1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 43
Текст из файла (страница 43)
19б). Рис. 196 Сферы, касающиеся конической поверхности и секущей плоскости, называются шарами Данделена. $127. Примеры и задачи к главе ЧШ 1. Задачи с решениями Пример 1. Составить уравнения касательных к эллипсу х' рэ — + — =1, 32 18 проведенных иэ точки А (12, -3). Р е ш е н н е. Уравнение касательной к эллипсу хх рэ — + — =1 ах Ех имеет внд — + — =1, хах рэр ах Ьэ гае (хэ, дэ) — точка касания. Уравнение касательной к данному эллипсу будет иметь вид хох рау — + — 1. 32 18 4177 ПРИМЕРЫ И Эддда!И К ГЛАВЕ ЧП! 273 Так как касательная проходит через точку А (12, — 3), то координаты точки А должны удовлетворять этому уравнению; подставляя в последнее ,равнение вместо х и у координаты точки А, получич — — — = 1, или 9х — 4У 24.
12хо Зуа 32 18 о о !1) Но точка прикосновения (х„да) лежит ив данном эллипсе, поэтому хо уо — + — =1 32 18 (2) Решая систему уравнений (1) и (2), находим два решения 4 21 х=4, У=В, х= —, уз= — —. а= ' а ' о=5 о= 5 Искомых касательных две, их уравнения получим, подставляя в уравнение — + — =1 хо" уоу 32 4 21 вместо хо и уа один раз 4 н 3, другой раз — н — — 1 5 5 4 21 4х Зу 5 5 " — + — =1, — — — =1, 32 !8 ' 32 !8 Зх+4у — 24=0, Зх — 2ВУ вЂ” 120=0.
Пример 2. Составить уравнение гиперболы, асимптотами которой явлнются прямые у ш2х и которая проходит через точку А (1, 3). Р е ш е н и е. Биссектрисы угла между зсимптотами гиперболы являютсн осями гиперболы. Но биссектрисами углов между данными прямыми служат оси координат. Значит, осями гиперболы служат оси координат и потому ее уравнение можно записать в виде х' уа — — =1, о' Ь' (1) если действительная ось совпадает с осью Ох, и в виде х' уа — — — = — 1, о' Ь' (2) Ь Ьа — =2, или — =4.
(4) а на если действительная ось совпадает с осью Оу. Так как мы не знаем, какой из этих случаев имеет место в данной задаче, то необходимо исследовать обе возможности. Предположим сначала, что уравнение гиперболы имеет внд (1), тогда из условия прохождения гиперболы (!) через данную точку (1, 3) имеем ! 9 — — — ! аа Ьа (3) Ь Так как угловой коэффициент одной из асимптот гиперболы (1) равен —, то в нашем случае 274 лзаза нш, кдноничгпкин нплвмгнин линии Решая совместно систему уравнений 13) и (4) относнтельно ах и Ьз, пакодич о аа= — — '<О, Ьт= — 5СО, 4 что невозмозгсно. Таким о'разом, ие существует гиперболы, дсйствительпои' осью ноторой является ось Ох и которая удовлетворяет условиям задачи. Возьмем теперь искомое уравнение в виде (2), Подставляя в это уравнение вместо к и у коордниазы точки 4, получим 1 9 — — — = — 1 а" Ьз и, кроме гого, по-прсшисму Ь вЂ” =2, нли и Решая теперь эту систему, находим дх 4 ' Ь 4, ах Ьз Ъ и искомое уравнение хх д — — — 1.
5 б 4 Пример 3. Через точку А (2, 1) провести такую хорду параболы дз 4х, которая делилась бы в данной точке пополам. Решен ив. Пусть д=дх+ Ь вЂ” уравнение искомой хорды. Прдинаты у, и уз точки пересечения этой прямой с данной параболой определяются из уравйеггия у — Ь уз 4 —, й Откуда следует, что 4 Ух+Уз й ° Но х — — ордипата середины хорды, и эта ордипата дол>хна быть равна 2 2 ординате данной точки. Таким образом, — 1, откуда Л 2 н искомое урав- Ф пенне уравнение эллипса Возымев уравнение касательной к нему в произвольной точке (хо Уо): хзх +Узд 1 Находим расстояния от фокусов Ех ( — с, 0) и Р,(с, О) до этой касательной 1-:-"-'! Г ';„' аа тйр у — 1=2(к — 2), или 2х-у — 3=0, Пример 4. Доказать, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к пену равно квадрату малой полуоси.
Доказательство. Пусть хх уз — + — 1 аз Ьз 4 !эт ппимГРы и зхдл44и к Гляни ч!г! Отсюда с ах 4 а 1(аа — Ьа) ха ~ ха Ьгх' а 1 ха а а4 а' аа ' аа 44(а— ха уа а а — +— аа Ьа 4 х, 4 4 Ьа а 4 Ча — +— а4 Ь4 4 х, и„' — +— а4 Ьа 4 Ьэ — Ь ха 84 ха Уа — +— о! Ьа — '+ — ' и' Ьа 4 4 ра — +— а' Ь' Пример 6. Фокус липни второго порядка находится в точке Р (3, О), директрисой, соответствующей этому фокусу, являешься прямая х= !2. Определить вид липин и состапить ее уравнение, зная, что опа проходит через точку А (7, 3). Р е ш си и е. Расстояние от точки А до ~очки Р равно АР= )г (7 — 3)4.';(3 — О)' б.
Расстоявие от точки А(7, 3) до директрисы раино 4(а=! 7 — !2! б. Так как АР 4(а, то эксцентриситет линии равен 1 и, значит, искомая ливня парабола Пусть М (х, р)-произвольная точка этой параболы, Тогда 44-4'и:аята а расстояние от точки М до директрисы х — !2 0 равно 4(=(х — 12~ Отсюда Ах(У 8, $' 8), Аа( — р8, — У8). Длину действительной полуоси гиперболы найдем как расстояние от центра гиперболы до ее вершины, а 4. Твк как эксцентриситет равносторонагей гиперболы е: — )/ 2, то с а)г 2 *4г'2.
а Ти! квк фокусы лежат иа действительной оси гипсрболы, совпадающей с бнссект. рисой первого н третьего коордиааю4ых углов, я отстоят от центра гиперболы па расстоянии с=4 Р 2, тв координаты бок)сов гх(4, 4), гя( — 4, 4). Расстояние от центра до директрисы а' 1б 4( — —.==2 Р 2, 4 У'2= 4 à — т!4'.44 )*-124 4 414* — !44-4. Пример 6. Найти фокусы п директрисы равносторонней гиперболы хр 8. Р е ш е и и е. Действительной осью данной гиперболы является биссектриса первого и третьего координатных у.глав. Решая ее уравнение р=х совместно с уравнением гиперболы хр 6, найдем вершины гиперболы 276 Г л а за Ч2!А КАНОНИЧЕСКИЕ УРАПНЕНИЯ ЛИНИИ поэта„т координаты точки пересечения директрисы с дейстзительиои осью Рй(2, 2) н Рй( — 2, — 2). Так как директрисы перпендикулярны действительной осп гиперболы, а угловой коэффициент последней равен 1, то угловой коэффициент директрисы равен — 1, поэтому уравнения директрис будут: у — 2=- — (х — 2), или х+у — 4=0, у+2= — (х+2), или х+у+4=0.
Пример Т. Найти точки эллипса х' уй 2+ 2 ай а' в которых нормаль к эллнпсу наиболее удалена от его центра. Найти это наибольшее расстояние. Р е ш е и и с. Пусть (х,, уо) — искомая точка, Уравнение нормали к данному вллипсу в этой точке имеет вид — — (х — хо) + — (у — уо) = — О, Уа хо Эй ай или уо хо — — х-(- — у-(-( — — — ) х у =0 бй ай ( бй а2) о о й или — х+ — У+ — «оУо Уо хо бй а' ай ба Расстояние с( от центра данного вллипса до этой нормали равно хо уо — '+ — ' ай бй Подставим сюда выражения для хо и уо через эксцентрический угол !р точка (хо уо) данного эллипса! хо асов!р, уй=был!у; получим сй — ( 21п !р сов йр( аб с') з!и ф соз ф ( йоо !' наготу~'- о' — +— Ьй а' В силу того что эллипс симметричен относительно своих осей, можно п ! ойраннчнться рассмотрением значений !р нз интервала (О, — ) .
В таком 2) ' 277 й!зт ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ Ч1П случае сз аз — Ь' — — = — = а — Ь. о+Ь о+Ь Решая уравнение а 12 1р — Ь с1и 1р = О, находим 1Я ф= —, (уф==(О<ф< — ). )7 „(, 27'' следовательно, Ь' ь 3!и 1Р= —.— ° )7 а+Ь СОЗ1Р= )' а )ха+Ь' Искомая точка (для 0 < ф < — ) имеет 27 а~ а =р о+Ь' Всего нскомых точек четыре: координаты ь ь уз= = ° )' а+Ь 2. Задачи для самостоятельного решения 1. Составить уравнение семейства всех эллипсов, имеющих одни и те гке фокусы гх( — с, О) и гз(с, О) хз уз Отв — + — = !. а' а' — с' 2. Составить уравнения касательных к эллипсу хз уз 25 !6 — +-=1, прохолящих через точку (10,4).
Отв у=4, 1бх — !бу — !00=0 3. При каком необходимом и достаточном условии прямая 7(х+ ну+С 0 1) касается эллипса хз у' — + — 1, аз 6з )' азюп' 1р ф Ь' соз' 1р р' аеюсз1р + Ьзсозесзф сз 67 а'(1)-1изф)+ Ьз(! 4-с1ахф) ргиз-р Ь'-'; аз (уз ср-1-Ьз с(из 1р сз )' ах+ Ьз+2аь+(а(0 ф — Ь с(д ф)з Отсюда следует, что Д будет Нанбольшим, если а1я ф — ьс1яф=О, и это наибольшее значение о' равно 278 Раааа Пт?8 Кдноыычнскнп трднпнння Лнынй 2) пересекает эллипс, 3) пе пересекает его? Ота !) А'а' А- В'Ьз — Са = 0; 2) Азат+ ВзЬз — Сг > 0; 3) А 'а'+ В'Ьз — Са < 0 4, Локазатгп что касательные к эллипсу отсекают на двух касательных к нему, проведенных в копнах большей оси, отрезки, произведение которых равно квадрату малой полуоси элляпса, 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
