1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Для параболоидов семейство Ф =- сопз( будет состоять из поверхностей, полученных параллельным переносом каппой поверхности вдоль се оси симметрии. Для остальных поверхностей семейства гР=-сопз( будут характеризоваться их сечениями плоскостью, не параллельной образующим (т. е. дело сведется к аналогичному замечанию, сделанному выше для линий второго порядка). Все определения и доказательства теорем для семейств Ф = сопи( могут быть проведены с использованием только точек трехмерного евклидова пространства и потому все онн инвариантны относительно преобразования системы координат, так как аналитические выводы, относящиеся к центру, асимптотическпм направлениям, диаметральным плоскостям, не зависят от свободного члена общего уравнения поверхности.
Определение. Особым направлением относительно поверхности второго порядка называется направление прямой, параллельной всем диаметральным плоского»ям этой поверхности. Теорема 3. Пусть относительно оби(ей декартовой системы координат задана поверхность ьчпорого порядка общим уравнением а „х'+ а„уз+ аз»аз+ 2а,зху+ йа„уг + 2а з»гх+ + 2а,х+ 2а,у+ 2а,г+ а = О. (3) Тогда если это уравнение являепгся уравнением центральной поверхности (т. е.
поверхности, имеющей единственный центр), то у нее нет особых направлений. Все остальные поверхности имеют особьче направления. Для того чтобы ненулевой вектор (У„т„п ) имел особое направление относительно поверхности (3), необходимо и достаточно, чтооы его координаты удовлетворяли соотношениям о,»(з+ а„т, + а,зп, = О, а„!,+а„т +а„п,=О, аз»~з и. аз» гпо + аз»по = О. АМ ! ~а2а Х2! ПОВЕРХНОСТИ ЗАДАННЫЕ ОГО!ИМ УРАВНГННЕМ До к азател ь ство. Из уравнения (2) следует, что вектор ((о, пз,, по) имеет особое направление тогда и только тогда, когда выполняется равенство (о (а! 2(+ азот+ а!за) + Тпо (а22(+ азот+ аззп) !- т п~ (азз(+ азот+ а,оп) = О, илн (а22(о+пмто+а!зло) ( (а22(о+азота+ полно) пз+ + (азз(о+ а„т, + аззпо) п = О, (5) где ((, т, п) — любой вектор, не имеющий асилштотического направления. Так как всегда можно выбрать трп неколлипеарных вектора ((„ т„ и,), имеюших относительно поверхности (3) пеасимптотическое направление, то однородное относительно Е т, и уравнение (5) имеет три линейно пезависил4ых решения ((,, т„п,), а это возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты при 4, т и и в уравнении (5] обрашаются в нуль; таким образом, соотношения (4) выполняются.
Если поверхность имеет единственный центр, то а„а,з из, Аз='~ ! "- 2 аз! азо эьО lаы а,з азз'х А =) х,азл азз азз, равен 2 (поверхности 11 и 111 групп), то система (4) имеет ненулевые решения (о, т„п„но не имеет двух линейно независимых решений. Это значит, что поверхности 1! и 111 групп имеют лишь одно особое направление. Составляя систему (4) для простейших уравнений этих поверхностей, убедимся, что особое направление— это направление оси О'Я в простейших уравнениях этих поверхностей. Если Ей А = 1, то система (4) имеет два лннейпо независимых решения ((„2п„п,) и ((„т„, и,).
Все решения системы (4) являются всеми линейными комбинациями этих двух. Это значит, что для поверхностен 1Ч и М ~руин су4цествует плоскость, такая, что любая прямая, параллельная этой плоскости, имеет особое направление и этнми направлениями исчерпываются все особые направления этих поверхностей (это плоскость 'О'7 В простейших уравпс,н!Нх ()Ч) и (х!)). и, значит, система (4) не имеет ненулевых решений („т„по, особых направлений нет. Для всех остальных поверхностей (з =О и система (4) имеет ненулевые ре!Пения.
Если ранг матрицы 'агоо клслтильнзя ||лоскосгь ф 160. Касательная плоскость Точка Мо (х,, у„г„), лежащая на погерхпости второго порядка, заданной относительно общей декартовой системы координат уравнением а„х'+ а„у'+ а„ого+ 2а, оху + 2п„.уг -; 2ао,гх -1- + 2агх+ 2а,у+ 2а,г+ а = О, (1) называется неособой, если среди трех чисел: а„х,+а„у,+а,ог, +а„а,„х,+а„у,+а„г,+а„ а„х -',-а„у,-';а„г,+аа есть хотя бы одно, нс равное нулгоо. Таким образом, точка Мо(х„, у„г,), лежащая на поверхности второго порядка, является особой тогда и только тогда, когда является ее пентром (см.
2 155), иначе, когда поверхность коническая, а точка М,— вершина этой поверхности (2 157, и. 1). Определение. Касательной прямой к поверхности второго порядка в данной на ней неособой пгочке назьнается прял|аз, проходящая через зту точку, пересекающая поверхность в(порога порядка в двукратной точке или являющаяся прямолинейной образующей поверхности. Теорема. Касательные ггрялгые к поверхности второго порядка в данной на ней неособой точке (х„у„г,) лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскоспгью к поверхности в рассмалн риваемой пшике, Уравнение касательной плоскости имеет вид гх (хо Уо го) (х хо) т Ро (хо Уо го) (У Уо)+ + Рх (хо~ Уо го) (г го) Доказательство. Пусть х=-хо+Й, у=уо+ту, г=го+пг' (31 (2| параметрические уравнения прямой, проходящей через неособую точку М,(х„уо, г,) поверхности второго порядка, заданной уравнением (1).
Подставляя в уравнение (1) хо+И, уо+т(, го+и( вместо х, у и г, получим (агг(в + а„т'+ а„п'+ 2агэ(т+ 2а„тп+ 2аа, п() (в -)- +2 (Ех(хо~ Уо~ го)1+ Г«(хо Уо го) пг+"'х(хо Уо го)п1г+ -(- 2Р (хо, у„г,) = О. (4) * Эти числа являются аиачеииями в точке |Ио(хо, у,, го) половин частных производных по х, у и х от левой части ураввеиия (1); в дальнейшем будем огоэиачать пх соответствеиио у (хо, уо, го), Р, (хо уо»о) "х (хо ун го)1 а в соответствии с этим леву|о часть уравнения (1) будем обоэвачан «ереа 2Р. 446 г»ав» х/! пов! глпостп, зхдхнные огп»ио! »гхянгнием Так как точка М»(хо, уо, го) лежи! !ш поверхности (1), то 2г" (хо, у,, го)= — О, и из уравнения (4) находим ! =-О (это значение ( соотгстствуст точке М,).
У(ля того чтобы гочка пересечения прямой (3) с поверхностью (!) была двойной, или чтобы прямая (3) целиком лежала па поверхности, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство г', (х„ у,, го) 1 + Р» (хо, уо, г,) пг †,' Е, (х , у„ г,) и = О; (5) сслн прп этом а!к(о+а„т' — , 'а»оп»+2а,о(т+2а„тп —,'-2ао,п(~О, то точка пересечения прямой (3) с поверхностью (1) двойная, а если ак»(»+ а,от'+ а,оп'+ 2ако(т+ 2а.„та + 2а„п)= О, то прямая (3) целиком лежит на поверхности (1). Из соотношения (5) и соотношений (3) следует, что координаты х, у, г любой точки М(х, у, г), лежащей па любой касательной к поверхности (1), удовлетворяют уравнению Г»(хо Уо го) (х хо) + т!»(хо Уо го) (У У!,)+ + и» (хо Уо го)(г го) = О. (б) Обратно, если координаты какой-нибудь точки М (х, у, г) отличной от М,, удовлетворяют этому уравнению, то координаты 1 = х — х„ т = у — у„ и = г — г, вектора М М удовлетворяют соотношению (5), а значит, прямая М»М вЂ” касательная к рассматриваемой поверхности.
Так как точка М,(х„ у„ г,) — нсособая точка поверхности (1), то среди чисел Р (хо Уо го) г» (хо Уо го) Г,(хо Уо го) есть по крайней мере одно, не равное нулю; значит, (б) — уравнение первой степени относительно х, у, г — это уравнение плоскости, касательной к поверхности (1) в данной на пей иеособой точке М„ (хо, уо, г,).
Замечание. Левая часть уравнения (1) получается из квадратичной формы от четырех аргументов:. 2» аых + аооуо -'г а„го+ 2а„ху+ 2а„уг+ 2а„гх-1- + 2а,х!+ 2аоу»1+ 2а,г! +а»о, если считать, что ! =1. Эту квадратичную форму можно записать в виде 2г = (а,»х+ а!о)У+ а!ог+ а,)) х+ (ао»х+ ао»У+ а„г+ а»() У+ +(а„х+ао,у+а,ог+ао!) г+(а,л+а,у+а,г+ат)т, нли 2Р = хг", (х, у, г, () + »!Г» ( к, у,, ') + гК (х, у, г, !) -1- -1- »Р! (х, У, г, (), (7) в !б! псясс1 чьнпс кхс«гслыгоп плоскости с повГРхностью 147 где г"„)«„, Р„Р~ — половины частных производных пах, у, г и 1 от фупкппп 21«.
Так как точка Мо(хо, у„,) лежит па поверхности (1), то 21'(хо, уо, г,) =-О, н пз тождества (7) находим хоГ«(хо Уо го (о) ' Увгв(хо Уо го го)+гог«(хо Уо го (о)+ з«(вам~ (хв уо го (о) =' О (1,=-!). Отсыпна слсдуст, по уравнение (6) касательной плоскости к поверхности (1) в данной на пей псособой точке можно записать в виде хр«(хо' Уо го' Го) * УУ (хо Уо го (о) . гГ«(хо Уо, го, (в) + +Ж(х,, у„г„г,)=О, (8) где 1=(о —— 1, Исходя нз канонических уравнений поверхностей второго порядка н уравнения (8) легко составить уравнения касательных плоскостей к эллипсоиду, гиперболоидам, параболондам ц т.
д. в данной на них точке (х,, у,, го): касательная плоскость к эллипсоиду л'в . Увв «во Ы+ —,о к однополостному и двуполостпому гиперболоиду «ов Уву «о« — 1 — — — =+- 1, «$ бв вв к конусу в точке (х,, у,, г,), не являющейся его вершиной, "о« Уоу «о« о' ' бо с' к эллиптическому и гиперболическому параболоиду «в« Уву — +' — =г+г и т.
д. — о й 161. Пересечение касательной плоскости с поверхностью второго порядка 11римем нсособую точку О поверхности вто)бого порядка за начало координат общей декартовой системы коердинат, оси Ох и Оу расположим в плоскости, касательной к поверхности в точке О. Тогда в общем уравнения поверхности а„хо+ а, у'+ а„го —,' 2а„ху —,'- 2а„уг+ 2а„гх+ + 2а,«+ 2а,у+ 2абг+ а = О (1) свободный член равен нулю: а=О, а уравнение плоскости, каса- .Иа г и а а хы новы ь|н стн зьдлппьь о~ |пни эглвпгпием ющсйся поьерхносзн в начале координат, должно имсть внд г=О, Согласно уравнению (6) з 160 уравнение плоскости, касательной к поверхности (1) в начале координат, имеет вид а,х+ а,у + а,г = О, н так как это уравнение должно быть эквивалентно уравнению г =- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
