1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Диаметры линий второго порядка, заданных каноническими уравнениями Если эллипс задан каноническим уравнением х4 у' то уравнение диаметра, сопряженного хордам, параллельным ненулевому вектору (1, т), имеет внд — ',+.—,=О, 1х ту а уравнение диаметра, сопряженного с ним, тх — (у=О. 4У1 На рис. 216 изображен эллипс, два его сопряженных диаметра и хорды, параллельные каждому из них. Если гипербола задана каноническим уравнением а' — „— У вЂ” =1 Рис. 216 а4 Ь4 и ненулевой вектор (1, т) не имеет аснмптотичсского направления (т. е. Ие коллинеарен ни одному из векторов (а-Е э)), то уравнение диаметра, сопряженного хордам, параллельным этому вектору, имеет вид 1х ту — — — =О, а4 Ь4 а уравнение диаметра, ему сопряженного, тх — 1у=О.
На рис. 217 изображена гипербола, се сопряженные диаметры 4( и 4(' и хорды, параллельные каждому из пих. а7о Г я ива Хд Лита1ИЕ ЗА А ДЛННЬЩ ОВЩИА! УРАВНЕНИЕМ Уравнен р ие днаметри параболы уа — 2рх = О, Рис. 217 сопряженного хордам, параллельным 1 имеет вид араллельным ненулевому векто ру, тп, — 1Р-гтУ=О, или У= Р а где 7с — глав " х рд. у, ой коэффициент Все диаметры параболы параллельны ее оси.
На ис. д из ссмеиств параллель- ных хорд параболы и сопряженх ный им диаметр. . Касательная к линии 147. второго порядка Пусть относительно общей Рис, 218 декартовой си р ' системы координат иа плоскости линия вто о ого по рядка задана о „х .а„ху+а„у'+2а,х+2а,у 1-а=О. неособой, если среди чисе~ " аыхо+а ~ -1-а, тяув+ т, а„х,+а„у,+а, есть хотя бы одно, н , не равное нулю.
" Эти чвсла являются и оиаво я эпачеиияаи в то диых ервого порядка от л т евой чмю ра иеии 11) Э Сос КЛСЛ! ЕССЬССЛЯ К ЛИНИИ ВТОРОГО ПОР5СДКА Ясно, что гочка М„лежащая па линии (1), является особой тогда и только тогда, когда Она является пеятром липин (1). Таким образом, среди линий эллиптического типа только линия, распадающаяся на две мнимые пересскасощисся прямыс, имеет особую точку (это точка их пересечения); среди линий гиперболического типа особую точку имеет пара пересекающихся прямых (это также точка их пересечения) и, наконец, среди линий параболического типа особые точки имеет пара совпадающих прямых (особыми точками являются все точки прямой, с которой совпадают рассматриваемые прямые).
Определение. Касательной к линии второго порядка в неогобой точке, лежащей на этой линии, называется пряма», проходящая через эту точку, пересекаюсцая данную линию в двукратной точке или славаюцояея с прямой, входя ~сей в состав данной линии. Теорема 1. )сусть М (х, уо) — неособасс точка линии впсорого порядка, заданной относительно обсцесс декартовой еиспсемы координат уравнением а„х'+ 2а„ху+ ао,у'+ 2асх+ 2а,у+ а = О. (1) Тогда уравнение касательной к этой линии в точке М, имеет вид (а„х,+а,оуо+а,)х+(а„х,+а„у, +а,) у+а,х, +а,у, +а=О.
(2) До к аз ател ьст в о, Рассмотрим уравнения прямой х=х,+(с, у=уо+тС, (3) проходящей через данную пеособую точку М,(х,, у,) линии (1). Найдем точки пересечения прямой (3) с линией (1). Подставляя в уравнение (1) х,+Й и у, +тС вместо х и у, получим а„(х, +(с)с+ 2а,о (х, + Й) (У, + тг)+ а„(У, + тС)'+ +2а,(хо+11)+2а„(у, +т()+а=О, или (а )о+ 2а .1т+аоото) со О+ 2 (1 (а„хо+ асоУо+ ас) + т (аомхо+ асоУо+ ао)1 С+ + сгыхо + 2сс с окоУо + ао 5 Уо + 2а,х, ! 2 аоУо + а = О. Но по предположению точка М,(хо, у,) лежит на данной линии, поэтому а,схо+ 2а„хоу, + а,оуо+ 2асхо + 2аоуо+ а = О, и последнее уравнение принимает вид (асс)о+ 2асо(т+ а,от') Со+ + 2 11 (а„х, + а„У, + ас) + т (а,„хо+ а„У, + а )1 С = О.
(4) Одним из корней этого уравнения является С =-О; при этом из соотношений (3) находим х =хо, у =у„т. е. координаты точки М,. зтз Г. О ОО Х1 ЯНИИИ. З1ДВННЫЯ ОВШИМ У1ЛВНЕНИСО1 Для того чтосы прямая (3) являлась касательной к лингш 1), необходимо и достаточно, чтобы уравнение (а„12+ 2а121т+ а.„тв) 1+ +2(1(а11хо+а12уо+а ))-п2(а21хО+аезуо+а2))=0 (4') имело и второй корень, равный нулю 1=0, а для этого необхо- димо и достаточно, чтобы было выполнено условие 1 (а„х, + а„у, + а,) + т (а, „х, + а„уь + а,) = О.
Таким образом, координаты направляющего вектора касательной 1= — (а„х, +а„у, +а,), (5) т=аых,+а,еу,+а, (этот вектор ненулевой, так как точка М,(х„у,) по предполо- жению неособая). Если вектор (1, т), координаты которого определяются соот- ношениями (5), неасимптотнческого направления, т. е. а„1'+ 2а„1т+а„т'=О, то уравнение (4') имеет только корень 1=0, а если вектор (1, т) имеет асимптотическое направление, т. е, а„12+ 2а„1 т+ а„т' =. О, то уравнение (4') обращается в тождество, прямая (3) входит в состав данной липин (!) и, значит, согласно принятому определе- нию является касательной к линии (1) в точке М,(х„у,). Итак, уравнения касательной к линии (1) в ее неособой точке М,(х„у,) имеют вид О ( 21' О + 1222уь+а2) у=у,+(а„х,-(-а„у,+а,)1, или (а„х, + а12у О + а 1) (х — хо) + (а11х О + а„у, + а 2) (у — уо) = О, или (а,„х, + а „у, + а,) х + (а„ха + а„у, + а,) у— — а„х', — 2а„х,у,— а„у', — а,х, — а,у„ и так как а,тхе + 2а„х,у, + аз,у,' + 2а,х, + 2а,у, + а = О, то окончательно (а11хо+ а12уо+а1) х+(а21хо+аООУО+а2) у+а1хо+аеуо+а = О.
Теорема 2. Пусть относительно общей декартовой системы координат линия второго порядки задана общим уравнением а, х'+ 2а„ху+а„у'+ 2а,х+ 2а,у-(- а = О. $ ссо члстссьсс! Виды ! Рляннния линии ;1ТЗ Пусть диаметр (а!!к-5 а,оу т а!)1+ (аосх+ аязу+ аз) т = О (6) этой линии, сопрязгенной хордалс, !смею!ни,н неасимптотическое направление (1, т), пересекает рассматриваемую линию в неогобой !почке Мо(хо, у,). Тогда касательная к этой линии в точке М, параллельна хордам, которыя гопряжен диаметр (6).
Доказ атея ьст в о. Так как диаметр (6) проходит через точку М,(х„уо), то (а,„х, + а,ауо+ а,) 1+ (а„х, + ааоу, + а,) т = О и так как М,(х„у,) — псособая точка рассматриваемой линии, то можно считать, что 1=- — (ая.хо пс аяоуо+ аз) т = аыхо+ аьоуо+ а„ а это в координаты направляющего вектора касательной к рассматриваемой линии второго порядка в нсособой ее точке (см.
выше формулы (5)). Замечание. Ланпос в этом параграфе определение касатсльпой к линии второго порядка в се неособой точке М, (х„у,) совпадает с определением касательной и линии, которое дается в курсах математического анализа.
Здесь линия задана уравнением вида Г (х, у) = О. Функция г" (х, у) при х = хо, у= уо обращается в нуль, а частные производные от пее по х и у, т. е. 2(а,;х+а„у+а,) и 2(а„х+ао,у+а,) согласно условию теоремы 1 одновременно в пуль ие обращаются. Функция со(х, у) — целая рациональная функция от х и у. Значит, уравнение касательной к линии можно записать в виде* Рх (хо~ уо) (х — хо) + Ро (хо, уо) (у — уо) = О~ или (анхо+ аыуо+ а!) (х хо)+("с!хо+азора+аз) (У вЂ” Уо) = О. $ 148. Уравнение линии второго порядка, отнесенной к двуь! ее сопряженным диаметрам; уравнение линии второго порядка, отнесенной к касательной н сопряженному к ней диаметру Теорема 1. Пусть относительно общей декартгвой системы координат линия второго порядка задана общим уравнением а„х'+ 2а„ху+ асзуо+ 2а,х-', 2а,у+а = О.
(1) Для того чтобы одна из осей имела направление диаметра, сопряженного хордам, параллельным другой оги, необходимо и до- ' См. Г, 111. Филтеигольи. Курс личсс)оре~ииального и интегрально-. го исчисления, т, 1. с'1„Физыатгиз, 19ов, гл. Ч11, 1 2, сзр. оЗО. 374 Г л а а а ХС. 1ИИИИ, ЗАДЛННЫЕ ОБЩИМ УРЛВНЕНИЕМ статочно, чтобьс а,,=-О, т. е. чтобы уравнение имело вид о„х'+ о„у'+ 2асх -Е 2о,у+ а = О.
Доказательство. Пусть, например, ось Ох не имеет асимптотичсского направления, Тогда координаты вектора, параллельного диаметру, сопряженному хордам, параллельным оси Ох, будут = — а го т' = а„,. Но вектор 11', т') коллннеарен оси Оу тогда и только тогда, когда 1'=-.а11=-0. Теорема ' 2. ссусть относительно общей декартовой системы координат задана линия второго порядка общим уравнением а„х'+ 2а,,ху+ а„у'.
+ 2а,х+ 2а,у+ а = О (2) и пусть она имеет единственный центр. Тогда, если оси координат являются сопряженными диаметрами втой линии, а начало координат — ее центром, то уравнение линии имеет вид а„х'+а,ьу'+а=О, где ал,„--"=О и а,ЕЛО, Обратно, если уравнение линии, имесощей единственный центр, илсеет относительно некоторой общей дес артовой системьс координат уравнение а„х' -1- а лу'+ а = О, где а„~= О, о., Ф О, то начало координат является центром линии, а оси координат ее сопряженнылси диаметрами. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если оси координат являются сопряженными диаметрами линии (2), то а„=О (теорема 1 этого параграфа); так как начало координат является центром линии, то в уравпеиин (2) отсутствуют х и у в первой степени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
