1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Обратно, если уравнение линии второго порядка, заданное относительно общей декартовой систсмы координат, имеет вид а„х'-1- а,,у'-1- а =- О, то начало координат является центром линии (теорема 1, достаточность, э 144). Линна имеет единственный центр, значит, ~а О! !э=с с =а„а„~О, )О а„~ откуда а„~ьО и ааеФьО; наконец, так как в уравнении а х'+ +а„у'~-а=О коэффициент при ху равен О, то оси координат являются свпряженнымн диаметрами этой линии (теорема 1, достаточность). Теорема 3, 1'.
Если общая декартова система координат по отношению к аллипсу расположена так, что: $14В, ЧАСТНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ 375 1) оси координат являются сопряженными диаметрами эллипса; 2) единичной точкой оси Ох является любая точка пере- («Т) сечения одного из диаметров с эллипсом; 3) единичной точкой оси Оу является любая точка пересечения другого диаметра с эллипсом,— то уравнение и,иеет вид хе+ уэ= 1.
Обратно, если относительно некоторой общей декартовой системы координат дано уравнение л ! г т о зто — уравнение эллипса, а система координат по отношению к нему обладает свойствами (5,). 2'. Если общая декартова система координат по отношению к гиперболе расположена так, шпо: !) оси координат являются сопряженными диаметрами гиперболы; 2) единичной точкой Е системы координат является точка пересе«ения любой из асимптоп1 гиперболы с касательной в любой из точек пересечения одного из этих диаметров с гиперболой, то уравнение гиперболы имеет вид х' — уэ = 1.
Обратно, если относительно некоторой общей декартовой системы координат дано уравнение х' — у'=1, то это уравнение гипербольи а система координат по отношеншо к ней обладает свойствами ф,). 3'. Если оби!ая декартова система координат по отношению к параболе расположена так, что: 1) осью Оу является касательная к параболе в любой точке О, лежащей на этой параболе; 2) осью Ох является диаметр параболы, проходящей через точку О; 3) единичная точка Е системы координат лежит на па( раболе, то уравнение параболы имеет вид у'=х.
Обратно, если относительно некоторой обшей декартовой системы координат дано уравнение у'=х, то это уравнение параболы, причем система координат по отно- !иению к этой параболе обладает свойствами (ЯВ). 376 Г а а а а ХА ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМ УЕАВНЕНИСМ Доказательство. 1'. Так как оси координат являют~~ с„.
пряженными диаметрами эллипса, то его уравнение имеет вид аых' + а„у'+ а = 0 (теорема 2 этого параграФа). Так как точки (1, 0) и (О, 1) прина лежат эллипсу, то а„+а=О, паз+а О, и последнее уравнение принимает вид — ах' — ау'+а=О, или х'+у'=1.
ОбРатно, линил х'+У'=1 имеет единственный центР. Г)а ошю ванин той же теоремы 2 для линии, заданной уравнением х'+ у'= 1, оси координат являются сопряженными диаметрами линни и и ресекают ее в четырех точках (-~-1, 0), (О, ~!). Г)о этим св„й по отношению к сопряженным диаметрам обладает только ллип 2'.
Так как оси координат являются сопряженными дна з' ми гиперболы, то ее уравнение имеет вид а„х'+ а„уз+ а = О. Точка (1,0) должна лежать па этой гиперболе, а точка (1 на одной из ее асимптот а„х' + а„у' = О. Значит, а,+ а=0, ам+а„=-О и уравнение гиперболы принимает вид — ах'+ ау'+а=О, или х' — уз=1. Обратно, линия х'-у'=1 имеет единственный центр основании теоремы 2 этого параграфа оси координат явля я ее сопряженными диаметрами. Один пз этих диаметров (о О.) пересекает линию в двух точках (.а.-. 1, О), а другой (ось О ) не пересекает. Этим свойством по отношению к сопряженным метрам обладает только гипербола. Лалее, точка (1, 0) лежит на гиперболе х' — у'=1, а гочка (1, !) — Иа ее асимптотс уЗа.
Лпаметр параболы имеет направление, сопряженное п ношению касательной к параболе в той точке, в которой он пер секает эту параболу, поэтому в общем уравнении параболы „ жно быть а„=О. Так как, кроме того, начало координат О л жит па параболе, то и=-0 Уравнение параболы имеет вн а„хз + а„у'+ 2а,х+ 2а,у = О. $ !48. ЧАстнь!е Виды урАВнения липин 377 Уравнение касательной к эгой параболе в начале координат имеет вид а,х+ аьу = О, а так как касательной в начале координат является ось Оу, то это уравнение эквивалентно уравнению х=О, значит, а!~0, а,=О; последнее уравнение принимает впд а„х'+а,,уч+2о,х=О, где а, Ф.О.
Здесь а,84=0, так как в противпоь! случае уравнение определяло бы две прямые х=-0 и ад,х+2а,=О. Если бы еще было а!1~0, то линия имела бы центр (притом единственный), а парабола центра пе имеет. Значит, а„=О, и уравнение параболы принимает вид а„у' + 2а,х = О. Так как единичная точка лежит на этой параболе, то а,+2а,=0. Значит, 2а, -а,ь, и последнее уравнение принимает вид а„уэ — аь,х=О, или у' = х, Обратно, все диаметры линии уэ = х параллельны оси Ох. В самом деле, координаты векторов, имеющих асимптотическое направление относительно линии у' = х, определяются иэ уравнения т' =О, т. е. ось Ох имеет асимптотическое направление. Пусть (1, т), тчьО,— любой вектор, пе имеющий аспмптогического направления относительно линии у' = х.
Уравнение диаметра, ему сопряженного, ! — — (+гну=О или у=,—, 2 ' " 2т' все диаметры линни у'=х пар ал лель ны между собой; этим свойством обладает только парабола. далее, уравнение касательной к линии у' — х=О в точке (О, 0) имеет вид х=Π— это ось Оу. Уравнение диаметра, сопряженного хордам, параллельным вектору (О, Ц, имеет вид у=Π— это ось Ох. Наконец, единичная точка (1, 1), очевидно, лежит на линии уь=х. Теорема 4. Если неособуго точку линии згп!араго порядка принять эа начало координат, за ось Ох — диалгетр, проходящий через эту точку, а за ось Оу — касательнуго к линии в!порога поряд- 3?8 Г > а а а Хг ЛИНИИ, ЗАДАННЫЕ ОБЩИМ УРАВНЕНИЕМ ка ч э?пои точке, то уравнение линии примет вид а,„х'+ а„у'+ 2а,х = О, где а, эьО, агам, и обрапгно, всякое такое уравнение в случае аД=О, аагчаО является уравнениелг линии второго порядка, гго ойаноигению к которой система координат обладает сформулированными вьиие свойствами.
Доказательство. Так как касательная к линии второго порядка в ее неособой точке имеет направление, которому сопряжен диаметр, проходящий через эту точку, то в общем уравнении линии коэффициент при ху равен нулю (теорема 1, 5 !48). Далее, так как линия проходит через начало координат, то а= О. Уравнение линии имеет вид а „х'+ а„у'+ 2а,х + 2а,у = О.
Уравнение касательной к этой линии в начале координат имеет вид а х+а,у=О, и так как опо должно быть эквивалентяо уравнению х=О оси Оу, то а>+0> а,=О, и последнее уравнение принимает вид а „х'+ а а> гу'+ 2а,х = О. Обратно, если а, Ф 0; то начало координат — пеособая точка линии. Уравнение касательной к этой линии в точке (О, 0) имеет вид хааΠ— ось Оу. Диаметр, сопряженный хордам, параллельным вектору (О, 1) (не имеющему асимптотического направления в силу ааг Ф 0), имеет уравнение у=Π— ось Ох.
3 а м еч а и не к Э 144 — 146. Как было указано в замечании к ~'144, а также, как ясно из содержания й 144 — 146, определения, относящиеся к понятиям центра линии второго порядка, а;имптотических направлений и сопряженности диаметров, не для всех линий второго порядка носили геометрический характер, а потому нуждались в доказательстве инварнантности относительно преобразования одной общей декартовой системы координат в другуго.
Однако этим определениям можно придать во всех случаях геометрический характер (а следовательно, снять необходимость в доказательстве инвариантностн определений и ряда с ними связанных результатов относительно преобразования декартовой системы координат). Для этого вместо одной линии, заданной общим уравнением а„х'+ 2а„ху+ а„у>'-+ 2а,х+ 2а,у-1- а = О, или / =0 (через г обозначена левая часть уравнения линии), рассмотрим семейство линий г =С где С принимает все действительныс значения. в !!ад '!Ас! пы!. виды т!'ли!и:!!!!и лини!! Если уравнение 1" == О есть уравнение нли действительного эллипса, нлп мнимого эллипса, или уравнение двух мнимых пересекаюшихся прямых, то в семейство 1=С включа!отса все эллипсы с обшим центром* и гомотетичпые друг другу, причем центром гомотетии является их общий центр.
В самом деле, после перепо- Рис. 2В са начала координат в центр линии получим вместо 1=0 уравнение ахах' + 2а„х'у'+ а„у" + а' = О, а вместо уравнения ) =С вЂ” уравнение а„х' +2а„х'у'-1-а„у' -г-а' — С=О. Если а'~0 и а' — СфО, то одно из этих уравнений переходит в другое заменой х и у на дх и йу (при подходящем выборе Х), На рис, 219 изображено семейство действительных эллипсов, входящих в семейство линий второго порядка 1=С эллиптического типа. Если линия 1 = 0 гиперболического типа, то нет необходимости включать ее в семейство 1 = С, но можно это и сделать (рис.
220). Семейство 1' = С будет состоять из всех соасимптотических гипербол, при этом гиперболы, лежапгне в одной и той же паре вертикальных углов, образованных их общимн асимптотами, гомотетичны друг другу относительно центра. а Так каи координаты центра определя!отся иа системы а„х+ аг,у+ а, = О, а гх+аеау+на=о, т. е. иа системы уравнений, не содержащих свободного плена уравнения ли. ниц второго порядка. 380 Г а а а а Х1 ЛИ111111, ЗАДАН11ЫЕ ОГШИМ ЕРАВНЕНИЕМ Если (=0 — уравнение параболы, то (=С есть уравнения Н1 рабол, полученных из (=О параллельным переносом (рис.
22!) Если, наконец, ( =0 есть ) равнение пары параллельных пря мых (действительных или мнимых, или уравнение пары совпада1о щих прямых), то семейство ( = С включает в себя все пары па раллельных прямых с общей линией центров. Рес 220 Рис. 22! Теперь определения, данные в $ !44 — !4б, можно модифицировать так: центром линии второго порядка, заданной общим уравнением ( = 0 относительно общей декартовой системы координат, назовем центр симметрии любой действительной линии семейства (=С. Направление называется неасимптотическим относительно линии второго порядка, заданной общим уравнением (=О в аффииной системе координат, если для действительной линии (=С, не являющейся парой совпавших прямых, найдется прямая этого направления, пересекающая линию ( =С в двух действительных и различных точках.
Направления, не обладающие этим свойством, назовем асимптотпческими. Два диаметра второго порядка, заданной общим уравнением (' = О относителщ1о обшей декартовой системы координат, называ1отся сопряженными, если каждый пз них делит пополам хорды действительной линии семейства ( =С, параллельные другому,ит. д. 9!сь ГлАВныГ плпРлВлс1Н1я 11 ГллвныГ дплметРы б 14Я, Главные направления и главные диаметры Определение. Неасимптотическог направление линии второго порядка назьюается главным, если оно перпендикулярно диаметру, сопрягкенному с хордал1и, имеюи(ими вто направление. Зп!от диаметр называется главным диаметром линии второго порядка. Он является осью симметрии линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
