1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Теорема 1. 1лоординаты Е, т вектора (ненулевого), имеюи(его главное направление относительно линии второго порядка, заданной оби1им уравнением а„хе+ 2а,еху+ а„у9+ 2а,х+ 2а,у -)- а = О (1) относительно декартовой прямоугольной системы координат, оп. ределяются из систел1ы а!!1 + аА9т = ).1, (2) а„1 —' ,аевт = лт, где 1,— отличный от нуля корень квадратного уравнения (3) Хг — 1,) +7,=0, (3') гдв 1! = ам+ а99 (4) (б) Доказательство. Пусть ненулевой вектор (1, т) не имеет асимптотического направления относительно линии (1).
'Тогда уравнение диаметра, сопряженного с хордами линии (1), параллельными вектору (1, т), имеет вид 5 146, п. 1) (а91х+а99у+а!)!+(а„х+ав у+а,)т=О, или (91„1+ а„п!)х+ (а„1+ а„т)у+ а,1 + а,т = О (6) Так как система координат прямоугольная, то этот диаметр перпендикулярен хордам, параллельным ненулевому вектору (1, т) тогда и только тогда, когда ненулевые векторы (а„1+а,,т, а„1+а„т) и (1, и) коллипеарны, т, е. тогда н только тогда, когда существует такое число Х, что а„1+а!,т= И, (7) а„1+ а99т = Дт. В этих соотношениях ХФО, так как в противном случае мы имели бы алл1+а99т=О, а9,1+о„т=О, вь2 Глава Х! ЛИНИИ, ЗАДХННЫЕ ОБЩИМ УРХБНЕННЕЯ откуда (а„1+аддга)1+(а,„1+адат)ад= О, или аддР-,'-2адд1т+а„т'=О, т. е, вектор (д, т) имел бы асимптотическое направление.
Далее, переписывая систему (7) в виде (а„— й)1 + адат = О, а„! + (а„— ),)т = 0 и замечая, что она нмсст ненулевое решение 1, лд, заключаем, что )' -","- .,~=о. (з) Обратно, уравнение (8) всегда имеет действительные корни ).д и )де, в самом деле, переписывая его в виде ).' — (а„+а,„) ) +а„а„— а'„=О, (9) находим дискриминант: А = (адд+ а,а)' — 4 (а„а„— а'„) = (а, — аде)а+ 4а'„)О. Случай 1.
).д~О, )е~О и йд~=)е (эллипс действительный или мнимый, гипербола, две пересекающиеся прямые, действительные илн мнимые). В этом случае система (?) при ),=),, пришгмает вид а„1+ адат =- ).д(, адд) + ааалд = ) дгл И В СИЛУ УСЛОВИЯ ~ ам — йд а„ имеет ненулевое решенве 1,, тд.
Из соотношений (10) для этого решения, которые принимают вид адд1д + адегпд = ) д1 д, (11) адд1д+ аддглд =)вдлдд, находим ва (а, 1д+ адетд) 1д+ (а„1, + аддтд) лдд = )д(1а + тад) -ьО, аы(в+2 адд1длдд+ аддлд", ~ О. Значит, это решение не имеет асимптотического направления линии (1), а в салу соотношений (10) ненулевой вектор (1„адд) имеет главное направление линии (1). Аналогично при ) =ала нз системы (7) находим ненулевой вектор (1„ад,), такой, что а! д(в+ адлвлд == ) а(е (12) авдве+аддада =~ длдд также имеющий главное направление относительно линии (1).
$149. Глхвныг направления и Главные дипметгы 383 Докажем, что векторы (1„т,) и (1„т,) взаямноперпендикулярпы. Из соотношений (11) и (12) находим (а„1, + а,,гн„) 1, + (и,,1, -'; аз.,т,)та =).„(1,1э+ т,тз), (а, А+ а „тз)1, -';- (и„1„+ а„тз)т, = )з(1,1э + т,т з). Левые части этих равенств одинаковы, значит, Х,(1Д +т~т,)= =Аз(1,1,—;-т,т,), или (),— ),) (1,1,+т,тД=.О, откуда (Х,ФХ,) 1,1, + т,газ = О, т. е. векторы ((м т,) и (1„пз ) взаимно перпендикулярны. Отсюда также следует, что в случае Х,~О, ХзФО, Х,чье, система (7) при Х=Х, имеет ненулевое решение, но не может иметь двух линейно независимых решений (то же и при 1 =1,).
Иначе говоря, линяя имеет два н только два взаимно перпендикулярных и главных диаметра. Сл уча й 2. Х, = Х,чьб (окружность действительная, нулевая нли мнимая). В этом случае аснмптотических направлений пст и любое направление является главным; уравнение (б) диаметра, сопряженного хордам, параллельным ненулевому вектору (1, ги), принимает вид а „1х + а „ту+ а,1 -(- а,т = О (13) и является уравнением прямой, перпендикулярной вектору (1, ги) (а ~О). Главным диаметром в этом случае является любая прямая (13), проходящая через центр линии.
Случай 3. Х,=О, Х,ч'О (парабола, две параллельные или совпадающие прямые). В этом случае 1,=О. Система (7) при Х =), имеет ненулевое решение 1„т,; вектор (1„и~,) не имеет асимптотического направ. ления линни (1) и имеет главное направление. При Х=Х,=О система (7) принимает вид а„1+и„т=О, а„1+а„т=О; эта система имеет ненулевое решение 1,, пг„однако вектор (1, ю ) 1 имеет асимптотическое направление, так как из соотношений аы1,+а„гл„=О, а„1,+а„е,=О следует, что 2 2 а„1, +2а„1,т,-)-а„эпт,=О, г лава кь линии, злдхнныв оьщпм г лвнвнивм мекторы (Г„т,), (1,, т,) и здесь ортогональны (в силу зьго что ),Ф й„доказательство дано выше).
Отсюда следует, что система а,тГ+а„т=О, а„1+а„т=О в этом случае имеет одно ненулевое решение, но пе имеет двух линейно независимых решений. Из последних соотношений следует, что векторы ( — а„,а„)и( — а„, а„) (14) имеют асимптотическое направление (в случае, если уравнение (1) являетси уравнением параболы, или двух параллельных или двух совпадающих прямых); при этом по крайней мере один из этих векторов ненулевой. 1 ак как вектор, имеющий главное направление, перпендикулярен асимптотическому направлению, то главное направление линии (!) в случае г., = О, Х, ~ 0 определяется одним из векторов или (аио а„), или (авм а„) (один из которых ненулевой). Таким образом, в случае линии параболического типа имеется только один главный диаметр; его уравнение а„(а„х-1-аыу+а,)+а„(а„х+а,„у+а,) =О, или а„(а„х + а„у+ а,) + а„(а„х -г а,,у+ а,) = О. При этом надо взять то из уравнений, в котором коэффициенты при а„х+а„у+ а, и а„х+а„у+а, одновременно пе равны нулю, и любое из них, если оба вектора (а„, а„) и (а„, а„) ненулевые.
В случае параболы — это се ось симметрии; для двух параллельных или совпадающих прямых главный диаметр совпадает с местом центров линии. Заметим, что в случае 1,~0 направление любого главного диаметра является главным, а в случае 1, =0 главным будет направление, перпендикулярное к единственному главному диаметру. $ 150. Определение расположения линии второго порядка по отно- шению к прямоугольной системе координат Для определения расположения липни второго порядка, заданной общим уравнением а„х'+ 2а„ху+ а„у'+ 2а,х + 2а,у 4- а = О (1) относительно прямоугольной системы координат, достаточно знать параметры, характеризующие данную линию и ту систему координат, в которой уравнение линии является каноническим. Если уравнение (!) является уравнением эллипса, то надо найти его полуоси, центр и направление оси, на которой лежат его фокусы (или оси, к ней перпендикулярной).
Е !60 ОНРЕДВ1!ЕНИЕ РХСПОЛОЖСНИЯ ЛИНИИ 885 а в 4 143 были найдены значения коэффициентов простейших уравнений (с помощью теории инварнантов) и их мы записали в виде йтХ +Лв! + ! О (1) ~~Хе ~2~/ ~з У О (111) (П) (2) Перепвсывая формулы (2) и (3) 8 141 в виде )'1 = а11 сове и + 2а ы сОЯ и Я !п се+ а в в Я1П и, 0 = а,в (сов' и — в ! пв и) + (а ее — а„) в! и и сов и, имеем ) !сов и = а„сов' и+ 2ате Я(п и сов' и + а„в !и' и сов и, 0= — в!паа,в (сове и — в!п'и)+(а, — а.„) в!и'исови и складывая, получим ),!сова=а„сова+а!в в!пи, откуда угловой коэффициент новой оси О'Х для каждого из простейших уравнений (2) линий второго порядка тйи=)е= (3) ам ' Вопрос о расположеппп мнимых липни мы ее рассматриваем.
!3 П. с,~.в„ввов Если уравнение (1) является уравнением гиперболы, то надо найти ее полуоси, центр и направление действительной (или мнимой) оси. Если уравнение (1) является уравнением параболы, то надо найти ее параметр, вершину н направление одного из двух лучей оси, например того, на котором лежит фокус.
Если лнння сводится к одной точке, то надо найти ее координаты. Наконец, если линия распадается на две действительные прямые, то чадо найти (в данной системе координат) уравнение каждой нз ннх ". Если в уравнении (1) а„= О, то расположение линии определяется при помощи одного переноса (см, примеры ниже). Пусть атв чьО. Как было доказано в 8 141 (теорема 1), уравнение (!) при помощи поворота осей координат хОд на угол и и последующего переноса можно привести к одному из следующих видов: а' Хв~-а' 'г'1+0=0, где а' ~0, а' ФО! згб Е а а а а ХА ЛННИН. ЗА,'1АННЬ1Е ОБ!ППМ УРАВНЕНИЕМ где:.,— тот корень характеристического уравнения, который является коэффициентом при Х' в каждом из простейших уравнений (2).
1'. Если уравнение (1) является уравнением эллипса, то простейшее уравнение имеет вид Считая, что через )., обозначен меньший по абсолютной величине корень характеристического уравнения (!)А! <))1,(), и переписывая последнее уравнение в виде илп Х' У~ где а= р '1 Я а а заключаем, что а > Ь, так что по формуле (3) определяется угловой коэффициент ббльшей оси эллипса.
1(оордннаты ценз ра эллипса находятся из системы аых+а„у Еа,=О, амх -'; а„у + а, =- О. (4) или Л' — — — =-1 Ь' гд" и= Х1Г, длина еейгтвительной полуоси, а ' Й длина мнимои полуоси. 2', Если уравнение (!) является уравнением гиперболы, то ее простейшее уравнение имеет снова вид (1). Обозначая через ).1 коршш характеристического уравнения, имеющий тот знак, что и К„ перепишем уравнение (1) в виде З !зк опгвдялгния Рзспо тожг!!!!я линии По формуле (3) определяем теперь угловой коэрфиц! сл! .(с ь ствительпой оси 0'Х. Координаты центра находим по-прежнем чз системы (4). 3'.
Если уравнение (1) является уравнением параболы, то ее простейшее уравнение имеет вид ).,Х' ~ 2 1/ — У У = О (), = (,), 1 откуда параметр параболы ((з !3 1 Вершина параболы находится гак: возьмем на параболе точку (х, д). Координаты вектора а, нормального к касательной, к параболе в этой точке таковы: а„х+а„у+а,, а,„х+а.„у+а,. Для того чтобы точка (х, у) являлась вершиной параболы, необходимо и достаточно, чтобы вектор и имел направление диаметров параболы (асимптотическое направление), т, е.
чтобы выполнялось условие а,х+ а„у+ а, = — а1з(, а,,х+ а„у+ а, = а„( (5) (см. теорема 4, з 146). Умножая эти равенства соответственно на — а,, и а„ и складывая почленно, будем иметь 2 2 а,а„— а,а,, = (а„+ а„,) (, откуда а,ап — а!а„ (6) ! а„+а„ Переписывая уравнение параболы в виде (а„х+ а„,у+ а ) х+(а„х+ а„у+ а,) у+ адх+а,у+ а = О, в силу соотношений (5) имеем ( — ат,х+аыу) (+ а,х+ а,у+ а =О. (7) Таким образом, для нахождения координат вершины параболы надо решить липеиную систему (5), (7), где ( определяется фор. мулой (6).
По формуле (3) (). ~О) находим угловой коэффициент к гсательной к параболе в ее вершине (а если ! формуле (31 взч!ь й! =- О, то опа определит угловой коэффициент диаметров параболь!1. Для нахождения вектора, коллинсарпого зиамстоам параболы и идущего в сторону ее вогнутостп, заметим, что уравнение (1) в (з гл лев хп липин злдлнпыг. огщим н лвнщгинм силу )в = О можно всегда переписать в виде (ах+Од)в+ рх+Оу+к=О. (8) Точка (х„у,) пересечения прямых их+ ру= О, рх+ ду+ г = 0 всегда лежит на данной параболе (этн прямые всегда пересекаются в случае, если уравнение (1) является уравнением параболы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
