1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 45
Текст из файла (страница 45)
костью эллипса постоянный угол, Доказат ь, что ОМ = сопя( (Π— центр эллипса), 52. Рассмотрилг семейство Сх линий «торого порядка: х' — 2у+ 72 (уз — 2х) О. Исследовать линию при условии, что Х принимает все действительные значения Вычислить ее полуоси и эксцентрнситет ОВлз. Сз — парабола; Сх при Х ) Π— эллипс (Сг — окружносзь), Сх при Х < О и «ю — 1-гипербола; С х — две пересекающиеся прямые. Если )ь Ю О, то коор. ! дипзты пептра )« †, Если )В Ф О, то уравнение преобразуется к пиду 1йз )з В (х-Х)з+ь ( у — —, ! 5) 11 Центр У ()ь, — ~; производя парадлельпый перенос осей ! х- — й у=р — —, )2 получим з !т7 пгиыгг!! ! злдзчи к Гвлнп ч!!! Хз 1 1,Уз Л -1-1 Волн О < 1! < 1, то фокаль нор осью является ось ! у, полуоси /'~з 1 1 / з,з.ь1 о = 1/ — < 1/ —.
за, экспентрнснтет е.=- З! 1 — з. В случае з > 1 а= 1/ з 1/ 1з - /1з-1-! . / аз+1 !рокальноГ! осью является ось 1Х. Полуоси о зг! — > з ' — Ь, ъ у/ х ./ 1 экспентриситет е 1/ 1 — —, В случае — 1<1!<О фекальная ось гиперболы 1. ' . /'1,з11 Г Хз+! С вЂ” ось П', полуоси! яейстнизельная а = з/ —, и!!нчая а= ь 1/ х экгнентрисятет е= !/1 — 1..
В случае 1. < — 1!окальная ось-о.ь !Х> полуоси а= з/ — Ь= т/ — —, зкспе!ыриснте! е= 1/! ! — —. гхлил !к ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ЗАДАННЫЕ КАНОНННЕСКИМИ УРАВНЕНИЯИИ ф 128. Эллипсоид Эллипсоидом назьгвается поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат, имеет вид (1) Будем считать, что а) брис, Если на эллипсоиде (1) лежит точка (х, у, г), то па нем лежат и точки (~х, ~ у, -Ь г) (с любым набором знаков плюс и минус). Отсюда следует, что для Рия 197 эллипсоида (1) начало координат 0 является его центром симметрии и называется це и т р о м эллипсоида; оси координат являются осями симметрии и называются г л а в н ы и и о с я м и; плоскости координат являются плоскостями симметрии и называются г ли в- ными плоскостями. в мв.
эл.пипсоид Если а > 6 > с, то эллипсоид (1) называется трсхосным Если а> 6=с, то эллипсоид (1) называется вытянутым эллипсоидом вращения; оп получается вращением эллипса к' Ив ав Ьв — + — =1 вокруг его большой оси (рис. 197). Если а=6 > с, то эллипсоид (1) называется сжатым эллнпсоидом вращения; он получается вращением эллипса к' кв —.+ — =1 см ев вокруг его малой оси (рис. 198). !'ис !98 Если а= 6= с, то эллипсоид (1) является сферой рплпусэ а с пептром в начале координат. Вершинами трехосного гллипсоида назмешолил точки пересечения эллипсоида с его глаенььяи осл,чи.
Трехосный эллипсоид имеет шесть вершин (гй а, О, О), (О, -~-6, О), (О. О, сй с). Из уравнения (1) следует, ~то (х((а, !р! < 6, !г! (с. Это означает, что эллипсоид (1) лежит внутри прямоугольного параллелепипеда с вершинами (гн а, -~-6, -'-, с). Каждая грань этого параллелепипеда имеет с эллипсоидом (1) только одну общую точку — его верпзину.
288 Глава !Х КХИОИИ'1ЕСКИГ \'РХВИЗИИЯ ПОВЗРХНОСТСЙ 11лоскост1, 201, пересекает элли,1со11д (1) ио линии, выраженной уравнениями Кв, ус 2" — —,'- — + — =1, а=О аа Ьв св или эквивалентной системой 22 дв — + — =1 г=О. аа Ь' (2) Аналогично плоскость уОг пересекает эллипсоид (1) по линии, уравнения которой уа 22 1, ; О, (3) С а плоско ть гОх по липин 22 22 ,+,=1, у=О.
ав с' (4) где Ь вЂ произвольн действительное число. Уравнения линии сечения имеют вид Хв ув 22 Ьв+ Ьв+ са или '„-'— '+ — "'=1 .=Ь 22 ув а2 Ьа са или Ха уа Ьа а' Ьа са ' +-=1 — —, г=Ь. Если ~Ь~ > с, то первому уравнению этой системы не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел х, у, т. е. система (5) не имеет действительных решений х, у, г.
Это означает, что плоскость г= Ь при (Ь ~ > с не пересекает эллипсоид (1). При Ь=-ь.с первое уравнение системы (5) имеет вид '-:-ОБ=О. Линии (2), (3), (4) суть эллипсы, Эти эллипсы, т. е. сечения эллипсоида (1) его главныь|г плоскостями, называются главными сечен н ями. Рассыотрила сечения эллнпсоида (1) плоскостями, параллельными какой-нибудь координатной плоскости, например плоскостями, параллельпымп плоскости хОу, т. е, плоскостями, выражаемыми уравнением х м8. эллипсоид откуда х = у = О. Таким образом, плоскости г = -~ с встречают эллипсоид (!) в сто вершинах (О, О, -~ с).
Наконец, если /Л / <с, то систему уравнений, выражающих зннию сечения, можно переписать так: или х~ ггх (а )х' ~ ~ ) ~ь ~хх ах)х Эти уравнения явлгоотся уравнениями эллипса, лежащего в плоскости сечения г = Ь; центр этого эллипса — точка (О, О, Л), оси симметрии параллельны осялг Ох и Од, а полуоси равны ~/1 —,— ",', Ь =Ь ~/~ — ' —",. Рис 199 Рассмотренные сечения дают представление о форме эллипсоида (рис.
199). Отметим, что эллипсоид (1) может быть получен иэ сферы Х'+У'+Лх =1, если произвести три равномерных сжатия: х=аХ, д=ЬУ, а сЯ 288 г л чье гх. клноннчсскнн тялвын!~ия повгмхностьв к трем попарно перпендикулярным плоскостям уОг, гОх и хОу, проходящим через центр этой сферы *. 9 129. Однополостный гиперболоид Рис. 200 ь Равномерное сжатие прострвнствл к плоскости определяется винлогично тому, квк было определено в 5 !05 равномерное сжатие плоскости к прямой фиксируем в пространстве плоскость П и фиксируем число я ,-е О. Пусть М— произвольная точка пространства, в Р— ее ортогональная проекния ив плоскость П. Постввим в соответствие точке М точку М', такую, что РМ' л РМ. Это соответствие и пвзыввется рввномерным сжатием пространства к плоскости П с коэффициентом сжатия, равным л, Однополостным гиперболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат имеет вид хв уз з (1) Будем считать, что а)Ь.
Так же как в предыдущем параграфе доказывается, что для однополостпого гиперболоида (1) на-. чало координат является центром симметрии (центр), оси координат — осями симметрии (главные оси), а координатные плоскости — плоскостями симметрии (г ла иные п лос к ост и). Если в уравнении (1) а=Ь, то одцополостпый гиперболоид ! ! (1) называется однополостным гиперболоидом вращения, так !о ! как может быть получен вра- щением гиперболы г х з м — — — =1 ов сь вокруг ее мнимой оси (рис.
200). Вершиналги однополостного гиперболоида называются точки пересечения гиперболоида с его главными осями. Гиперболоид (1) в случае а ть Ь имеет четыре всрщины (~ а, О, 0), (О, ~Ь, 0). Плоскость хОу пересекает однополостиый гиперболоид (1) по эллипсу, выражаемому уравнениями — ",-1-„— ", =1, г=О, г 130 лв" 11О,1ос1иыи !1гпггполои,1 291 Все зти сечения да!от представление о форме поверхности одно- полостного гиперболоида (рис. 201).
Всякий однополостный гиперболоид г' д' г' аг+ Ь сг можно получить из однополостного гиперболоида вращения Хг, Гг Лг г ь ' ь с производи равномерное сжатие Х= — „х, У=у, Л=г ь к плоскости уОг. Одпополостпый гиперболоид (1) можно получить из равносторонпего однополостпого гиперболоида вращения Х'+ 1" — Хг = 1, производя равномерные сжатия х = аХ, у = Ь)', г = СЯ соответственно к плоскостям уОг, гОх и хОу с ко" зффициентами сжатия, равными а, Ь, с. $130. Двуполостный гиперболоид Двуполое!пныл! гиперболоидом низываетря поверхносгпь, уравнение которой в некоторой специальна выбранной прямоугольной системе координат имеет вид Рис 201 Лг у' гг + Ь г аг Ьг вокруг ее действительной оси Ог (рис. 202). 1о" Начало координат является центром симметрии (центр) двуполостпого гиперболоида, оси координат — осями симметрии (г па в и ые оси), координатные плоскости — плоскостями симметрии (г ля нные плоскости), Если в уравнении (1) а=Ь, то двуполостный гиперболоид (1) называется двуполостным гиперболоидом вращения, так как может быть получен вращением гиперболы г' г' — — — = — 1 а' с' 222 Г л а с а ЛХ КАНОИИЧГСКИЬ УРЛЯИСНИЯ ИОВВРХНОСТВЙ Вершинами двуполостного гиперболоида называются точки его пересечения с главной осью Ог.
Лвуполостный гиперболоид (1) имеет две вершины (О, О, *с). Плоскости лОг и уОг пересекают двуполостный гиперболоид х' у' гх л а'+ Ьх с' по гиперболам хх — — —,= — 1 у Ои а с 2 у' — — — = — 1 х=О Ьх сх Сечение двуполостпого 1 нперболоида плоскостью г=й выражается У ~1лавпеннями х' у~ д' ь' а' ' Ь' сх Если ~п! ( с, то первое уравнение пе имеет действительных решений †плоскос г = и пе пересекает поверхности.
Если й=-се, то хх ул —,+ — =О, ь' Рис 202 откуда х=у=О, плоскости г=-~с встречают поверхность двуполостного гиперболоида в его вершинах (О, О, -~-с). Если ~й!> с, то уравнения липни сечения можно переписать в виде сг аз (а уллл ~; — !) (Ь л)лл ~ —, — !) Этими уравнениями выражается эллипс с полуосями /" ух а'=а )à — — 1, с центром в точке (О, О, 6) и осями, соответственно параллельными осям Ох и Оу. Плоскость х=й пересекает поверхность двуполостпого гиперболоида по линии, выражаемой уравнениями ах ул хл х=й, а' ' 6' с' у!31. КОНУС ВУОРОГО ПОРЯДКА илн г' уг (' у' '+РГ(' у' ' '.') т, е.
по гиперболе с центрол! в точке (!1, О, О), лежащей в плоскости х=п. Действительная ось этой гиперболы параллельна оси Ог, мнимая — оси Оу. Аналогично исследуются ссчения поверхности плоскостями у = й (рис. 203). Двуполостный гиперболоид хг у' гг — + — — — = — 1 ьг Ьг сг можно получить аффинным сжатием Х= — х, )х=у, Е=г Ь ь к плоскости уОг двуполостного гипербо. ланда вращения Х ул г Ь'+ Ь' сг или из равностороннего двуполостного гиперболоида вращения Х+У' — г = — 1 тремя сжатиями х=аХ, у И', а=се.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
