — обпше декартовы оорднпаты точки 44 плоскости (2) с началом координат в точке (О, О, 2) в ыаспггзбпьшн векторамн о, =(6, О, — 3) н е,=-(О, 6, — 4)г Уравнение ливии сечении нв плоскости (2) в этой системс коордниа! н!ггст внд 4из+9вэд (2 Зи 4и)з ! 1Зи'+ 24 ив+ 25 и' — ! 2и — ! бо + 3 = О. 468 Р л а а а Хг! ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМ УРАВНЕНИЕМ !Ооордиваты и, в центра сечения определятся из системы !3и+ !2о — 6=0, 12и+ 25о — 8 — — 0; 54 32 и= —, о= —.
181 ' 181 Из соотношений (3] находим координаты центра М сечения в данной системе координат Охуг: 192 72 у= —, г— 18! ' 181 324 х=— 181 Далее, тзк как и плоскость х+у — г+3=0. (2) Установить, пересекает ли плоскость гиперболоид (по действительной линии) и в утверднтельном случае определить вид линии пересечения. Система координат общая декартова.
Р е ш е и и е. Запишем уравнение данной плоскости в парзметричесиой форме х=и, у=о, г=и+о+3, или г=(и, о, и+о+3) =(О, О, 3)+(1, О, 1) и+(О, 1, 1)о. Значит, и и и†координаты точки М плоскости в общей декартовой системе координат с началом в точке (О, О, 3) и масштабными векторами е, = =(1,0, !) и е,=(0, 1, 1). Уравнение линни сечения в этой системе координат на плоскости !2) имеет вид из + ог — (и+ о+ 3)г+ 4 = О, или 2ио+би-У Ос+5=0. Так как ! <О, КгФО, о это уравнение гиперболы. 3 а меча и не. Здесь, как и в предыдущем примере, можно предполагать, что гистема координат Охуг общая декартова.
Если же система прямоугольная и требуется определить не только тип линии, но и ес каноническое уравнение и расположение, то вместо базиса ег=(1,0,1), е,=-(0, 1,1) па данной плоскости можно перейти к ортоиорььированиому базису. Сделать это можно так: то точка М лежит внутри данного зллипсоида, т. е. сечение является действительной линией, имснно — эллнпсом в силу того, что "=! ° !" Заметим, что систему координат Охуг можно считать общей декартовой Пример 2. Даны двуполостный гиперболоид хз+ уг гг — 4 (1) й 1ат.
пРимеРы и алдлчи к главе х11 выберем д так, чтобы вектор е,+Лег был ортогонален вектору еь т с. е,'е,+Лез)=0, ез+Дегез=О, 2+а =О, й= — 2, значит, Л=е,+без=(1,0, 1) — 2(0, 1, 1)=(1, -2, — 1). Теперь векторы е,=(101) н у, (1,— 2,— 1) ортогональны 1и, конечно, компланарны данной плоскости). Нормнруем их1 Уоавпсние плоскости !2) можно теперь записать в виде г=(0,0,3)+и~ —, О, — 1+от —, — —, — — ), 1 1 1 Г 1 2 1 значит, и о 2о л о х =+=, у= — =, г=З+ —. У'2 )Гб ' Р'б ' )/2 У'6 и в декартовой п р ям о у гол ь пои системе координат 41ио уравнение линии сечения: ~=+ —.) + — -(3+ = — =) +4=0 и т.
д. !теперь применима вся теория ортогональных ипаариантов). Пример 3. Определить внл поверхности второго порядка: х'+ бу'+ г'+ 2ху+ бха + 2уг — 2х+ бу+ 2г = О. Р е ш е н н е. 11=7, 1,=0, уз= — 36, К,=Зб. Характеристическое уравнение: Лз — 7Ле+36=0. Его коэффициенты: +1, — 7, +Зб. Здесь имеются две перемены знака: прн переходе от +1 к — 7 и ат — 7 к +Зб; ьначит, уравнение имеет два положительных корня и один отрицательный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
