1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Найти то ~ку, симметричиуго точке (2, 7, 1) относительно плоскости х — 4 у+ г+ 7 = О. Отв. (4, — 1, 3). 10. Найти точку, симметричную точке (4, 3, 10) относительно прямой х — ! (г — 2 г — 3 2 4 о Отв. (2, 9, 6). 11. Даны две вершины треугольника А ( — 4, — 1,2) и В(3, 5, — 16). Найти третью вершину С, зная, что середина стороны АС де>кит на оси Оу, а середина стороны ВС вЂ” на плоскости хОг.
Отв, С(4, — 5, — 2). $4з, приз!апы и 3 "дАчи к Гллпп н! 12. Вычислить объем АВСО ориентированного тетраэдра АВСО, грани которого заданы уравнениями А„х+ В,у+С,г+ 0!=0 Лах Г ВзУ+ Сзг+ О, = 0 71 эх + Взу+ Сзг -Г Оз = 0 Лзх+ Взу+ Сзг+ О, 0 6 !А! В! С! ~А ВзС '1з Ва Сз Ла Ва Са! А! В! С! Лз Вз Сз А! Ва Са! А„Вз Сз Аг Вз Са 13. Ланы четыРе точки А (ха, Уо г,), В (ха, Уг, гз), С(хт, Уз, 24) и 0(х4 уз, гз), пе принадлежащае одной плоскости. Как определит~ положение точии М (х, у, 2) относительно тетраэдра АВСО? Решен не. Пусть а ориентироаанном пространстне задан ориентированный невырождепный тетраэдр АВСО. Пусть М вЂ” произвольная точка пространства. Числа СВОМ АСОМ ВЛОМ АВСМ а= —, (3 =, у= —, В=в АВСО АВСО АВСО АВСО называются барицентрическинн коордипатаии точки Л1 относительно тетраэдра АВСО. Если точка М лежит внутри тетраэдра АВСО, то все тетраэдры СВОМ, АСОА1, ВАОМ, ЛВСМ и ЛВСО ицеют одинаковую ориентацию и, значит, все числа СВОМ, АСОМ, ВАОМ, АВСМ, АВСО одного знака, следовательно, ж> О, () > О, у > О, 6 > О.
При переходе точки М через одну из плоскостей граней тетраэдра ЛВСО соотзетстаующая барицентрнческая координата меняет знак. Рели точка М находится н плоспостн одной из граней тетраэдра АВСО, то соотнетствующая барицеитрическая,оорднната равна нул!о. Если точки А, В, С, О, М заданы сзоимн координата ми А (74, ут, г!), В (хз, у,, гз), С(хз, уз, гз), 0 (х„уз, гз), М (х, у, 2) ою!осительио аффинной систенй координат в пространстве, то хз Уз гз 1 х,у,2,1 хз у, гз 1 х у г 1 х! у! г! 1 ха у, 2, 1 хз уз гз ! Х4 уз 24 1 (СВО), (АСО) (ВА О), (А ВС) А, В! Сз 04 з А,ВаС,Оз Аз Вз Сз 04 А4 В.
С, О, х! У, 7, ! хз Уз гз ! хз уа г„ 1 х у 2 1 Х! у! 2! 1 ха Уз 7, 1 хз Уз гз 1 Хз уз 24 1 212 глава кг. Олоскость и пппыхя п пногтрлнствн 6 х,у,г,! х, уз гз 1 хз у, гз 1 х у г 1 ! хз уз х, у, х, уз х у х,у,г,1 гз уз г, ! "з уз га 1 х,у,г„1 х, уг х уз хз уз х, у„ г, гз ! гз 1 г, 1 Знал знаки я, р, у, Ь, можно определить положение точки М (х, у, г) относительно тетраэдра АВС0. Пусть, например, а> О, Ь > О, у < О, Ь < О. Тогда точка М лежит в области, ограниченной продолжениями граней САВ н 0АВ за ребро АВ и продолжениями граней 0СА и 0ВС за вершины А и В.
Если, например, сс< О, (1=0, у > О, б < О, то точка М лежит в плоскости АС0 внутри угла, вертикального углу АС0 Точка М может занимать 65 различных положений относительно плоскостей, в которых расположены грани тетраэдра АВС0, н прямых, по которым пересекаются эти плоскости Каждому такому положению тачки М будет соответствовать своя кочбг!нация знаков для а, Ь, у, Ь. 14. Относительно обшей декартовой системы координат даны вершины А (хм у,, г,), В(хм у,, гз), С(хз, ум г,) н 0(хм у„г,) невырожденного тетравдра АВС0.
Пусть м, Ь, у, б — барицеитрические координаты точки М относительно тетраэдра АВС0. доказать, что декартовы координаты точки М выражаются формуламн: х ссхз+ Вяз+ух,+бх,, У ='"Уг+ Руз+ Туз+ буз П) г = от, +))ъ, -1- уг + бг . Обратно, если сс+Ь+у+6=1, то точка М, декартовы координаты которой выражаются формулами (1), имеет барицснтрпческие координаты и, (), у, 6.
16. В вершинах А, В, С, 0 невырожденнога тетраэдра помещены массы, соответстненно равные тг, т,, т,, т,. Найти барицентрнческие координаты центра тяжести этой системы материальных точек относительно тетраэдра АВС0. т, тз Олм. сс= т,+т,+тз+т, тг+тз+та+та тз тз у 6 тз+тз+та+та ' тг+тз+тз+та Отсюда гх. Ь: Ьп Ь = т,: т,: т з: т,. 16.,Относительно невырожденного ориентвровзнного тетраэдра АВС0, лежащего в ориентированном пространстве, даны четыре точки Р (сгг, ()и ух, 6„), Ю(ссз ))з уз Ьз) Р(мз Ьз уз, бз) и 5(сзз, бз, у,, 6,) своими барицентрическими координатами. Найти РЯВЗ АВС0 Найти, в частности, необходимое и достаточное условие принадлежности четы- рех точек Р, О, В, 5 одвой плоскости.
4 95. ПРИМЕРЫ И ЗЛДЛЧИ К ГЛЛВЕ 4«4 Оп«в. мг а«4 уз бт ~ па ))а уа ба~ оа ()з уз бз~ оа ()4 уа б .В у б Ьу.б сзз Вз Уз бз с«4 Ра у4 б4 АВСР сз= — ~ А,х+ ВзУ+ Сзг+ 04), б, б б = — (А,х+ В,у+ Сзг+ Ра), б, б б, У= — (Аах+Взу+ Сзг+Рз), б б, б= — 4 (Аах+ В«у+ Саг-~-Ра) А В, С и В С Р В С Р Ва Са Ра )Аа Вз Сз) ~А4 Вз Ст) 1Аз Вз Сз( )А, В, С ) бз= Аа Ва Сз ° бз= Аз Вз Сз бз= Аа Вз С,, ба= А, Ва С, А4 Ва Са Аа Ва Са Аа Ва Са Аз Вз Сз 17. Относительно об«ней декартовой системы координат даны три точки А(хм ум гг) В(хм ум гай С(хз, у«, гз), не лежащие в одной плоскости с на- чалом координат. Лана еаце точка М(х, у, г), не совпадающая с началом координат. При каком необходимом и достаточном условии прямая ОМ пере- секает плоскость треугольника АВС в его внутренней точке? (х у г (х у г ~ х у г Омв. Числа х, Уз гз, ~хз Уз гз~, х, У, гз~ одного анака.
ха Уз гз ха У, га хз Уа гз( 18. Вычислить барлпентрические координаты «х, р, у, б точки М 4Х, У, аг относительно гетравдра АВСР, грани которого заданы уравнениями Азх+В«у+Стг-(-Р4=О, [ВСО), Азх+Взу+Сзг — ', Ра — — О, (АСР), А ах+ В ау+ С«г+ Рз = О, (А ВР), Аах+ Вар+ Саг+ Р4 = О, (АВС), глава чп ПРЕОВРАЗОНАННЕ ДЕКАРТОВОЙ СНСТЕНЫ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ Н Н НРОСТРАНС11НЕ $ 96. Перенос декартовой системы координат Рассмотрим на плоскости две общие декартовы системы координат хОУ и х'0'у', имеющие соответственно одинаковые масштабные .векторы (рис.
139). В таком случае говорят, что одна из этих систем получена переносом другой. Систему хОУ будем называть старой, у а систему х'0'у' — новой. Обозначим через х„ у, коордиег наты нового начала 0' в старой системе. ег Рассмотрим проекцию 0' точки ~Ю 0' 0 на ось Ох параллельно оси Оу и ег ег введем промежуточную систему ко- ординат х'О'у", полученную перепо- ег е~ сом системы хОУ, при котором точ- О уе ~х ка 0 переходит в точку 0'. Точка 0' в системе хОУ имеет координаты х„ Ряс. (39 О, а точка О' в системе х*О'у* имеет координаты О, у,. Пусть М вЂ” произвольная точка плоскости; х, у — координатна точки М в системе хОУ; х', у' — координаты точки М в системе х"О*у', х', у' — координаты точки М в системе х'Оу', На основании ~ б имеем х=х'+х,, У*=У и аналогично, рассматривая переход от системы х'0'у* к системе х'О'у', будем иметь х =х у =у +ус. Таким образом, окончательно х=х'+ха, У=У' т Уа~ Е ек пегвпос двклятовон систвмы коогдинлт т, е.
старые координаты х, у точки М соответственно равны суммал~ новых координат х', у' етой точки М с соответствующил~и координатами х„уе новего начала координао1 в старой системе. Для двух общих декартовых систем координат Охуг и О'х'у'г', полученных одна из дру~ой переносом, т. е. имеющих соответственно одинаковые масштабные векторы в„в„е, (рис. 140), имеют место формулы х=х' с хе у=у г.уе, г=г'+г, (2) где х, у, г — координаты любой точки М в системе Охуг; х', д', г'— координаты точки М в системе О'х'у'г'1 х„у„г,— координаты точки 0' в системе Охуг.
Ряс. В самом деле, пусть 0'(х„у,, О) — проекпия точки 0' иа плоскость хОу параллельно оси Ог. Рассмотрим систему координат О*х"у'г*„полученную переносом системы Охуг. Тогда х = х'+ х„у = у'+ у„г = г*. В системе 0'х*у"г' точка 0' имеет координаты О, О, г,. Следовательно, х'=х', у'=у', г'=г'+г,. Отсюда и из предыдущих соотпогпсний получаем формулы (2). Формулы (1) и (2) называют формулами переноса системы координат. Так как координаты вектора АВ, заданного двумя точками А (х„д„г,) и В(х„д„г,), равны х,— х„уе — у,, г,— г„то из формул (1) и (2) Следует, что при переносе общей декартовой системы координат, координаты вектора ие меняются.
21е г ~ а ва иы, пиеовилзовлние деклгтовоп системы коогдинлт 5 97. Преобразование общей декартовой системы координат на плоскости Рассмотрим на плоскости две общие декартовы системы координат хОу и х'Оу', имеющие общее начало координат О. Пусть ч системс хОи масштабные векторы осей Ох и Оу будут соответстх веино е, и е„а в системс х'Оу' масштабные векторы осей Ох' и Оу' бу- Ф дут е, и е., (рис. 141). Рассмотрим произвольную точку 1И плоскости; пусть х и у — ее координаты О, в системе хОу, а х' и у' — в системе ег | х Оу', Обозначим, наконец, через г радиус-всктор точки М, т. е.
положим е,' ег ОЛ4 = г. У' Разлагая радиус-вектор г точки М по векторам е, и е„ а также по векторам е, и е„ будем иметь х! Рис. 141 г=хе,+уе,=-х'е,+у'е,, (1) Разложим векторы е, и е, по векторам е, и е,: е', =а„е,+а„е„ е,'=а„е, +а„е, (2) Подставляя в соотношение (1) вместо е, и е, их выражения из формул (2), получим г=х'е, +у'е,=х'(а;,е,+а„е,)+у'(а„е,+а„е,) = = (а„х'+ а„у') ел+ (а„х'+ а„у') е,.
' С другой стороны, г=хе,+уе,. Отсюда и из предыдущего разложения г по векторам ел и е, в силу единственности разложения вектора по базису находим х=а„х'+а, у', и у=а„х +аыу, Матрица называется матрицей перехода от системы хОу к системе х'Оу'. Числа, расположенные в ее первом са1олбце, являются координатами вектора е, оси Ох' в системе хОу (или в базисе е,, е,), а чис- «ек ПГЕОГГХЗОВ4оиа ДЕКХГ«ОВОП СИС«ГМЫ КООглиизт ЗЫ ла, расположенные во втором столбце,— координатами вектора е, в системе «Оу (или в базисе е,, Е,). Так как векторы е, и е, пеколлинсарны, то Л= '" " ныл, а,„а ! (4) а„ас„~ т. е, матрица Л вЂ” невырожденная. Обратно, если (4) — любая цевырожденная матрица и па плоскости введена общая декартова система координат хОу„то, рассматривая векторы е, и е„опредсляемые формулами (2), можно утверждать, что эти векторы неколлипеарпы, и иптерпрети- 0! ровать соотношения (3) как формулы, связывающие координаты х, у произвольной точки М х' плоскости в системе хОу с координатами х', у' той же точки еа , ез М в системе х'Оу' с тем жс 0 е~ началом коордннат и масштабными векторами е, и е, осей Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
