1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Пусть общее уравнение линии второго порядка а,дхд+2й,эху+падут+2а,х+2аду+а=О, (1) заданное относительно обшей декартовой системы координат, является уравнением параболы Доказатдч что тогда вектор ы =(А„Ах~, где А, н А,— алгебраические дополнения элементов й, и а, в определителе йм ад, ад~ К,= ймвый, й, а, а ( Ггйда х+ )д' аз, У) + 2йдх+ 2ааУ+й = О и на основании Гд 150 вектор (Ад, Аз) направлен в сторону вогнутости нара- неяулевой, коллинеареп оси параболы и направлен в сторону вогпутости параболы Р е ш е в и е.
Так как Кз=й,А,-(-й,А, у: О, то из двух чисел А, или Аа хотя бы одно не равно нулю и, значит, вектор ы ненулевой. Далее, ш=(А,, А,) =(ахдад — а,аеи а„й,— аддаД=ад ~ — ад„йд,~+а,(ад„— адд). Из этого соотношения следует, что вектор ы коллинеарен диаметрам параболы (1), так как он является линейной комбинацией векторов ( — йтм йдх~ и «йда, -аы~, каждый из которых коллинеарен диаметрам параболы ( 1) Если ам > О илп адх > О, то уравнение параболы (1) можно записать в виде е !5! Пяпмггы !! Зддлс!!! к Гл тип х! 397 бо,!,!) !огиз и тотько тогда, когда он непраа.,еи в озрниательную полу. плоско ю от прямой 2а,х-!.
2ае!)-)-а=-о, а ззо будет иметь место тогда и ~олька !осла, когда а!А!-).аздз < О 11о зто условие выполняется, так как а,А,— , 'а,А,=-Кз — — — (а! 'г~азз — а, гхам) . .г — ж Если же а„< О плн а,з < О, то уравнение !1) можно переписать в виде ( р" х у — аз!+ р у — аез! — 2а„х — 2азу — а=о. Парабола лежит теперь в положительной полуплоскости от прямой 2а,х+2а,у+а=о и, значит, вектор ы направлен в сторону ее вогнутости, если а!А !+ азАз > О.
Но зто выполняется, так как и случае а„< О или аз, < О имеем азАт+ахА,=Кз=(а, г~ — азз — ае ~~ам) >О. I те Итак, вектор щ=(Аг, А,) всегда направлен в сторону вогнутостн парабо ы. Пример 13. Найти огнба!ощую семейства прямых, рассекающих данный трсуго.!ьник АВС на дае раенонеликие части Р е щ е и и е. В данное семейстно прямых входят, очевидно, медианы данного треугольника Прямая Л, отличная от медяан и пересекающая, например, о!резки АВ и АС соответственно в точках и н и, принадлежит данному сепсис!ну, если площадь треугольника Аио равна половине площади треу го!яника АВС.
Отсюда Аи Ап= —, В 2 !иа !пт, пряман ио касается дутн Ру гиперболы с асичптозаии АВ п АС. Конками р и у этой дуги гиперболы являются середины медиан ВВ' и СС'. Между прочим, точкой М касания прямой ио с указанной дугой гиперболы является середина отрезка ио. Искомая огибающая состоит из указанной дуги )Уу и дуг ()й, пу двух других гипербол, аналогичных дуге ))у [сделать чертеж). 2. Задачи для самостоятельного решения 1.
Доказать, что расстояние от пептра эллипса до прямой, проходящей через копны двух его взаимно перпендикулярных дпачетров, есть величина посзоянная. 2. Найти сумму квадратов длин сопряженных радиусов эллипса с полуосями а и Ь. Ота. а'+Ь'. 3. Вычислить площадь параллелограмма со сторонами ОМ и ОМ', где ОМ и ОМ' — два сопряженных радиуса эллипса. полуоси которого равны а и Ь.
Ол!е аЬ. Ч |5| ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ ХЬ 399 13. Доказать. чьо ю аь опали параллелограмма, тороиы коьорого каса ,ьтся эллипса, являюьгя сопряженными, иачеграчи эього эллипса 14. Доказать что пРоизпедсиие отРезков ЫРь и ЫРа касательной РИИР, к эллипсу ГМ вЂ” то ькв прпкосььовснии), где Р, и Ра — точки, и которых Рас- сматриваемая касательпая пересекается с двутья произвольнылщ пара;щеть- ьььти, касателыьыми к эллипсу, посгояиво 1б, Вьь ьислььть площадь эллипса с полуосями а и Ь, Отв ГтаЬ ,ьа 16. На эллипсе —;-|- —,=1 ганы две точки Ы,|х„яь) и Л1тьхи п.ь ||айти углозо,' ььоэьььььрььььиеььг прямой, проходягче,ь 'ьерчз иепгр эллипса и де.ьз щий попадам плащам, ьтщпткческого сектора 0,11,,|15 '10 — це, гр эллипсаь Ота 91| 2 л, п-л,„' 17.
Найти есе аффиииые преобразовавьщ |си ь!73 — !79|, исрсво.ьящие э.ыьипс х' йл — + — =1 |55 е себя. Ь х'=к сов ф — — У зьп ф а илв а а х' = х соз ф †, — У 5!п ф Ь Ь уь' = — л 5! п ьР— Р соа ф а Ота р — хюп ьр+р ьо5ф, Ь |ьр — „побое п|глоь 18. Найти все афиипые преобразовапия, переводящие гиперболу Хл рл — — — =! а' Ьэ в себя. Отз, х' — (й+ — ) х+ — — ( — )ь+ — ~ д, 2'Л )ь) 2 Ь'Л )ь) р'= — ( — 'А+ — ) — х+ —, () + — ) 1|, где )ь — любое число, ие равное кулю, а т — а|обое число ьдс й — тобое щюло, ве равьое пулю. 19. Рассмоьрим два радиуса гиперболы, таких. что площадь гиперболи.
ческого сектора, образоваипого этими радиусами и дугой гиперболы, имеет двниуьо величину, Доказать, по: !) хорды, сосдвияющие концы этих радььуьоьь касаются пекоторол ьиперГолы, гомотети.иоп заичой, првчем тоьлали касаиия служат середины хора; 2) сеь менты гиперболы, заключеипые между эпп и хордами и луьой гипер. балы, имеют постонипуьо плоьцадьц 3) треугольиик, имеющий сторонами одвт из хора и касательные к гиперболе в ее концах, имеет посьояикуьо площадь.
20. Определить аффиииое преобразоваиие, которое параболу йз=йрх переводит в ту же параболу. )5 Ота. х'= —, |йпл — 2ль!7+та), р'=1.|р — т| 2р 400 глава х>. линии. заданный вящим нндннннинм 2!. Определить все унимодулярные, т. е. такие преобразования х' а„х+ +а„у+а„у' а„к+а,у+а,, для которых а„а„— а„аы — — 1, при ното.
рых парабола у>=2рх переходит в себя. Оп>в. 1 к'*= —, (2рк — 2шу+ >нт), у' =у — вг, Зр 22. Определить геометрическое место середин хорд параболы Гт=2рк, отсекаюших от этой параболы сегменты постоянной плошади. Оа>в. ут=2р(х-а), где а-расстояние от вершины данной параболы до хорды, перпендикулярной к ее оси и отсекающей от данной парабол, сегмент данной плошади. 28. При каком необходимом и достаточном условии две линни второ>о порядка, заданные обшнми уравнениями адтх'+ 2а, „х у+ а, у'+ 2а, х+ 2а,у -(- а = О, Ьык*+2Ь ху+Ь, у'+2Ь,к+2Ь у+а=О, имеют одни и те же главные направления, Ошв.
а>1 аат Ь11 Ьза а„ ь, 3то условие эквивалентно следуюшему АВ=ВА> где А=( ы и), В=( т' ы). 24. Найти геометрическое место центров равносторонних гипербол, про. ходящих через трн фиксированные точки, не приоадле>кашне одной прямой, Ов>в. Окружность, 25. Относвтельяо прямоугольной системы координат линия второго поряд- ка задана уравнением 4ху+Зу'+ 1бх+12у — 86=0, Доказать, что эта линия — гипербола. Найти длины ее полуосей, координаты центра, уравнения действительной и мнимой осей, уравнения асимптот, координаты фокусов, координаты вершин. уравнения касательных в вершинах, Ов>в. (>= — 4 < О, Кв = 144 ~ О, гипербола; дейстнительная полуось а=З, мнимая полуось Ь=б; центр (3, -4); дейстнительная ось 2к †у 10=0, мнимая ось х+2у-)-5=0; асимптоты у+4=0, 4х — ', Зу=О; фокусы (б, 2), (О,— 10); соответствуюшие ич директрисы х+2у+2 =О, х+2у+8=0; вершины ( — +З, б 4), ( З +З, 4); касательные в вершинах х+2у+5 ш 3 )Г5 =О.
26. Какая линия второго порядка определяется условием !т=О, Кз ~ О? О>пв. Равносторонняя гипербола, 27, Линия второго порядка, заданная общим уравнением >р(х, у)=0 второй степени, распадается па две параллельные пряные. При каком необходимоз> и достаточном условии точка >Иэ(кы у,) лежит между ними? Оргв (д>р (х„у,) < О.
Гл«В« хы ПОВЕ1ХНОСТН ВТОРО10 ПО1'ЛД!!А. ВА,"1АНН1йЕ ОВН1ПН Э"1АВНЕНИЕВ 5 !52. Теорема о том, что всякое уравнение второи степени с тремя неизвестными определяет эллипгонд, гиперболоид, параболоид, конус, пилиидр или две плоскости Теорема !.
Всякая квидратичная (варма однородным ортогоеаяь. нсям преобразованием может быогь приведена к такому иду !'«аноническому) чпгобы преобразовинная форма не содержала ч генов с произведением новых переменньсх, взятых г,опирно Коэ44ициентами преобразованной срормьс будут корни харагаперистическоео уравнения. Обшее доказательство этой теоремы дается в курсах высшей алгебры *, Здесь дадим геометрическое доказательство этой теоремы для случая квадратичной формы от трех переменных: сР = а„х'+ а,,У'+ аваес+ 2а„хУ+ 2а„Уе+ 2амех ( 1) Л о к аз ат ел ь от в о. Введем в пространстве ортопормпрованпый базис г,,у, (е.
Переменные х, у, е рассматриваем как координаты вектора (х, у, е) в этом базисе. Введем новый ортонормированпый базис 1', ~', й'. Координаты х, у, е произвольного вектора а в базисе (, г, й через координаты х', у', е' того же вектора и в базисе !', г', А' выражаются соотношениями (1) «100. Втяни соотношения«ш выражается ортогональное преобразование <1,, поскольку мзтрипа А этого преобразования — ортогональная. Подст шляя в выражение (1) вместо х, у, е их значеш1я из формул (1) р 100, получим гр' = а „(х' сов а, + у' соз а, + е' соз а,)'+ + ига (х' соз в, + у' соз,",, + е' соэ рс)с +... * Си Л, Г.
К у р ош Курс высшей аьгсеры М„„Наука'Ь 1966, гл 6, $ 37, сгр 226. 3 !62, Овп2ее РРЗ!..1Г !10еГРхпос~п 403 ;!ш:а>кем спачсле, что ортоп: 1роеапиый оазис 1'. /', й' можно выбрать так, что е еырюкепнп (! ') ооратятся в нуль коэффициенты прп г'х' и е'г'. Выппсь1аая из соотношения (1') полонины коэффициентов при г'х' н у'г' и приравнивая нх пулю, получим уравнения, которые можно записать е виде (01, сов С'з + йте сов )13 + ам сов у,) соя Я, + + (аз „соя Яз + а„сов 63 -'; йзз Соя у,) соз ()1+ ( 310 ' "3 ' 320 )'3 ' азз сов !3)сов у1 (а„сов я, + а„соз (!3 + а „соя у,) сов из+ т (й21 Сов Яз -Г 012 Сов рз + азз Сов уз)СОЗ ()2 -1- + (а„, СОВ из + а.„СОЗ Рз -;— азз СОВ У,) СОЯ У, = О. Эти соотношения озпача1от, что вектор (011 СОВ Яз Р 012 СОВ Чз 012 СОВ Уз, й!1 СОЯ Яз, а 2 СОЯ ( 3 ! азз СОВ Уз~ йз1 сов Яз азз сов ()3 + азз сов Уз) должен быть ортогонален векторам 3 = (Сов Я1, Гов '11 Сову!) п / = (Сов ЯЗ, Соз ~32, Соя уз), иначе коллипеареп вектору Й = (соя а, сов ))3, сов уз), т.
е. а„сов и, + а„сов ))3+ а13 соя у, = Х сов и„ й„сов и, + а„соя рз+ йзз сов уз = Х соя р„ а„сов из+ а„сов ()3+ 0„соз уз — — Х соз у„, или 011 )' 12 а13 а„а,з — Х азз аз! а32 йзз (4) Это уравнение пазьп;ается характеристическим уравнением формы !). Оно третьей степени относительно ) . Но так как все числа а„мы считаем действительными, то уравнение (4) имеет по крайней мере один действительный корень. Оставляя пока в стороне (а„— Х) сов и, + а„сов (23+ й„сов уз = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
