1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Необходимым и достаточным условием компланарности вектора а=(), <п,л) и плоскости, заданной общим уравнением (27), является равенство в !Зч пчосксси ччтггиа'!'сиги!се лсснии зев Отметим, что в комплсксиом пространстве глаипыи вектор (А, В, С) плоскости, заданной уравнением (27), может быть ей комплапарен. Пример: Зх ! 4у",— 5сг+ 2=0, Имеем и далее (А, В, С) =-(3, 4, 5!') 3 3+4 ° 4+ 5с 5с =-О. Наконец, прямую в комплексном пространстве можно задать парой различных плоскостей Адх+ В,у+С,г+0,=0, (28) Аах+ Вар+ Сег+ О, = О, (29) имеющих общую точку. В самом деле, если множество всех решений уравнения (28) не совпадает с множеством всех решений уравнения(29)(плоскости различны!), но нмеетси точка (х,, у„, г,), лежащая как на плоскости (28), так и на плоскости (29), то множество всех решений системы (28), (29) гслсеет вид В, С, В, Св С„ А, С, А, А, В, А, Вг х=х,+с (30) у= уо+ с г=г,+1 а зти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через точку (х„у„г,) с направляющям вектором ( в,' с,' ' с~ в,'~ ~ в,' в,' ) 9 !39.
Плоские алгебраические линии с. Определение плоской алгебраической линии и ее порядка Целой рациональной функцией пад полем комплексных чисел называется функция, которая получается, если пад аргумептамн и комплексными числами производя~ся только операшсисложения, вычитания и умножения *. Например, и=(3+ 4!) хуа — — Ас-2-';с г узч ' Деление на хоиплексное число, ие равное нулю, рассматривается каи уыножение на число, обратное этоиу числу.
Взп Г а а а а Х, КОМПЛЕКСНЛЯ ПЛОГКОГТЬ Н КОМПЛЕКСНОЕ ПРОПТРАНСТВО целая рациональная функция от грех аргументов. Аналогично формулируется определение целой рациональной функции над по. лем действительных чисел. Степенью целой рапиональной функции и называется макспмаль ное значение суммыр+а+С+... показателей аргументов в выра жении вида Ахараг'..., суммой которых является функция и. В приведенном выше примере функция и третьей степени.
Алгебраическим уравнением называется уравнение, которое мы получим, приравняв нулю целую рациональную функцию. Степенью алгебраического уравнения ) (х, у, г, ...) = 0 называется степень целой рациональной функции Г. Множество всех точек М(х, у) комплексной плоскости, координаты которых удовлетворяют алгебраичсскому уравнению Г" (х, р) = О, называется плоской алгебраической линией.
Порядком алгебраи- ческой линии, заданной уравнением Е(х, й)=0, называется степень этого уравнения, иначе степень целой раинональной функции г (х, р). Пусть Г'(х, у)=0 (1) уравнение алгебраической линии и-го порядка в системе коордя. наг (О, ен ее). Перейдем к другой системе (О', е„ в,).
Тогда (см. п. ! предыдущего параграфа) а а х=аых +атер +хе, у=а„х'+а„у +р, и уравнение Е(х, у)=0 в новой системе координат примет вид Е (амх' + а,ар'+ х,, ае 1х' + аееу' и- уа) = О, (2) т. Г. снова является алгебраическим. Так как х и у через х' и у' выражаются линейными соотношениями, то степень последнего уравнения не выше степени урав. пения Г'(х, у) = О.
Но степень последнего уравнения (2) не может быть и ниже степени уравнения Г"(х, у) = О, так как х' и д' через х и у также выражаются линейно, а потому, если бы степень у)завнепия (2) была ниже степени Г (х, у) =О, то при замене х' и р их выражениями через х и у в уравнении (2) получили бы уравнение Е(х, у)=0 степени более низкой, чем и. 4 мэ. папские кяггггкичвскиг 331 Таким образом, во всех декартовых системах координат алгебраическая линия определяется алгебраическим уравнением и имеет одни и тот же порядок.
Говорят, что алгебраический характер уравнения алгебраической линии и ее порядок инвариантны (т. е неизменны) по отношению к преобразованию декартовой системы коорди наг. В аналитической геометрии на плоскости изучаются главным образом алгебраические линии первого и второго порядка, т. е, линии, заданные относительно общей декартовой системы координат уравнениями Ах+ Ву+С=О, Ахз+Вху+Су'+ Ох+ Еу+Е=О. 2. Пер ееече и не алгебра и чески х л и и и й. Пересечен ис алгебраической линии с прямой Пусть заданы уравнения двух алгебраических линий: г" (х, у) =О, Ф (х, у) =О ( (г и Ф вЂ” целые рациональные функции от х и у). Для нахождения координат точек пересечения линий, заданных уравнениями (3), надо решить эту систему (3), так как координаты каждой точки, лежащей на обеих линиях, должны удовлетворять обоим уравнениям этих линий.
Докажем, в частности, следующую теорему. Теорема 1. Прямая линия или совсем не имеет оби(их точек с алгебраической линией, или г(евином входит в ее состав, или пересекает ее в конечном ариеле точек, причем это число не превосходит порядок линии. Доказательство. Пусть г (х, у) =-О (4) уравнение алгебраической линии и-го порядка (т. е. Р†цел рациональная функция от х и у степени и). Рассмотрим произвольную прямую, заданную параметрическими Уравнениями х=хв+В, у=у,+тГ, (5) Для определения координатточск, прииадлежащнходновременио алгебраической поверхности (4) и прямой (5), надо исследовать следующее уравнение относительно г': г (х, + В, у, + т г) = О. (6) Это уравнение относительно Г имеет степень це вышеп.
Может представиться три случая. 1. Уравнение (6) не имеет корней. Это значит, что прямая А и поверхность (4) пе имеют ни одной общей точки. 332 Г в а вв Х КОМ!сгсекСНЛЯ ППОСКОГТЬ И КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО 2. ~.'оотношение (6) является сождеством относительно с. Это значит, что все точки прямой (5) лежат па линии (4), иначе прямая (5) входит В состав линии (4) 3. Соотссопсеипе (6) является уравнением относительно(степени й, большей или равной 1 (но меньшей или равной и, как указано вьнпе).
В таком случае прямая (5) пересекает поверхность (4) в сс точках Если среди Сс корней есть кратные, например, число с = Сс является з-кратным корнем уравнения(6), то будем говорить, что точка (хс + ссс, у, +и!,) является а-кратной точкой пересечеяия прямой с линией Примеры 1 Прямая х=с, у=с не имеет ии одной обшей точки с линией х — у' — ! =О, так каь соотношение сб) здесь принимает вид — 1 О. 2. Прямая х=с, у=с входит в состав линия х' — у' О. тая как соотношение сб) обращается в тождество 0 О. 3. Прямая х с, у=с+1 пересекает пинию в т о р о г о порядка ха — уз — 1=0 в одной точке В самоь деле, уравнение 16) принимает вид С ' — Сз — 21 — 1 — 1=0, откуда с= — 1 и, значит, единственная точка пересечения имеет координаты х — 1, 2=0. 4. Прямая х=С, у=о пересекает линию второго порядка хз-уа — 1=0 в двух !очках (1, О! и ( — 1, 0).
В. Прямая х=1, у=С пересекает линию х' — уз — 1 =0 в двух совпадающих точках (1.0), так как уравнение (61 здесь принимает внд Се=О и имеет двойной корень С О. л !Зч ппоскпг А1ГРВР!ичвскиг чипип 3, Распадение ллгебраических линий Если левая часть уравнения алгебраической линии разлагается в произведение двух целых рациональных функций, степень каж- дой из которых больше илп равна 1, т.
е. г(х, у)==Г,(х, у) Е (х, у), где Г,(х, у) и Р,(х, у) — целые рациональные функции от х и у, степень каждой из которых больше или равна 1, то говорят, что данная алгебраическая линия распадается на алгебраические ли- нии, определяемые уравнениями Г,(х, у)=0 и Е,(х, у) =О. Например, линия х' — у'=0 распадается на две: к+у=О,х †у; каждое из этих уравнений является уравнением прямой, проходящей через начало координат. Линия х'+у'=0 также распадается на две! у+гх=О, у — !х=О; имеется только одна точка(0, 0) с действительными координатами, лежащая на этой линии.
Локажем теперь следующую теорему. Теорема 2. Если в состав алгебраической линии г" (х, у)=0 (7) порядка и > 1 входит прямая Ах+ Ву+С = О, (8) т. е. координаты всех точек прямой Ах+ Ву-1-С=О удовлетворяют и уравнению г (х, у) = О, то левая часть Е (х, у) уравнения (7) может быть представлена в виде Р (х, у) = (Ах + Ву+ С) Р, (х, у), где г!(х, у) — целая рациональная функция от х и у, степень кото рой на единицу меньше степени г" (х, у).
Локазательство. Целую рациональную функцию р(х,у) степени п от двух аргументов х и у можно представить в виде Е(х, у) =а,х" +а (у)х" '+... +а„(у), (9) В34 Г»а»а Х КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ И КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСГРЛНСТВО где а,— число, а а,(у), ..., а„(у) — целые рациональные функции оту, степеней, воответственно пе бйльших 1, 2, ..., и.
Предположим, что А -ьО, тогда уравнение (8) можно разрешить относительно х~ в с х — — — ц А По условию в с Р( — — у — — у) — О, А А ' поэтому на основании теоремы Безу функция (9) делится на х+ — у+— в с А А" Частное ю(х, у)=аох" '+ ~а,(у) — ( — „у+ — „) ао1 х" '+ является целой рациональной функцией гс(х, у), степень которой на 1 меньше степени Г (х, у). Итак, г" (х, у) = (х+ — у+ — ) гр (х, у), в сх г (х, у)=(Ах+Ву-(-С) Р,(х, у), или » где г" (х,у)= — ' ч (х у) А $ 140. Алгебраические поверхности 1. Определение алгебраической поверхности Алгебраической поверхностью называется множество всех точек М(х, у, г) комплексного пространства, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению Г" (х, у, г)=0. (1) Порядком алгебраической поверхности называется степень целой рациональной грункции г (х, у, г).
Так же, как п. 1. 5139, доказывается, что алгебраический характер уравнения (1) и порядок алгебраической поверхности инвариантны по отношению к преобразованию декартовой системы координат. В аналитической геометрии в пространстве изучаются главным образом поверхности первого и второго порядка, т, е. поверхности, о ыо л типп1ичкскци повкпхпостн заданные относительно декартовой системы координат уравнениям 1 Ак+Ву+Сг+0=0, Ах'+ Вуг+ Сга+ Оуг -',— Егх+ гху + бх+ Ну+ Кг+ Е =О. 2. Пересечение алгебраической поверхности с прямой н плоскостью Теорема 1.
Прягяоя линия или совсем не яснеет с алгебраической поверхностью обгиих точек, или Пе,гиком принадлежигп в!пой поверх. ности, или пересекает ее в конечнол~ числе точек; в г!оследнегн случае число точек пересечеяия не более порядка а.ггебраической новерхносчти. Доказательство атой теоремы вполне аналогично доказательству теоремы 1 2 ! 39; пусть Е(х, у, )=0 уравнение алгебраической поверхности, а х = хо + (т у = уо + тт, г = го + пг (2) параметрические уравнения произвольной прямой. Для нахождения координат точек, принадлежащих одновременно заданной поверхности (1) и прямой (2), надо исследовать уравнение относительно П Г (хо+(! Уо+о!г о+пг) =О. (3) Степень этого уравнения нс выше п.
Если оно нс имеет корпел, то прямая (2) и поверхность (1) не пысют ни одной оощей точки. Если соотношение (3) выполняется при всех значениях" т, то все точки прямой (2) лежат на шшерхпостп (1),, иначе прямая (2) целиком лежит на поверхности (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
