1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 56

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

Общая теория Теорема 1. Геометрическим местом середин хорд линии вто- рого порядка, параллельных вектору яеасимптопшческого направ- ления, является прямая линия; зта прямая линия называется ди- аметром данной линии, сопряженньгл~ раскматриваемьом парал- лельным хордам. Если линия второго порядка задана относительно общей декартовой системы координат общим уравнением а„х'+2а,ху-(-а оу'+ 2а,х+ 2а,у+а=О, (1) а ее хорды параллельны ненулевому сектору (),т) (неасимптоти- ческого направления), то уравнение диаметра, сопряженного этим хордам, имеет вид 11 аллх+ а„у+ ал) + т(аол1+ аоот+по) = О. (2) Доказательство, Пусть прямая р, коллинеарная вектору (1, т) иеасимптотичсского направления по отношению к линни (1), пересекает эту линию в тачках Мл (х1 угу и Мо (хо уо).

значим через М, середину отрезка М,М,. Уравнения указанной прямой можно записать в виде х=х, + 11, У =уо+ тГ (3) Значения параметра Г, соответствующие координатам точек Мл и М„определяются из уравнения (ало(о + 2а„1т+ изото) Го + 211(а„х, + алоро+ ал) + + т (а„х, + а„у + ао)) Г+ плохо'+ 2ало~оуо+ аооуо'+ + 2а,х, + 2а,у, + а = О, которое получим, подставив в уравнение (1) вместо х и у их вы- ражения из формул (3) ПУсть Гл иго — коРни этого УРавиеинЯ.

Так как Г, и Го — это ко- ординаты точек М, и М, иа прямой р с началом координат в точ- ке М, и масштабным вектором (1 гп), а ~очка М,— середина М, М„то точка М, на прямой р в указанной системе координат име- ет координату г= л,' ', а так как, с другой стороны, из соотно- 2 шеиий (3) ясно, что 1=0 для точки М, (хо, у,), то гл+1, =0 и потому 1 (а,лх, + а„,уо + ал) + т ( полхо + гоуо + ао) = О Это соотношение, таким образом, является необходимым и до статочиым условием того, что хорда, имеющая направление векто* ра (1, т'1, точкой М,(х„у,) делится пополам.

ыв, ливис ~еы С другой стороны, к а ж д а я прямая, параллельная вектору (1, и), пересекает линию (1) в двух ~очках (действительных различных, ип чых различных, или действительных совпадающих), в потому геометрическим местом середин хорд линии (1), параллельных вектору (1, т), яв;иется вся прямая, уравнение которой 1(а„х+ а, и+ а,) + т(а„х+ а„и+ а,) =О. (4) В этом уравнении коэффициенты при х и р одновременно в нуль не обращаются, таь как если бы мы имели а„!+а„т=О, а„(+а„т=О, то было бы выполнено и соотношение 1(а„! + а„т) + т (а„1 + а„т) = О, или а„1'т2а„1т+а„т'=О, т.

е. вектор (1, т) имел бы асимптотическое направление. Из уравнения (4) находим координаты 1' и т' направляющего вектора диаметра, сопряженного хордам, параллельным ненулевому вектору (1, т): Г= — (а„1+а„т), т'=а„1+а„т. (5) Умножая первое из этих соотношений на — т', второе на 1' и складывая, получим ам(1'+ а„(1т'+1'т) + а„тт' = О. (6) Таково необходимое условие, связывающее координаты не- нулевого вектора (1, т), параллельного хордам линии второго по- рядка, заданной общим уравнением а„х'+ 2 а„ху+а„у'+ 2 а,х+2аер+а =0 относительно аффинной системы координат, и координаты нену- левого вектора (1', т'), параллельного диаметру, сопряженному этим хордам. Условие (6) и достаточно, так как из него следует, что 1': т' = — (а„1+а„т): (а„,1+амгп), т.

е. (1', т') — ненулевой вектор, параллельный диаметру (4). Со- отношение (6) выполняется для аснмптотического направления ли- нии второго порядка, если в нем положить 1=1' и т ° т' (так как тогда мы получим ам1'+2а,в(т+ав,т'=О), поэтому асимп- тотическое направление линии второго порядка часто называют самосопряженным, Теорема 2. Если линия впюрого порядка является линией, име- ющей единственный центр, и если рассмотреть семейство парал- лельных хорд втой линии, не имеющих асимптотического направ- зы г А а 22 Х!. ЛИНИИ ЗАДАННЫЕ ОБЩИЫ УРАВНГИИВМ ленин, !Но диаме!пр, ил1 сопрпэкенный, таклсе не имеет исили1тотического направления; если взять семейство хорд линии второго порядка, параллельных этому диаметру, то диал1етр, ил! сопрласенн!!й, будет параллелен хордам первоначального семейства.

Д о к а з а те л ь с т в о. Пусть относительно общей декартовой системы координат задана линия второго порядка общим уравнением а„х2+2 а„ху+аз,у'+2а,х+ 2а,у+ а=О. Предположим, что зта пипия имеет единственный центр, т. е. 12 — 11 12 чь О а„ а„ Возьмем любой ненулевой вектор (1, т), не имеющий асимптотического направления, и рассмотрим уравнение диаметра 1(а11х+ а12у лс а1) + т (а21х+ а22у+ а2) = О, сопряженного хорда11, параллельным вектору (1, т). Направляющий вектор (Г, т') этого диаметра имеет координаты 1 = — (а211+а12т), т =а!11+а12т. Векторы (1, т) и (Г, т') неколлинеарны, так как , = 1т' — 1'т = 1(а„1+а,зт)+т(а„1+ а„т) = Вектор (1', т') пе имеет асимптотического направления.

В самом деле, так как 12 ч~:О, то числа а„Г+а„т' н а„Г+а„т' не обращаются в пуль одновременно. Поэтому уравнение (а „Г + а„т') 1+ (а „1' + а„т ) т = О, (7) в котором! и т рассматргваются как неизвестные, не может иметь два линейно независимых решения. По одним из его решений является пара координат вектора (1, т), направлению которого сопряжен диаметр с направляющим вектором (1', т'), неколлинеариым вектору (1, т).

Значит, координаты вектора (Г, т') не удовлетворяют уравнению (7), т, е. (а„Г+ а!,т') Г+(а„Г+а„т') т'~О, или а„Г2+ 2 а„1'т'+ а„т' Ф О, т. е. (Г, т'» — вектор, не имеющий асимптотического направления линии (1». в ги дикмвтг ы ,ы Теперь из соотношения агг11'+ агг(1пг - Гпг) + и„гпт' = 0 в силу его симметрии относительно пар чисел 1, т и 1', т' следует, что если лигмгя второго порядка имеет единственный центр, то диаметр, сопряженный хордам, параллельным вектору (1, т ), коллнвеареп вектору (1, т). Определение. Два диаметра линии, и,гге>он)ей единственный ггенгггр, из которых каждый делит пополол хорды, параллельные другоггу, называются сопряэкенными.

Условие а„И' + агг (1т' + Г т) + а„пгт' = 0 можно теперь интерпретировать как необходимое и достаточное условие сопряженности двух диаметров линии второго порядка, имеющей единственный центр и заданной уравнением ацхг+ 2а,„ху+ а,гу'+ 2а,х + 2а,у+ а = 0 относительно общей декартовой системы координат. Если 1~ЬО и Г-гьО, то зто необходимое и достаточное условие сопряженности можно записать в виде агг + агг (й + й') + а„йй' = О, ы, ы' где )г = — и 1г'.= —,— угловые коэффициенты сопряженных дпамет!' ров. Теорема 3. Если линия второго порядки имеет единственн гй центр, то любая прялая неасилптотического направлен я, проходяигая через ее ггентр, является диаметром втой линии.

До к аз а тель с та о. Если линия, заданная уравнением а„х'+2а„ху+а.,у'+2а,х+2а,у+а=О, нмсст единственный центр, то прямые а„х+а„у+а,=О, а„х+а„у+а,=О пе ресек аются в ее центре (1г4:0), по в таком случае урав- нение любой прямой р, проходящей через центр линии, можно записать в виде 1(а„х-1- а„у+ а,у) + гп (ахг1 + а„т+ а,) = О, где хотя бы одно из чисел 1 или т не равно О.

Значит, прямая р является диаметром линии, сопрягкенпым хор- дам, параллельным вектору (1, т), если этот вектор неасимптотпче- ского направления. 11о пз иеасимптотнчпости направления пря- мой р вытекает неасимптотичность сопряженного ей направления (1, т(, следовательно, прямая р является диаметром. ззз грань хп линии, злллнные овщим голвнением Теорема 4. Если линия нтороео порядка является линией параболического типа, то диаметр, сопрявкечный хордам линии, параллельным неасимптотическоиу направлению, имеет асилиппотическое направление До к аз атель ство.

Вектор (Г, т'), коллинеарный диаметру, сопряженному хордам, имеющим неа" имптотнческое направление (1, т), имеет координаты Г = — (а„!+а„т), т'=аы!+ а„т !схп доказательство теоремы 2). Отсюда в силу 1,=0 находим аыГ+а„т'= — 1зт=О, а,„Г+а„т'=!в!=0, значит, 1 ГамГ+а„т )+т' !а„Г+ а„т) =О, или ,л а„,Г + 2а„Гт'+ а„пб = О. Заметим, что векторы 1 — ано а„) и ( — а,.„а,„), по крайней ме. ре один нз которых ненулевой, име!от асимптотическое направление для линии параболического типа. Теорема 5.

Если линия — парабола, то диаметром является любая прямая, имеющая асимптогпическое направление относительно втой линии До к а з а те л ь с т в о. Если линия является параболой, то на основании теоремы 4 все ее диаметры нмеют асимптотическое направление. Докажем, что и обратно: любая прямая р, имеющая асимптотическое направление параболы, является сс диаметром. Возьмем на прямой р произвольную точку (х,, уь) и выберем ненулевой вектор 11, т), не имеющий асимлтотического направления, и такой, чтобы его координаты удовлетворяли соотношению 1 Гаыхь+ а„уь + а,) + т 1а„х, + а„у, + а,) =- О. Для этого достаточно положить (аз1ха+ аиуо+ аз) ™1гхо+ аззуь+ а1 Вектор 11, т) ненулевой, так как для параболы, заданной общим уравнением, система а„х+а„у+а,=О, а„х+а„у-;-а,==О несовместна.

Этот вектор не имеет асимптотичсского направлеш1я, так как, предполагая обратное, из последних соотношений (з силу 1, = 0) найдем а„1+а„т = а„а,— а„а, =О, а„1+а„т= а„а,— а„а, =0 и система а„х+а„у+а,=О, а„х+а„у+а,=О оказалась бы совместной. 4 ма диАМеТРЫ 369 Значит, при указанном вь1боре 1 и т уравнение 1( а,гх+ а„у+ а,) + т (а„х + а„у+ а4) = О будет уравнением прямой р, Замечание, Если линия имеет прямую центров, то каждая точка этой прямой должна принадлежать каждому нз диаметров линии, Таким образом, прямая центров оказывается единственным диаметром линии; так как в рассматриваемом случае линия второго порядка есть пара параллельных (или совпадающих) прямых, а линия центров есть прямая, лежащая посередине между ними, то эта последняя прямая и будет единственным диаметром ливии (распадающейся на две параллельные илп совпадающие прямые), 2.

Характеристики

Список файлов книги