1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(1) т! па ~па 1Б ~1ц та~ Так как векторы а и Ь неколлинеарны, то по крайней мера один из определителей А= ' '(, В=( ' '(, С=(' '! не равен нулю (3 36, теорема 5), следовательно, уравнение (1) первой степени относительно х, у, г, Если еще положить — х, — у, ' ' — г, =Р, то уравнение (1) примет вид Ах+ Ву+ Сг-(-Р =О. Уравнение Ах+Ву+Сг+Р О называется общим уравнением плоскости. Теорема 2 (обратная). Всякое уравнение первой степени Ах+ Ву-1- Сг-1-Р =О (2) х — х,у — у,г — г, — В А Π— С О А (б) в общей декартовой системе координат является уравнением плоскосош.
Доказательство. Пусть х„у„г, — какое-нибудь решение данного уравнения, т. е. Ахц+ Ву -1-Сг -1-Р =О. (3) Данное уравнение будет эквивалентно уравнению, которое мы получим, отняв почлепно из уравнения (2) равенство (3): А (х — х,)+ В (у-у,)+С(г — г,) = О. (4) Одно из чисел А, В, С не равно О; пусть, например, А~О, тогда уравнение (4) эквивалентно уравнению 172 глава ид плоскость и пеямля в пгосдпхнствв В самом деле, 1юследнсе уравнение после раскрытия определителя примет внд А'(х — х„)+АВ(у — у„)+ АС(г — г,) ==О, нли (так как А чьО) А(х — х„)--, 'В(у — у,)~-С(г — г,)=0.
Палее, векторы с'=( — В, А, О) и ~у=( — С, О, А) пеколлинеарны, поскольку один из определителей =А', =АВ, =АС не равен нулю (в силу условия А ~ 0 пе равен пулю первый опре- делитель). Поэтому уравнепис (5), а значит н данное уравнение (!), определяет (на основании предыдущей теоремы) плоскость, прохо- дящудо через точку (х„у„г„) компланарно двум неколлииеарпым векторам (в случае А-д=О): г=( — В, А, О) и у=( — С, О, А). Лпалогично доказывается, что данная плоскость (в случае В ф 0) комплапарна векторам р = (О, — С, В) н г = ( — В, А, О), между собой пеколлинсариым, а в случае С ~= 0 — векторам 12=(0, — С, В) и и=( — С, О, А), которые также неколлннеарны.
В декартовой прямоугольной системе координат вектор и = (А, В, С) перпендикулярен плоскости, задан- ной уравнением Ах+ Ву-,'-Сг+Р =О. В самом деле, возьмем на плоскости, заданной общим уравнением Ах+ Ву+ Сг-,'-Р = 0 отно- сительно декартовой прямоугольной системы координат, две произ- вольные различные точки М,(хд, уд, гд) и М,(х„у,, г,). Тогда Ахд+ Вуд+Сгд+Р = О, Ах, +Ву,+Сг, +Р = О, откуда А (х,— хд)+В(у,— у,)+С(г,— г,) =О, илн иМ,М,=О, Значит, вектор и перпендикулярен любой прямой МдМд, лежащей на данной плоскости, значит, перпендикулярен самой плоскости. В общей декартовой системе координат вектор и=(А, В, С) может и не быть перпендикулярным плоскости, заданной уравнением Ах+Ву+Сг+Р=О; этот вектор и=(А, В, С) будем называть главным вектором плоскости, заданной уравнением Ах+ Ву+ -(-Сг+Р=О относительно общей декартовой системы координат.
е Ус. чьстпые случАи РАс!соложеис!я плоскосгн !7З $ 70. Условие комплаиариости вектора и плоскости Теорема. Пусть относительно оби1ей декартовой систеиьс координат в пространстве заданы вектор а=(1, т, п1 и плоскость своим обсс1илс уравнением Ах+ Ву+ Сг+Р = О. Тогда необходимое и достаточное условие компланарности вектора и и данной плоскости имеет вид А1+ Вт + Сп = О. Доказательство этой теоремы такое же, как и доказательство теоремы З 52, Из доказанной теоремы следует, сто главный вектор п=(А, В, С1 плоскости, заданной общим уравнением Ах+ Ву-(-Сг+Р= О относительно общей декартовой системы координат, некомпланарен этой плоскости. В самом деле, А А+В В+С С=А'+В'+Сс~О. й 71.
Частные случаи расположения плоскости относительно системы координат Из предыдущего параграфа следует, что плоскость, заданная общим уравнением Ах+Ву+Сг-(-Р=О относительно общей декартовой системы координат, будет или параллельна, или проходить через ось Ох тогда и только тогда, когда А = О, так как в качестве направляющего вектора оси Ох можно взять вектор (1, О, 0). Апалогичпо условия В=О и С 0 являются необходимыми и достаточными условиями того, что плоскость соответственно параллельна или проходит через ось Оу, параллсльна или проходит через ось Ог. Отсюда следует, что плоскость параллельна или совпадает и одной из координатных плоскостей тогда и только тогда, когда в общем ее уравнении Ах+Ву+Сг+Р=О два из коэффициентов А.
В, С обращаются в пуль. Таким образом, уравнения Ах+Р= О, Ву-1-Р =О, Сг+Р=О, или х=-а, у=6, г=о и только уравнения первой степени такого вида в случае афО, Ь ~0, с~О являются уравнениями плоскостей, параллельных 174 Раааа Ю ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ 3 ПРОСТРАПСТВВ уравнения координатных плоскостей координатным. В частности, имеют вид х=О у=о г=О (плоскость уОг) (плоскость гОх) (плоскость хОу). Отметим, наконец, что необходимым н достаточным условием того, что плоскость, заданная общим уравнением (1), проходит через начало координат, является равенство О =О.
ф 72. Параметрические уравнения плоскости Параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку Мв(х,, у„ г,) комплаиарно двум неколлинеарным между собой векторам: а (11 т1 и1) Ь (1 тп пз) в общей декартовой системе координат имеют вид х = ха+ и11+ о(„у = уа + итп1+ О!п„г = га+ ип1+ Оп,. (1) Доказательство. Произвольная точка М(х, у, г) пространства лежит на данной плоскости тогда и только тогда, когда векторы М„М=(х-х„у — у„г — га), а и Ь компланариы, иначе, когда они линейно зависимы. Но так как век"( торы а и Ь неколлинеарны, то вектор М,М является линейной комбинацией век- 9 торов а и Ь: М,М = иа+ОЬ.
(2) Переходя к координатам, получим Х вЂ” Х,! =И11+011, У вЂ” Уа =Ил!! -у-УПТм г — г,=ип,+ип, Рис, 128 откуда н следу!от соотношения (1). 3 а меча н ие 1. Параметры и и О имс!от следующее геометрическое значение: это обп!ие декартовы координаты точки М данной плоскости в системе координат: М, — начало координат, а и Ь— масштабные векторы соответственно первой и второй осей координат (рис. 128).
Замечание 2. Если п,=ОМЬ, Р=ОМ вЂ” радиусы-векторы точек М и М. то соотношение (2) можно переписать так: г-г,=иа+ОЬ, или г=п,+иа+ОЬ. здз. тнлвнвние плоскости, пеоходящви чзеаз двв точки ип> Это уравнение называется векторным параметрическим уравне нием плоскости, проходщцей через точку Мз(гз) компланарно двум неколлипеарным между собой векторам а и Ь. ф 73. Уравнение плоскости, проходящей через две точки компланарно данному вектору На основании $ 68 уравнение плоскости, проходящей через две различные точки М„(х,, у„ г,) и М,(х„ у,, гз) комплапарно вектору а=-(1,т, и), который неколлннеарен вектору МдМз = (хз — хд, уз — уд, гз — гд), в общей декартовой системе координат имеет вид х — х, у — у, г — г, х,— х, Уз — У, г,— г, пд и ф 74.
Уравнение плоскости, проходящей через трн точки, не принадлежащие одной прямой На основании 8 68 уравнение плоскости, проходящей через три точки Мд(хд уд гд) Мз(хз уз~ гз) Мз(хз уз гз) хз У Уз г гз хз уд уз гд гз х,— хз Уз — Уз г,— гз =О, или х у г 1 х, у, г, 1 х, у, гз ! хз уз гз Параметрические уравнения втой плоскости и можно записать так' х = х, + и (х, — хэ) + о (х, — х,), у у +и(у у )+о(у у,), гз + и (гд — гз) + о (гз — гэ). заданные относительно общей декартовой системы координат и пе принадлежащие одной прямой, как плоскости, проходящей через точку М (х„у„гз) компланарно двум неколлинеарным векторам МзМд = (хд — хз уд — уз гд гз) и МзМз = (хз хз уз уэ гз гз), имеет вид 576 Г а а а а РЬ ПЛОСКОСТЬ И ПРЯХ5Х55 В 55~С5СТ5*ЛНСТВС l Параметры и и и нме5от следующее геометрическое значение: это общие декартовы координаты точки' плоскости п в общей декартовой системе координат, в которойтза начало координат берется точка Маь а за еДиничные точки осей М,и н Мво соответственно точки М, и М,.
$ 75. Уравнение плоскости в отрезках Если плоскость не проходит через начало координат и перссекает все осп обшей декартовой системы координат соответственно в точках (а, О, 0), 10, (5, 0) и (О, О, с), то ее уравпение на основании предыдущего параграфа можно записать в виде х — и у г а 0 — с ~=-0, 0 б — с или к у г — — 1 а+ ь+ с Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.
$76. Взаимное расположение двух плоскостей Пусть относительно общей декартовой системы координат две плоскости заданы своими общими уравнениями А,х+ В,у+ С,г+ь), = О, (1) А,х+ Вву+ С,г+О, =- О. (2) Тогда имеют место следующие утвсржде.шя. 1. Для того чтобы плоскости, задапныс уравнениями (1) и (2) в общей декартовой системе координат, пересскалнсьь необходимо и достаточно, чтобы соотвстствуюш,не коэффициенты прн х, у, г в уравнениях (1) и (2) не были пропорциональны. ". Для того чтобы плоскости, заданпыс уравнениями (!) и (2) в обшей декартовой системе координат, были параллельны, псобходимо и достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты при х у, г в уравнениях (1) и (2) были пропорциональны, но чтобы свободные члены не были нм пропорциональны, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
