1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Через каждуло пючку гиперболического пароболоидо «' У' — — =2г, где р)0 и д)0, Р У (1) проходят две и только две его прялсолинебные образйющие. Доказательство. Пусть (х„уо, г,) — произвольная точка гиперболического параболоида (1), а х = х„+ И, У = Уо -'; т1, г = го -с п1 (2) параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку. Для того чтобы прямая (2) пелнком лежала на поверхности (1), необходимо и достаточно, чтобы уравнение о оз 2(г„— , 'п() =0 («о+(!)' (Уо ! в'!)' Р У ( Р «ло'), ('«,! у,т ') о Уо ко — — — ) (о -~- 2 ( — — — — и ) 1 + — — — 2г„= О, или выполнялось при всех значениях Г, а зто возможно тогда и толь- ко тогда, когда «о! Уот — — — =О,— — — п=-О. Р У Р У Из первого уравнения находим т- ч- 1I — '1.
-Г„ Решая зто уравнение совместно с уравнением «о! Уов! — — — — П=О, Р У находим «о Уо — «- l л'о !'о 1 1, ! то ! и, = Р«р ! — ) д ! ( —,' — с †.-"= ) . 5НО 1 а а а а 1Х КЛНОН11ЧЕСКИВ УРЛВ»ГИ»я 1ЮЙГРХПОСТГЙ Теорема доказана. 1'1ы видим, что прямол»»ейные образующие, параллельные вектору (1ы т„п,), параллельны плоскости Х = — ==О, У7 а прямолинейные образующие, параллельные вектору (1„т„п,), параллель»ы плоскости к и =+= =О. Разобьем множество всех прямолинейных образующих гиперболического параболопда на два семейства, относя к первому семейству все образующие, параллельные плоскости х у = ==О, Ул Уч а ко второму семейству — образующие, параллельные пз(оскости Х Как мы видели в 5 134, плоскость ХОу пересекает гиперболический параболоид х' у' — — — =2а л ч по паре прямых Х У ==О, а=О Ул Уу х Гл=+ у — =О, а=О.
Прямая )5 принадлежит первому семейству, а прямая (х — второму. Выше было доказано, что через каждую точку гиперболического параболоида проходит по одной образующей из каждого семейства. Следовательно, через каждую точку прямой л проходит еще»о одной образующей второго семейства. Прямая р принадлежит второму семейству и, следовательно, через каждую ее точку проходит еще по одной образующей из первого семейства.
Образующими, пересекающими прямые 1. илп р, исчерпываются все прямолинейные образующие гиперболического параболоида (1). В самом деле, прямые 15 и р пересекают друг друга; всякая же другая прямолинейная образующая гиперболического параболопда (1) пересекает плоскость ХОу, а значит, и одну из прямых 15 или р, ибо плоскости, параллельные плоскости хОу, пересека1от гиперболический параболоид (1) по гиперболам и, значит, не содержат его прямолинейных образующих. З ме.
пгямолиивииыс овяззлюшив з!! Таким образом, первое семейство прямолинейпыт образующих гиперболического параболоида (!) является множеством всех прямолинейных образующих, пересекающих прямую рп — +==О, г=О, у Уу а второе семейство есть множество всех прямолинейных образующих гиперболического параболоида (1), пересекающих прямую л: х у — — =*=О, а=О. )х5 Гиперболический параболоид есть геометрическое место точек, принадлежащих всем прямолинейным образующим одного семейства (рис. 215).
Ряс. 2Б ' Теорема 2. Дее пряглолинейные образующие гиперболического параболоида из разных семейств пересекаются. Доказательство. Возьмем две прямолинейные образующие разных семейств: л — х, у — у, уя Уд хл ул Улл л' — лч у — ух х — х, 'г' У вЂ” 1' ч х2 ! Ух ' у7 )хе пРоходящие через точки (х„у,, г,) и (х„р„г,) гиперболичес- кого параболоида. Эти прямые непараллельны (их направляющие 312 с ~ава (к ккнонп ~ы кие ярлвпьпия нове хностся векторы неколлнгеарны) и лежат в одной плоскости, так как кг кг уг у1 гг УР 'г' 7 Л, у, = -ь — '— УР (к, ~/ — + и, + к, '('с — — у,) = (.кг к1) — (у — и )(кел- у~ — у,— к -,'- ~/ — у,)+ 2 1 е 1 и я е 1 Р в 1 (гг — г,) ( — 2Р' ри) = (к' — ") ~Г'- — (у* '— у') (/'- — 2Р Й(г — г ) =Р Рй( — — — ' — 2г +2г )= Р Ч ~ (Р ц 1/ =+ и =О, г=О )'в и параллельны плоскости х у — — ==-О, УР пересекающей прямую )ы Таким образом, эти образующие лежат в параллельных плоскостях и потому не пересекаются.
Но они ие могут быть и параллельны, так как в противном случае все образующие второго семейства, пересекая этп две образующие в силу теоремы 2, лежали бы в плоскости, проходящей через эти две параллельные образующие. Это противоречиво, так как параболоид есть еометрнческое место точек, принадлежащих всем образующим одного семейства. 3 а меч а и и е Уравнения двух семейств прямолинейных образующих гиперболического параболоида к' уг — — — =- 2г Р Поэтому прямые перссекаются, Теорема 3. Лые прямолинейные обраэуяипие гиперболинескоео параболоида, принадлежащие разным семействам, скреп(иваются. До к аз а тел ь с т в о.
Возьмем две разные образующие, принадлежащие, например, первому семейству. Они проходят через две разные точки прямой рл ф !»7. ПРИМЕРЫ И ЗАДАт!И К ГЛАВЕ !Х З)З можно взять в виде: одна серия х у =+ —, =- 2и, Ур Уу У)! Уу п дополненная еще одной прямой Ур Ус и другая серия Х У =+= Уу дополненная прямой х я Уд г х у — = — — =2о, Ур )у« (4) =О, г=О. (Х) )(етрудно видеть, что уравнениями (3) задается та серия прямолинейных образуюи(их, которая выше была названа «второй», а уравнениями (4) — серия, которая выше была названа «первой». $ !37.
Примеры и задачи к главе !Х !. Задачи с решениями Г(рнмер !. Определить внд и расположение поверхности 2х» — Зуг — Згг+ 4х+ Зг — 5 = 0 Решение. 2 (хг+ 2х+ 1) — 2- Зуг — 3 (Ы вЂ” 27 + 1) + 3 — 5 = О, 2(х+ 1)г — Зуг — З(г — ! и=4, (х+ 1)г уг (г — 1)' т- 2 4 4 3 3 (х+ 1)' уг (е — 1)' — + — + 2 4 4 = — 1. 3 3 Положнм х+1 Х, у=У, г — 1=2, тогда )равненне прннет впд = — 1, Хг 2 ' 4 4 Т Это уравневпе определяет двуполостный гиперболоид вращения (вокруг осн О'Х). Формулы (!) мотнво персппгат!. в нп.те х=-Х вЂ” 1, у=-г, с=2+1. 314 Гз Я!Я !Х КЛНОНИЧГСКИГ. ЗяаВНСНИЯ ИОИКИХНОС?КГ! Отсюда видно, что )равнение приводится к каноническому аиду парал.
лельныч переносом осей координат 1!ачало новой системы О'Хг"Е находится в тачке ! — 1, О, 1) эта точка является центрам гипербатонда Ось врашения ! совпадает с новой осью О'Х, т е прямой, проходяшей через точку ! — 1, О, 1) параллельна оси Ох Полуоси гиперболоида а= Р 2 8=с==. ~Ъ Этот гиперболоид можно получнгь вращением вокруг действительной оси гипербочы. Га Х' — — — =1 4 2 ;! урапнсния которой даны относительно новой системы координат.
Пример 2. Определить вид и расположение поверхности Зх'+ 4 у' — ! 2х+ 8у -)- 17г = О Решение 3(ха — 4х-';4) — 12+4 )уа-,'-2у-з-1) — 4+17г=о 3<х-2)а+4 (у+1)'+17г — 16 О, 3 ! — 2)г+ 4 (у+ 1)в+! 7 ( — — ) = О, 16! Г? ) ( 17 + 17 ),' 17 ) ' 6 8 Положим 16 г — — =Е, 1? х — 2 Х, у+1=У, или г=Е+ —, 16 ' 17' х=Х+2, у=У вЂ” 1, Последнее уравнение примет внд Хг у! — + — = — 22. 17 17 6 8 га Зх+ 4у+ 15 Р е ш ение Повернем оси координат вокруг оси Ог на угол, определяемый соотношениями 4 3 соа ср = —, а!п !у=в 5' 5' Оно определяет вллиптическнй параболоид, для которого 17 17 Р= — ° 6 ' 8 Ось параболоида имеет отРицательное направление оси О'2, вершина нахо- 16 дится в !очке (2, — 1, — ) 17 Пример 3.
Определить внд и расположение поверхности 1 1Зт ПР1 МЕРЫ И НЛДЧ'|И К |ЛЛ1,1. |Х 1рорчулы преобразования будут иметь вид 4; — Зу х'= —, 5 Зх+ 4у дч = — ', г* =- г. 5 Отсюда и >.равнение принимает пид Положим Зх 1 4у =5у* гг= Зх+4д-,' 15 г*' =бд" +15, илп г"'=5(у*-(-З). У*тЗ У, г*=2, (2) тогда получим Зг=5У, соь' и — ь( п' а = О. Отс1ода можно взять сова=а!п а, следовательно, а=45'.
Так как при этом 1 соьа=ьш а ==, то пог 1едпсе |равнение примет вид г' 2 г' 2(' — — '— ,г1, или г' - у' — х' =-О, это конус вращения с вершиной в на1злс координат. т. е. уравнение параболического цилиндра. Из формул (!) и (2) находим 4х — Зу Зх.! 4у, Х 5 —— , У вЂ” — оэ — '-+3, З=г.
5 Напрап11я|о|цей этого цилиндра служит парабола с параметром у=- —, 2 ' лежашан в плоскости Х =О, т. е. в плоскости 4х — Зу О. Плоскость симметрии цилиндра, перпендикулярная к плоскости напрзч- ляюшей, есть плоскость 2=0, нлп г=О, т. е. плоскость хОд. П юскость, касательная к цилиндру, перпендикулярная к указанной п,1о- скости симметрии, будет У =О, т.
е. Зх + 4д + 15 = О. Для всех точек цилиндра У > О, т. е. цилиндр лежит в том полупро- странстве от плоскости Зх+4у+15=-0, для всех точек которого Зх+4у-,'— !5 > О Пример 4. Опрсдслнть вид и расположение поверхности гг =- 2ху. Р е ш е н и е. Производи поворот осей вокруг оси Ог на угол а, будем иметь х=х соьа — у Б1па, д=х Б!па+у сОБМ, г=г и уравнение примет вид г' =2 [хм созаз|п а+х'д'(созга — шп'и) — у' ы|п асоьа!.
Подберем угол а так, чтобы в этом уравнении обратился в нуль коэффи. циент при х'у 1 3!6 г, чгч гх клпоиичсскис ы лнисиия повп хиостся ) гол ь ежду осью вращения н образующими равен 45'. Осью конуса яв- ляется новая ось Ох', т. е. биссектриса угла .тОу. Пример 5. Подобным образом приводится к каноническому виду уравнение г=ху, После поворота осей вокруг оси Ог на угол 45' получим х' -у' .= 2г', это гиперболический пзраболонд 2. Задачи для самостоятельного реи(ения 1. Лан однополостный гиперболоид х у г — -1- — — — 1 9 4 1 и плоскость х=5.
Найти нид н полуоси линии пересечения данной поверхио. сти и данной плоскости. 4 Осла Гипербола, действительная полуось ранна —, мнимая полуось 3 ' 3 равна †, центр (5, О, 0); деиствительная ось параллельна оси Ог, мнимая 3 ' ось параллельна оси Оу, 2. Составить уравнения прямолинейных образующих одиополостиого гн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
