1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Найти проекпию точки (1, 2, 5) на плоскость 2х+у — г=О. Решен не. Уравнения прямоЛ, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости, будут х — 1 у — 2 2 1 — 1' нли в параметрической форме: х= 1+ 20 у=2+1, а=5 — С Подставляя это в уравнение данной плоскости. получим 2 (1+21)+2+! — 5+1=0, Координаты проекпии: 1 4 х=1+ — = —, 3 3 ' 1 13 „1 29 у=2+ — = —, г=5 — — =- 6 б ' Решение.
Направляющий вектор (3, 4, 1~ данной прямой служит нормальным вектором плоскости, поэтому уравнение плоскости будет Зх+ 4у+ г = О. Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (3, 1, 1) и перпендикулярной плоскостям Зх — у+2г+4=0, х+2у — г+5=0 Решение Так как векторы (3, — 1,2~ и(1,2, — 1» перпендикулярны соответственно первой и второй из данных плоскостей, а искомая пдоскость должна быть перпендикулярна данным плоскостям, то искомая плоскость будет параллельна этим векторам, а поскольку она к тому же проходит через точку (3, 1, 1), то ее уравнение будет 4 Эб ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 205 Проекпия Пример 8. Найти проекпдпо точки (3, 2, !! на пряную к — 2 у+3 г ! ! 2 Ре ш си не.
Составим уравнение плоскости, проходящей через яаннудо точку (3, 2, 1) перпендикулярно данной прямой: х — 3+у — 2+2(г — 1)=О, илн х+у+2г — 7=о. (2) Решаем систему (1), (2). к=2+!, у= — 3+(, 2+( — 3+с+4( — 7= 0, 4 3' 4 !О 4 5 х=2+-=-, и=-3+ 3 3' 8 г= —. 3' 3 а меч а н и е.
При составлении уравнений пряной не следует всегда стремиться получить уравнения прямой в виде х †у — у, г †(3) т и Часто удобнее найти уравнения двух разлнчнык плоскостей проходяшик через прямую: А х-)- Вду-1- Сдг+0д О, А х-(-В у+Сгг+()з=О, зти двв уравнения и будут уравнениями прямой, и их вовсе не обязадельио приводить к виду (3).
Рассмотрии ряд примеров. Пример 9. Найти проекцию прямой х — 2 у+2 г †! 3 4 ! на плоскость х+ 2у+ Зг+ 4 = О. Решение Так как проекция лежит в данной плоскости, то х+2у+Зг+4=0 ! х — 2 у+2 г — 1~ 3 4 1 =О, 2 3 есть одно нз уравнений проекции Второе уравнение будет уравнением проектнруюшей плоскости. Проекти. руюшая плоскость проходит через даннудо прямую, следовательно, она проходит через точку (2, — 2,!) н компланарна вектору (3, 4, !».
Так как проектирующая плоскость перпендикулярна плоскости х+ 2у+ Зг+ 4 = О, то она компланарна вектору (1, 2, 3», перпендикулярному этой плоскости, Итак, уравнение проектнрующей плоскости 205 Р в а за Рт ПЛОСКОСТЬ Н ПРЯМХЯ 8 ПРОСТРЛНСТВВ или бх — 43+а — 19=0, Искомые уравнения проекции: х+ 2у+ Зг+ 4 = О, бх — 49+ г — 19 = О. Пример 10.
Составить уравнения перпендииуляра, опущенного из точки 3, 2, 1) на прял:ую х р г+3 2 4 1 Решен не. Рассмотрим плосность и, проходящую через давную точку (3, 2, 1) и перпендикулярную к данной прямой, т. е й вектору (2, 4, 1) Уравнение этой плоскости 2 (х — 3) + 4 (д — 2) + г — 1 = О, ил и 2х+ 4р+ г — Рй = 0 Рассмотрим плогкосгь ч,, проход пллл ю через ханну|о точку и данную прямую Эта ВЛОСКОСтЬ ПРОЛОШП ЧЕРЕЗ ~ОЧКИ *',(3, 2, 1) Н 5)г;О, О, — 3) Н ЦЗРЗЛ- лельна направляющему вектору данной прямой (2, 4, 1). 1!меем — + М,Мв — (3... 4).
Следовательно, уравнепае плоскости.п, илв 14х — 53 — 8г — 24 = 0 Плоскости ил н из пересекаются по прямой 1, которая проходит через данную точку и перпепдинулярпа данной прямой, позточш л равнения 2х+ 43+ г — 15 = О, 14х — бр — Ог — 24 0 и будут уравнениями прямой 1. Пример 11. Пана прямая х — 1 р г 2 3 4 и плоскость х-1-2р — г=О.
Через точку, в которой эта прямая пересекает данную плоскость, проведена пряная, перпендикулярная к данной прямой и лежащая в данной плоскости. Составить уравнения втой прямой. Р еще н ие. Одно из уравнений прямой есть уравнение данной плоскости а+29 — г=О Составим уравнение плоскости и, проходящей через исков.ую прямую и данную, эта плоскость проходит через точку (1, О, О) и параллельна нектару н (2, 3, 4) )Телес, вентор О= (1, 2, — 1) перпендикулярен данной плоскости, поэтому вектор (аб)=( — 11, б, 1( будет напразлшощич вектором искомой прямой и, значит, параллелен плоскости и Такил образом, > равнение плоскости и 2 3 4=0, ззз.
ппимерн и задачи к Главе тг! или 21х + 46у — 45г — 21 = О. Итак, искомая прямая определяется уравнениями х-'«28 — г=О, 21х+46у — 45г — 21=0. Пример 12. Составить уравнения прямой, проходящей через точку (2, 1, 0) и пересека!ошей две прямые; х+1 у — 1 г х — 2 у+2 г 2 ! 3 Решен не. Искомую прямую можно рассматривать ках прямую, по которой пересекаются две плоскости, проходящие через данную точку и одну из данных прямых. Уравнения этих плоскостей (см. пример 3) ! х+1 у — 1 г) )х — 2 у+2 г 2 ! 3=0, 3 4 ! =О, 1 0 О 0 1 0 или Зу — г — 3 О, х — Зг — 2=0 — искомые уравнения прямой. Пример 13. Составить уравнения общего перпендикуляра к двум прямым! х — 1 у — 2 г — 3 8 4 1 х у г и — = — =— 2 — 2 1 Ре ш е н не. Направляющими векторами данных прямых являются соответственно векторы а=(8, 4, 1) и Ь=(2, — 2, 1).
Вектор с=[аЬ), являющийся векторным произведением вектора а на вектор Ь, перпендикулярен векторам а н Ь. Вектор с=(6, — 6, — 24) )) (1, — 1, — 4). Искомый общий перпендикуляр к двум данным прямым можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей; одна плоскость проходит через первую из данных прямых компланарно вектору с, другая — через вторую данную прямую компланарно вектору с. Уравнения этих плоскостей: ! х †! у-2 г — 3[ х у г 8 4 1 =О, 2 — 2 1=0, ! — 1 — 4 1 — 1-4 или 5х — 11у+4г+5=0, х+у=О. Пример 14.
Составить векторно-параметрическое уравнение прямой 1, проходящей через точку Мм опредсляемую радиусот!-векторот! ОМ,=«, и пересекающей под острым углом а прану!о т, которая проходит через точку Мт, опрсделяемую радиусом-вектором ОМ, «,, и коллинеарна единичному вектору а. Точка Мз не лежит на прямой т. Р е ш е н и е. Вектор Ц(«з — «,) а) а) лежит в плоскости и, проходящей через точку М, н прямую т, и перпендикулярен вектору а. Вектор Ь= [И«з — «О а] а) [[(«,— «,) а) ) будет единичным вектором, лежащим в плоскости а и перпендикулярным вектору а (рис. 137). Векторы р=асози+Ьз!па и а= — асоза-1-Ьа!па 208 Г в а в в РГ.
ПЛОСКОСТЬ Н ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ будут единичными направляющими векторами искомых прямых (их будет две). Уравнения зтнх прямых~ [Цг,— г,) а! а) г,+1(ассам+ [ [[ а|па), [[(т,— г,)а[а) . г=г,+1( — асозсв+ з)па) ° ) [(г,— г,) а) [ Пример 15. Прямая р с направляющим вектором а проходит через точку М„ опредетяемуво радиусом-вектором ОМ,=г;, прямая д с направляющим вектором Ь проходит через точку М„определяемую радиусом-вектором ОМв=г,. Прямые Р и в) неколлинеарны. Найти радиусы-векторы ОР н ОЯ концов Р и О Рис, 138 Рнс. 137 наименьшего отрезка Р(), концы которого лежат соответственно на данных прямых Р и л.
Решен ив. Очевидно, ОР=г,+)а, О1е =г,+РЬ (рис. 138). Отсюда РО =г;в „+РЬ вЂ” )а. Так как РО [ а и Р() [ Ь, то РО а=0, РЧЬ О, или подробнее~ а (г,— г,)-1- рпЬ вЂ” Хая=О,~ )габ — РЬт = Ь (г' — гг), Ь(т,-гд-[-рбв-Хор=0,1 )ав — ров=и(г,— г,). Разрешая эту систему относительно ) и р, получим 1,, Ь(г,— г,) — Ь' а (г,— г,) — пЬ ~ Ь'(а (гз — гт)) — (аб) (Ь (гз — г,]) аЬ Ьз [ а бз — (аЬ)в а' — аЬ [ Ь Иаб) (г,— г,) [ [аб) (в'з — гг) б [аб[з [аЬ[' и аналогично [аб[ (т,— гг) а [аб)з ! ьь. пРимеРИ и злдл'|и к Гллвг ч! 209 Итак, бр [аЬ) (г — !",) Ь [аЬ) (г,— г,| а Ор=гл+ „„, а, ОЯ=г,+ „, Ь.
Пример 16. Составить уравнение прямой 1, проходящей через начало координат, образуюшен угол ил прямой оп не проходящей через начало каорДииат Н ЗаДаННОй УРаВНЕНИЕМ Г=Го+1а (а — СДНННЧПЫй ВЕКТОР), ПРН УСЛОВНН. что кратчайшее расстояние ментду прямымн 1 н ш равно б. Ре шеи не. Вопрос сводится к определенн!о папраьлшошего вектора искомой прямой; будем считать этот аскомый вектор Ь единичным. По услозню [Ьа!о! [Ь]аго]! б= аь=соза, Ь'=1. ! [Ьа1 ! шп а разложим вектор Ь по векторам а, [аго) н Цаг ! а]: Ь = да+ р [аго)п и Ц аг,] а!. Умножая обе части этого равенства скалярно один раз на а, другой раз ва [аг,], получил! ьа=д, ь [ага]=р[аго]ь. к=сова, р= Ьаго [аго]о Но ! Ьаго[=ба)па, значит, Ьаго — — ~ б ь(п а.
Итак, бь[па А=сова, р [аго! Таким образом, бь!пи Ь асоьаш ! з [аго]+тЦаго)а!. ]ага)' Так как Ьз=1, то бз гйпо а ! =сааза+ лгчо [аг ]о, [аг,1' о ]! [аг ]о — б'. [а!'о1' Если [аго)о<ба, то задача не имеет решения. Если [аго)о б-", то т О н задача имеет два решения: бгйп а г=(асоза+ [аго]) 1, [~г.!' ба|па !"= (асов и- — [аг,)) !. [аг,!' Если [аго)о > бз, то задача имеет четыре решения: бь!па ь[п а ! (а сова+ — [аго]+ гг[аг!' — б'Цаг ] а1) 1, [агоР [аго]ь о бь)па ь|п а г=[асоьа- [аг,]+ )г]аго!' — б'Ца о]а))1, [аг ]о [аго)о бюпа, 51п<х г (асози)- ', [аго' — р'[аго!' — бзЦаг,]а!)1, [аго]з 1аго)о бь)па ь)п а г=(асоьа —,аг,) — )т ]аг !' — б'Цаго]а!)1 [аг,!' [аг,]' 210 Р ха та Уб ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМЗЯ И ПРОСТРАНСТВЕ 2.
Задачи для самостоятельного решения 1. При каком необходимом и достаточном условии точка (х„ у,, г,) лежит межлу двумя параллсльныии плоскостями: Ах+Ву+Сг+0=0, Ах+Ву+Сг+Е=О (О ~ Е)7 Отв. (Ахо+ Вуо+ Сто+ О) (Лха+ Вуо+ Сто+ Е) < О. 2. Через начало координат провести плоскость, перпендикулярную нлоскости 5х — 2У+5г — 10=0 и образующую с плоскостью х — 4у — 8г+12=0 угол 45'. Отв х+20у-1-?г=О и х — г=О. 3. Найти угол между двумя плоскостями Зх+у — 2г+4=0, х — 7У+2г=О, в котором лежит точка (1, 1, 1).
4 Отв. агссоз ( — =~1. 3 У'21/' 4. При каком необходимом н лостаточном условии точка (хе, ую га) лежит в остром угле, образованном двумя пересекающимися и не взаииао перпендикулярнычи плоскостячи Атх+ Вту+ Ест+От = 0 Агх+ В,у+Сзг+ О, = 07 Отв. (ЛгА + ВтВ + СгСз) (Атха+Вгуа+ Сггд-)-От) (Агхь+ Втуз+ Саге+ Ог) < О. 5. Доказать, что плоскости 11х+!ОУ+2г=О, Зх+4у О, х — у+г — 1=0 образуют призму и вычислить ее внутренний двугранный угол, образованный первыми дву мя плоскостями. 73 Отв. агссоз —. 75 ' 6. Составить уравнение биссекторной плоскости угла между двумя плоскостями Зх+5у — 4г+1=0, х — г — 5=0, в котором лежит начало координат.
Отв. Зх+5у — 9г — 24=0. 7. Составить травнение биссекторной плоскости острого угла между плоскостями Зх — 4У+бг — 2=0 и УОг. Отв. (3+ )' 61) х — 4У+бг — 2=0. 8. Через прямую 2х=у=2г провести плоскость р так, чтобы данная прямая бьша биссектрисой угла, ооразуемого линиями пересечения плоскости р с плоскостял~и У=О н х+у О. Отв у — 2г=О. й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
