1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Пусть М вЂ” произвольная точка плоскости, Проведем через точку М прямую еп, перпендикулярную прямой 1; обозначим через Р точку пересечения прямых 1 и я. Поставим в соответствие точке М точку М', такую, что РМ'=л РМ (такая точка М' существует и притом только одна). Заметим, что если я ) О, то точки М и М' лежат по одну сторону от прямой 1, а если А (О, то — по разные. Рассмотрим преобразование точек плосРис.
155 кости, при котором точке М ставится в соот- ветствие точка М' (рис. !55). Это преобразование называется равномерным сжатием плоскости к прямой 1, число и — коэффициентом сжатия. Точка М' называется образом точки М, а точка М вЂ” прообразом точки М' при рассматриваемом преобразовании. Если прямую 1 ориентировать и принять ее за ось Ох де- картовой прямоугольной системы координат, то координаты обра- $ !Ов, эллипс клк Овика О!(Ружности за М'(х', у') через координаты прообраза М(х, у) будут выражаться соотношениями (рис. 155) у' =яу, х' =х (на рио, 155 й выбрано равным й! ) .
(1) Заметим, что если !)г~ > 1, то фактически происходит растяжение плоскости от прямой 1; однако и в случае ~ й ~ > 1 это преобразование будем называть сжатием (с коэффициентом сжатия, таким, что !)г! > 1) При сжатии плоскости к прямой 1 каждая точка М прямой 1 совпадает с ее образом М'. То же обстоятельство, но уже для вссх точек плоскости имеет место, если 7г=!. Если !г= — 1, то имеем симметрию относительно прямой 1.
Подробно о преобразованиях плоскости и пространства см. гл ХП1 и Х1Ч. Рис. !67 Рис. !66 Теорема. При равномерном сжатии плоскости к диаметру окружности образом окружности является эллипс. Обратно, каждь!й эллипс может быть по(11чен как образ окруж. ности при равномернон сжапгии плоскости ( диалгетру этой окружности. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим окружность Х'+ У'= а' (2) радиуса а с центром в начале координат. Произведем равномерное сжатие плоскости к оси Ох с коэффициентом сжатия О< 7г (1. Пусть прн этом сжатии образом точки (О, а) будет точка (О, Ь) (рис, 157); тогда о=на и коэрфициент й сжатия выразится в виде А= — „.
в (З) 240 Раааа Узы. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ Таким образом, формулы (1) принимают вид ь х=Х, у= — У', а (4) откуда Х=х, г'=.— ау ь и, значит, координаты любой точки (х, у), являющейся образом точки окружности Х'+ 1'=а', удовлетворяют уравнению х'+ — у'= 1 ь ха ЕР— + — =1. ь1 (б) Обратно, если координаты х и у удовлетворяют уравнению вида (5), то координать| а Х =х, 1'= — у ь $ !06. Параметрические уравнения эллипса Пусть дан эллипс каноническим уравнением кй 92 — + — =- 1.
а~ ь~ Рассмотрим окружность Х'+ у"' = а', (2) которая переходит в данный эллипс в результате сжатия х=Х, у= — 1'. ь а Пусть М (х, у) — произвольная точка данного эллипса, Р (Х, 1')— ее прообраз на окружности (2). Обозначим через ср угол от положительного направления оси Ох до луча ОР. Тогда Х =асов р. 1'=ав1п ~р и, следоватгльео, ь ь х г о сов <р, у = — )' = — а в!п ~р = Ь в1п ср.
а а удовлетворяют уравнению (2), т. е. произвольный эллипс (5) яв- ляется образом окружности при равномерном сжатии плоскости к диаметру окружности. 5 107. ПОСТРОЕНИЯ ЭЛЛИПСА ПО ТОЧКАМ 24! Уравнения х = а соя 0р, у = Ь я!и гр и являются параметрическими уравнениями эллипса.
Параметр 0р называется эксцентрическим углом точки эллипса. Если задана точка М эллипса, то для нахождения 0р надо построить окружность па большей оси эллипса как па диаметре и через точку М провести прямую, параллельную малой осн эллипса. Точка Р (Х,У') пересечения этой прямой о окружностью, лежащая по ту же сторону от большей оси эллипса, что и точка М, является прообразом точки М (х, у) при равномерном сжатии (3); угол от оси Ох до луча ОР и является эксцентрическим углом гр, соответствующим взятой точке М на эллипсе (рис. !58): 0р=(Ох, ОР). Рис, 158 й 107. Построение эллипса по точкам Построим две окружности с центром в начале координат, радиусы которых а и Ь равны соответственно большой и малой полуосям эллипса. Проведем из начала координат произвольный луч, пересекающий эти окружности соответственно в точках А и В.
Проведем через точку А прямую, перпендикулярну1о оси Ох, а через точку  — прямую, перпендикулярную оси Оу. Пусть М— точка пересечения этих прямых. Тогда точка М лежит на эллипсе с полуосями а и Ь, для которого оси координат являются осями симметрии. В самом деле, координаты точки А асоя0р, ая!П~р, а координаты точки В Ьсоя ~р, Ья!Пгр. Так как точка М лежит на прямой, проходящей через точку А перпендикулярно оси Ох, то точки А и М имеют одинаковые абсциссы, а так как точка М лежит на прямой, проходящей через точку В перпендикулярно оси Оу, то точки М и В имеют одинаковые ординаты, поэтому абсцисса точки М равна х=асоя~р, 242 Гхаиа 1ПЬ КЛНОНИЧЕСКНЕ ГЕЛВНЕННя Лниня а ордината у=бе!и Р.
Следовательно, точка М лежит на эллипсе хи аа а + а' Ьх Проводя через точку О различные лучи, мы указанным путем построим сколько угодно точек эллипса 1ряс. 159). Рис 159 Рис. 160 й 108. Вычерчивание эллипса непрерывным движением Пусть отрезок АВ постоянной длины скользит своими копнами А н В по двум взаимно перпендикулярным прямым. Примем этн прямые за оси декартовой прямоугольной системы координат (р11с.
160). Фиксируем на движущейся прямой АВ произвольную точку М1х, у), отличную от точек А и В, Докажем, что точка М при указанном скольжении отрезка АВ опишет эллипс х' уи — + — =1, аи а' где а= АМ, а=ВМ. В самом деле, х = коорд. пр о АМ, у = коорд. пр. „ВМ. Если векторы АМ и ВМ имеют одинаковое направление, то, полагая 10х, АМ) = у, будем иметь (теорема 4 2 11) х=асозгр, у=э сов 1 р — — 1 = бз1п ~р.
21 Ь Ми ЭЛЛИПС КАК ПРОЕКЦИЯ ОКРУЖНОС! И 2кз Если же векторы АМ и ВМ имеют противоположное направление, то, полагая (АМ, Ох) = ~р, будем иметь (Ох,АМ)= — (АМ, Ох) = — ~р, (Оу, ВМ)=(Оу, Ох)+(Ох, АМ)+(АМ, ВМ)= = — — — кр+и= — -<р 2 '" 2 и, значит, по-прежнему х = а соз гр, у = Ь соз 1 — — гр1 = Ь з)п ~р, ~ 2 В обоих случаях ~р изменяется от 0 до 2ги значит„точка М(асов, Ьв!п гр) описывает эллипс кк у' — + — =1 а ь целиком, На указанном принципе основан прибор, называемый эллиптическим циркулем. В металлической доске сделаны два прореза под прямым углом.
В этих прорезах ходят ползуны, к которым прикреплена шарннрамн А и В линейка АВ. На линейке в любом ее месте при помощи муфты М может быть закреплен Рис. 16! карандаш. Из предыдуших рассуждений следует, что при непрерывном движении линейки острие карандаша опишет эллипс (рис. 1б1). 2 109. Эллипс как ортогональная проекция окружности Пусть в плоскости а дан эллипс с полуосями а и Ь; его можно рассматривать как образ окружности С при равномерном сжатии плоскости а к ее диаметру с коэффициентом сжатия )и= —. Проь а ведем через ббльшую ось элли пса плоскость (), наклоненную к плоскости а под углом ы, таким, что ь сова=в =а В н построим в плоскости р на большей оси эллипса как на диаметре окружность Са (рис.
1б2). Тогда данный эллипс является Г и а в а 1'111. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИННИ 244 ортогональной проекцией построенной окружности С* на плоскость а. В самом деле, пусть вт' — произвольная точка окружности С , а М вЂ” ее ортогональная проекция иа плоскость с1, Докажем, что точка М лежит на данном эл- С липсе. Опустим из точки Р В перпендикуляр ЙЯ на ббльшую д ось эллипса и соединим точку Я с точкой М.
Прямая ЯМ также будет перпендикулярна АВ (на основании теоремы о трех перпендикулярах). Таким образом, угол МЯ11с' является М линейным углом двугранного угла между плоскостями а и р, а потому ЯМ = ЯЯ соз вз = ЯЯ вЂ”, ь вв ' Рис. !62 откуда ом ь ф~ а' Продолжим луч ЯМ за точку М до встречи с окружностью С в точке Р. Так как ЯК=ЯР и направленные отрезки ЯМ и КР направлены в одну сторону, то Ол~ ь 0Р— в 1 в и, следовательно, точка М лежит на эллипсе, Обратно, пусть точка М лежит на рассматриваемом эллипсе, т.
е. АМ Ь 1'1 и а Обозначим через Я точку плоскости р, проекцией которой является точка М. Тогда ЯВ1 АВ, а потому мд ь — =созсо=— ЯВ1 а Итак, ЬЯ ~',М Р~ ' откуда и, значит, точка вт' лежит на окружности С*. ь !!о касдтельнйи к эл.1ипсу 245 Аналогичными рассуждениями можно доказать, что всякий эллипс можно спроектировать ортогонально в окружность; для этого надо в качестве плоскости проекции взять плоскость, проходящую через малую ось эллипса и наклоненную к плоскости, в которой лежит эллипс, под углом оз, таким. что (рнс. 163) Ь созсо= — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
