1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Ото(ода, как и в случае 4', доказывается, что или !4<0, или 1,1, 'О. Перейдем к исследованию поверхностей второго порядка П группы. 7'. Если уравнение (П) является уравнением эллиптического параболонда, то Л, и Л, в уравнении (П) †чис одного знака, а, значит, 1, = Л,Л, > 0 й из уравнения (П) следует, что К4 < 0 число — — под радикалом в уравнении (!1) положительно). Ка (, 8'. Если же уравнение (П) является уравнением гиперболиче- ского параболоида, то числа Л, и Л, разных знаков, значит, 1, =Л,Л, < О, и из условия — > 0 находим К > О. К, !'ассмотрение остальных случаев по существу уже было сделано в теореме 3 5 143, А(остаточность всех признаков доказывается методом от про- тивного (эти признаки взаимно исключают друг друга), Результаты предыдущих исследований помещены в табл, > 'Ц Киноничест,г урлдчснге > и Р НаэаапиЕ Я алли псаид ! ~г егнимь и эллипсоид Мнимььй капуа э ч пь н 4 Одноногом нчй гагер данаид ф~упаласт ный гилер данаид конус дтс рога парадна ьч чь Е ъ ь Е «„<О Эллипти- ческий уилиндр ! класса й В к Эг > О, !, т, ОО Кь<0 т,.Щт, 00 Кп- О т,>0,2Д, >Од К,=д йг<0 илийзйэ а Кь>0 йд Уа К4< 0 а г- гз" Эсад тй Рз-.дд К,=О а К>О .
Э,>0ДК,<0 Подерз ногль эллиптичг ский пара данаид Гепарда.а ческий пч- радолоид г < 1-г И Тгблниз 3 гнг г — ь -ч — -г=а а' гг с' г уг гг =о — а-- — - г=а аг аз сг - = иг уг — +-г--',й=о аг а сг гг аг — ь — -2г=а ~ у ага,уо; кг уг — — 2г=а ! Р гг иь ,г аг аг аг — + — -э=а ! !Зч ОПГГДГДЕНИ!' КАНОНИЧГСКОГО УРЛВНЕНИЯ 427 Класс поверхности второго порядка ! группы мо!кно определить и не решая характеристического уравнения, носпользованпн1сь следующей теоремой Декарта: если все корни уравнения а,х" +атх" '+ ..
+ а„,х+а„=О с действительш»мн коэффициентами являются вещественными чисдами, то число положительных корней этого уравнения равно числу перемен знаков в последовательности а„ а„ а„ ..., а„,, а„ коэффициентов этого урви!Ения. Так как корни характеристического уравнения Л' — (,Лз+(,Л вЂ” ( =О всегда действительны, то этим правилом можно пользоваться для определения знаков коэффициентов простейшего уравнения Л1Хз+ Лзуз+ Лз7з + ! = О з поверхностей 1 группы.
Если поверхность принадлежит ко (! и !!! группам, то один из корней характеристического уравнения равен нулю, а два других — корни квадратного уравнения. В случае, если поверхность принадлежит к !Н или Н группе, ее простеишее уравнение находится без решения характеристического уравнения.
Поэтому теорему Декарта естественно применять лишь по отношению к поверхностям ! группы. В соответствии с этой теоремой число положительных корней характеристического уравнения равно числу перемен знаков в последовательности ! зг (з. 3 а и е ч а н и е Если в а-мерном евклвдовом пространстве' задака поверхность второго порядка" >равнением ~ амх!ха+ 2 ~ядава!х!+а=в, а=11 ! то ортогональным преобразованием это уравнеине можно привести к одному ' л-мерным евклидоаым пространством будем аазывать совокупность всех конечных упорядоченных последовательностей чисел !хн хм ..., х„), каждую такую !порядочеииую последовательность будем называть яточкоаз, а числа х; — ее коордииа1смн Сы Ы.
д. Ил ь ин н Э. ! Поз н як. Основы матемьиического зиализа М., „1!аука", 1965, гл. Х!Н, 4 1, п 4 '* то есть !шожество точек, координаты которых удовлетворяют этому ! р азиешпо. чуб»» а »а л)! )юга!'хнос)и ладхнпып Оьщим колпи) ниея из следующих 2л-! 1 ярос!сй)ппх ура!и сики: ).,Х',+азХ- ;( . -', /»Ха+ —" — "' =О, сели /» и О, » »-1 (» О К»ь! гл !) Д!Хз+)зХз+...+).„,Ха,-)- — "-=-О, сслп!»=-О, К „,=-О, („, Ф О 11!1) »-! и ! д, Л)Ха,-)- — '=О, если („=О, К„,,=О, („)=О, ..., (з -— О, К,=О, !)зай, 12и — ! ), где л! е каждом случае-отличяые от нуля корни характеристического у):авзеиия ис! ~ и!) ° ° и!» ие, иы — ), .. иа„ "ю ию /и — опреде,ипел!. патрю)ы )и;л, /„! — сумма дпагопальиых мяиоров л — ! пспяю з определи)еля („(„,— сумма дпагопзльвых миноров л — 2 порядка опзелелп )е )я /„и т.
д, иалопеп, /, =-иы+и,з+... +и„„Далее, ип исз и!» и, из, и,а . и,„ и! и„, и„, и„„ и„ и, и, ... и„ и а К, К„,, К„„... получаются из выражепий для ( ), (» з, („ охай)!.,г)п!е~ определителей, иходяпи)х в выра)кепи для (» соответствующими » всю!ь(:ии»ситами лиисйпой фор)иа ~ли!х/ в свободиым членом и уравпеиия по. верхиостя ". ф !55. Центр поверхности второго порядка Рпрспсленпе. Централ! поверхности второго порядка называется центр симметрии эпюй поверхности. Теорема !. Пусть относительно общей декартовой системы кооединао! ладана псверхноснгб впсорого порядка обсс!им уравнением с!! = а„ха+ азейз+ л„гз -!- 2а щхй + 2изабг+ 2аз„гх+ + 2адхис 2азр+ 2а,г+ а =О.
(!) * См Г. Е, Шилов. Бведеиие в теорию линейных пространств ())., Гостехиздат, !95б, ел. 11, й 77, стр. 21В-.233 ыз центР ~ окео'но !и втоао~о цогядк1 429 Для того чп|обы начало ьоординат бы го центром втои поверх- ности, необчодимо и достаточно, чтобы в ее уравнении отсутство- вали члены с х, у и г в первой степени, зп е чтобы а,=а,=а,=О, иначе, чтобы уравнение (1) имело вид а„х'+ а„У'+ а,зг'+ 2а„хУ+ 2а„Уг-1- 2а„гх-1- а=О.
(2) Доказательство необходимости. Предположим, что начало координат является центром поверхности (1). Возьмем на поверхности (1) произвольную точку М(х, у, г). Ее координаты будут удовлетворять уравнению (1), а так как начало координат является центром симметрии поверхности (1), то уравненинз (1) будут удовлетворять и координаты точки 44'( — х, — у, — г), сим- метричной точке 44 относительно начала координат, т. е. а„х'+ аззУз+ аззгз+ 2аззхУ+ 2а,зУг+ 2аз,гх— — 2а„х — 2а,у — 2а,г+ а = О, (3) Из этого соотношения и из соотношения (1) находим а,х -1- а,у+ а,г = О. Этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверх- ности (1) Предположим, что хотя бы одно из чисел а„а„а, не равно нулю Тогда все точки поверхности лежат в плоскости а,х+ а,у+ а,г = О.
Это может быть тогда и только тогда, когда уравнение (1) оп- ределяет две плоскости, совпадаюшие с плоскостью а,х+а,у+а,г=О. На основании теоремы у 140, п. 3, левая часть уравнения (1) разлагается в произведение двух линсйных относительно х, у, г множителей, оДним из котоРых ЯвлЯетсЯ фоРма а„х+азУ+азгз Ф = (а,х + аьу+ азг) (Ах + Ву + Се+ 0). Плоскость, заданная уравнением Ах-1- Ву+ Се+О О, на основании сделанного выше замечания должна совпадать с плоскостью а,х+азу+азг=О, значит, А:В:С = а,:а,;аз, О =О и потому Ф = )г (а,х+ а,у + а,г)з. Мы приходим к противоречию с тем, что а уравнении (1) хотя бы один из коэффициентов прн х, у или г в первой степени от. личен от нуля. Ззп Г а а ° а Х1! ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМ УРА ВНГНИЕМ зеорема 2.
Есги относительно общей декартовой системы каор. донат поверхность второго порядка задано общим уравнением а„х'+ а„у'+ о,згз+ 2а,зху+ 2а„уз + 2а„гх+ +2а,х 2 2а,у+2а,г+а=О, (4) то координаты хз, уз, .3 еа центра определяются из системы а,зх+о„у+ а„г+ а1= О, а„х + а„у+а„г+а,= О, (б) а„х+а„у+а,зг+а,=О, при 1ех1 в случае несовместности втой системы поверхность не имеет центра.
Д о к а з а т е л ь с т Б О Произведем параллельный перенос дап иои декартовой систез1ы коордииаг, при котором новым началом КООрдниат будст тОЧКа О (Ха уз г,) 06ОЗНаЧая СтарЫЕ КООрдннатЫ произвольной точки М чере.1 х, у, г, а новые ее координаты— через х', у', г', будем иметь 4 хз у=у +Уз~ г=г +гз и уравнение (1) примет вид о„х" +а„и'+а„г" + 2ат,х у'+2а,„у'г'+ 2„г'х'+ + 2(о„х,+ а„о, + а„г„+а,)х +2(а.„х,+аз,у, т а„г,+а ) у'+ + 2 (а„х, + а„,у, + а,зг, + аа) г'+ Ф (х,, у,, г,) = О, где Ф (х„у„г,) — результат подстановки координат х, у„, г, точки О' в левую часть уравнения (1), На основании теоремы 1 точка 0'(х„у,, г,) оудет центром поверхности (1) тогда и только тогда, когда а11хо+ аззуз-) аззгз+ а1 = О, а„ха+ а„уз+ оззга + а, =- О, аюх„+ а„у, + а„гз+ аз = О.
1) !56. Классификация поверхностей второго порядка по характеру места центров Пусть поверхность Бторо1о порядка задана обшим уравнением а„х'+ а„и'+ а, '+ 2а„ху+ 2а„уг + 2а„гх+ + азх+2а,у+2аз +а=О (1) ит1юситсльпо обшей декартовой системы координат. !'ассмотрим матрицы /а11 а1 а13 /а11 а1, а13 аз А ~ а„а„а„и А"=~ о„а„азз а, ~,а81 азз а38 а31 аз2 азз аз з мз кллссиеиклция по характера кяихл центров В таблице даны необходимые и достаточные признаки;нрактера места центров поверхности, заданной уравнением (1) гаоляна Ранп Л Ранг Л Хзракзер нет 1очка нез пен~р прямая нет пеп|р плоско'~ь в самом деле, если каждое из уравнений (5) ч 155 является уравнением первой степени, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
