1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Локгзэть, что отрезок любой касательной к эллипсу, заключенный между касательными, проведенными в копнах болысеп осп, виден нз любого фокуса но, прямым углом. 8. !!айти геометрическое песта точек, из которых эллипс ха у' — + — 1 аз Ь' виден ао, прямыч углом Отв Окружность х'+у'=а'+Ь'. 7. Эллипс прн движении по плоскости касается двух взаимно перпенлнкулярных прямьи. Какую ливню описывает его центр? Отв. Окружность. 8, Составить уравнение эллипса, фонусы которого ( — 3, О) и (3, О) н который касается примой х+у — 5=0.
х' уз Отв. — -)- — =!. 17 8 9. Найти геометрическое место проекций какого-ннбудь фокуса эллипса нв касательные к нему. Отв. Окружность. 10. Нэйтн гсочетрнческое место точек, свмметрнчных с какам-либо фокусом эллипса относительно касательных к нему. Отв Окружность, 11.
Найти произведение расстояний от любого фокуса вллппса до парал- лельных, касательных к нему, Ота. Квадрат меньшей полуоси. !2. При каком условии нз точки (х„у,) зюжно провести касвтельные к вллнпсу х' у' — + — =1. аз Ь' Составить уравнение линии, распадающейся на касательные, проведенные к данному эллипсу из втвй точки. у.", у,' Отв.
—, + -ф > 1! !3. Найти )глы между касательными, проведенными нз точкн (хз, уэ) к зллнпсу х', у' — — 1. аз Ьз 1127 прнлхнпы и нлдлп!1 к Гллнв ч111 х'+ у — а' — Ьх о л с!2 а„ ° Хл ул 2аЬ 11 — ' -1- — ' — 1 а' Ь' 14. Доказать, что сумма квадратов обратных величин длвп двух нзаилшо ,ерпсндинулярных радиусов эллипса есть величина постоянная, 13. Доказать, что сумка обратных величин отрезков, па которые фокус эллипса делит проходящую через пего хорду, есть величина постоянная. До.
казать, что и отношение произведения втих отрезков к алине хорды также постоянно. 1б. Найти длину отрезков !считая от центра гиперболы), отсекаемых директрисами гиперболы х' у' — — 1 аз Ьз иа ее аснмптотах. Ошз. а. !7. Доказать, что директриса гиперболы проходит через проекцию соот- ветствующего ей фокуса на любую из вспмптот.
Найти также расстояние от ллобого фок) сз гигерболы до любой иэ асииптот, 13. Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до ее аснмптот есть величина постоянная. 19. Состалить уравнения касательных к гиперболе ул х' — — 1 4 проходящих через точку М !1, 4). Ошз. 2=1, бх — 2у+3 О. 20. При каком необходимом и достаточном условии прямая Ах+Ву+ +С =-О !) касается гиперболы.' хз ут — — — у~ 1, аз Ь 2) пересекает гиперболу; 3) пе пересекает ее? Ошз. 1) ахАх — ЬзВх — Сз=О; атАз ЬзВл ~ О. 2) азАл Ь2Вх Сз < О !нс клкчая асичптоты]; 3) а'А' — Ь2В' — С' )О.
21. Определить произведение расстояний от любого фокуса гиперболы хл ул — — -й- 1 ат Ь до злобой касательной к ней. Ошз. Ь'. 22. Определить геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых насшотся гиперболы хт ул -1- — — — — 1, а Ьз Отз, Пустое множество, если аз < аз!окружность ха+у' аз — Ьз, если а>Ь, 23. Доказать, что расстояние от любой точки М гияерболы до ее фокуса В раппа отрезку прямой, проходящей через эту точку параллельно аснмптоте, Ьаключеппому между точкой М н директрисой, соответствующей фокусу В. 280 Г о о во у)Г!.
КЛИОНИЧНСКИН УРАНННИИЯ ЛИНИЙ ! 24. Составить уравнение гиперболы, зная уравнения ее асимптот у= т — к 2 и уравнение 5х — Ву-8=0 одной из касательных в ней. хо Отв. — — у'= ! 25. Найти геометрическое место проекпнй какого.либо фокуса гиперболы на касательные к пей. Отв Окружяесть. 26. Найти геометрическое место точек, симметричных с каким-нибудь фо.
хусан гиперболы относительно касательных к ней Отв. Окр>жпость, 27. 1) При каком условии из тачки (х,, уо) можно провести к гиперболе дае разлитые касательные? Составить уравнение пары этих касательных. 2) При каком условии из точки(х, у,) к данной гиперболе можно провести только одну касательну!о) Составить ее уравнение. о 3 о о хо уо хо уо Отв. 1) — — <1, — — — ФО; а' Ьо ' аз Ьз ~ хо уз ~ 'го Уо ) ( хох у у у„л г 2) При условии — — — „, =О, причем хо и уо не равны кулю одновре.
аз о о 3 о хо Уо хо уо меняв, или при условии, что — — — =1. Если — — — 1, то уравнение ао Ьо ао Ьо хох уоу о Уо касательной имеет зид о — — =1, а если — — — =О, но хо и Уо неРавны а' Ьо ' ао Ьо нулю вдновременно, т. е. точка (хо, уо) лежит на асимптоте гиперболы, но не севнадает с ее центром, то уравнение касательной имеет внд ( ')- ~- '/ — —— "о ! х ( хо ! у 2хо 1.+ †/ .! !х1 — †/ — — — =0 (если точка (хо, уо) лежит на аснмптоте ио/а х аз/Ь а Ь у* а 28. ~ айти углы между касательными к гиперболе хз у' — — — =1, ао Ьо проведенными из точки (хо уо) х +у' — '+Ьа х у, Отв. с!йи,, о о ( 1. О) ао Ьз хо уо 2аЬ вЂ” + — +1 ат Ьо 29.
Доказать, что произведение отрезков, отсекаемых касательной к ги- перболе на ее асимптотах (считвя от пентра), равно квадрату расстояния от пентра до фокуса. 30. Вычислить площадь треугольника, образовапногс асимптотамн гипер- болы хо уз — — — =1 аз Ьо и произвольной касательной к ней. Отв.
аЬ. О 127. 1!РИМГРЫ И 3!Дл !И К ГЛЛВВ Ч!И 281 31. Доказать, '!та отрезок касательной к гиперболе а точке Мо, заключенныг огежДУ ее аснмптотами, гачкой Мо делнтсн пополам. 32. Вычислить плошадь параллелограмма, одна нз вершин которого есть точка гиперболы хо у2 — — — 1, а' бо а две стороны параллелограмма лежат иа аснмптотах. ! Ото.
— аэ ' 2 ЗЗ. Прн каком необходимом н достаточном условии касательные, проведенные из точки (х„ уо) к гиперболе Х2 у2 — — =! пз Ьз касаются различных ее ветвей? Хо !Во Отэ — — — < О. аз Ьо 34. Прн каком необходимом н достаточном условии точка (хоо уо) лежнев области, ограниченной одной из ветвей гиперболы хз уо — — — =-1 оз Ьо и двумя соответствующими лучани, выходящими из центра гиперболы и идущими по ее асимптотамг хо у' Ото. 0< — — — <1 о о ло Ь' Зб. Доказать, что софакусные эллипс и гипербола (т. е. эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы) пересекаются ортогонзльно. 36. Доказать, чта отрезок произвольной касательной к гиперболе, заключенный между двумя данными касательными к этой гиперболе, виден нз любого фокуса под прямым ! глон.
37. Доказать, что точки пересечения касательной к гиперболе с ее аснмптотами лежат на одной округкностн с фокусами. 38. Доказат!о что прямые, соеднняюп!ие какие-либо две фиксированные точки гиперболы с произвольной переменной точкой той же гиперболы, отсекакж на любой ее асимптате отрезок посгоянной длины. 39. Доказать, что две равносторонние гиперболы, аспмптоты одной нз которых являются осями симметрии другой, ортогональны.
40. Доказать, что сумма обратных величин отрезков, на которые фокус гиперболы делит проходящую через него хорду, постоянна. Доказать, что отношение произведения этих отрезков к дчнне хорды также постоянно. 41. При каком необходимом и достаточном условии прямая Ах+Ву+С=О !) касается параболы уо= 2рх; 2) пересекает параболу у =2рх; 3) не пересекает параболу. О!по. 1) В'р — 2АС=О; 2) В'р — 2АС > О, 3] Вор — 2АС < О. 42. Найти геометрическое место проекций фокуса параболы на касательные к ней.
Отэ. Касательная и параболе в ее вершине. 222 . * 45. НайгВВ геометрическое место точек, с«иматр«чпы. фокусу парабо:Вы относительно касательных к ней Оив, Директриса. 44. майт«геометрическое место точек, для каждой «з которых касатель ные, проведенные к параболе, «занчпо перпендикулярны, ГВтз Директриса 45. Доказать, что фокус параболы и точки при«ос«овепнв двух касательиьп к параболе, проведенных из побой точки директрисы, принадлежат одной прямой. 45.
Доказать, что отрезок произвольной касате.Вьпой к параболе, заьлючеиный между двумя фиксиронанным« касате.Вьиыми к ней, проектируется на ю:ректрясу в отрезок постоянной длины 47. Дотазатть что если точка перемещается по одной иэ касательных к параболе, то угол между прямой, соединяющей эту точку с фокусом, и второй касательной к параболе, проходяВцей через ту гке точку, сохраняет постоянную величину. 45. Пусгь М вЂ” точка пересечения касательных к параболе в точках Мт и Мз, з г †фок параболы. Доказать, что П МР =М,Р М,Р; 2 — =( — ')! . 2142р /МыМт2 МВР (,МВМ) 49. Доказать, что прямые, соединяющие основан«я перпендш:уларов, опущенных иа каждой то щи одной стороны треугольпика яа две трутне его стороны, касаются одной и той же параболы.
Фа<усом этой парабозь2 служит основание соответствующей высоты тре)гольпика. Дирек:р«сой является прямая, соедкняющая основания двух других высот, 50. Доказать, Вто сумма обратных величии отрезков, иа которые фокус параболы делит проходящую через него хорду, постоя«па. Доказать, что от. попеняв произведении длин этик отрезков к длине хорды также постоянно. 51. ФокВс эллипса проектируется в переменную точку М на переменную плоскость, проходящую через касательную к эллвпсу п образующую с плос.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
