1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Теорема 2. Пусть относительно оба<ей декартовой системы координат прямая линия задана оба<им уравнением Ах+Ву-,'-С=-О. Тогда, если отложить главный вектор и =(А, В) этой прямой от любой точки М,(х„у,) этой прял<ой М,Р=а, то конец Р опглозсенного вектора будеог находиться в положи<лелькой полуплоскости от данной прямой (рис. П2). 152 го ооо г поямля пипия ггл плосКос~и Доказательство. Точка Р имсст координаты х,— 'А, у„-'; В. Подставляя ик соответственно вместо х и у в левую часть уравнения Ах+Ву+С.—:.О, получим А (х, + Л)-РВ (у,+В)+С=- = Ахо+ Вуо+ С+ А + В = Ао + В' > О Если систстга координат декартова прямоугольная, то (см. ч 521 главный вектор п=(Л, В) при этом еще ортогонален прямой Ах+ Ву-';С=-О (рнс.
113). Рассмотрим ненулевой вектор а = (1, т), заданиьш относительно общей декартовой системы координат, ц прямую )., заданную общим уравнением Лх+Ву+С=О относительно той же системы координат. Возьмем на прямой ), произвольную точку М,(х,, у,) н отложим от пее вектор а; МоР = а. Тогда точка Р будет иметь координаты хо+ (, Уо-1- пг. Подставим эти кооРдпнаты в левУю часть Ах+Ву-1-С данного уравнения. Получим А(хо+()+В(уо+т)+ +С=Ах„-';Вгуо-РС вЂ”;Л(+Вт. Так как точка М,(х„у,) лежит на данной прямой, то число Л хо+ Ву„+С равно нулю, значит, результат подстановки координат точки Р в левую часть Лх —,: Ву+ С уравнения данной прямой будет равен Л(+Вт. Отсюда следует, что если Л(Л- Вт > О, то конец Р вектора а, отложенного от любой точки прямой )., лежит в положительной полуплоскости от прямой, заданной уравнением Ах — ', Ву+С=О.
Будем говорнть, что в этом случае вектор а направлен в положительную полу- плоскость от прямой, заданной уравнением Ах+ Ву+ С = О. Если же Л(+Вт < О, то конец Р вектора а=(г', пг), отложенного от любой точки М прямой Ах) Ву-)-С=-О, лежит в отрицательной полуплоскости от этой прямой В этом случае будем гоиорггть. что вектор а=((, т) направлен в отрицательную полуплоскость от прямой Лх+Ву-,' С = О. Эти соображения используются в общей теории линий второго порядка при исследовании направления вектора, коллппеарпого оси параболы, заданной общим уравнением (причсм систему координат можно считать общей декартовой). $63. Расстояние от точки до прямой Теорема.
Расстояние й от точки М,(х„у,) до прямой, заданной общим уравнением Ах -1- Ву + С = О относительно декартовой прямоугоогьной системы координат, вычисляется по 4юрму ге 1 А хо+ Вуо+ С 1 (1) а ао иогмальиог хгхв!!си!!в пиямои "гока зательство. Пусть М,(х„у,) — произвольная точка данной прямой. Так как вектор а = (А, В) является нормальным к данной прямой (система координат декартова прямоугольная), то (рис.
114) о(=)коорд. пр„М,М„'= — о "о !'4(ка ка), В(уо оа)! ио оа У Аа+В ! Ако+ Вао а— Ака — Ву,! ! А ко+ В ко — , 'С ! у" А Л-)- Ва у'Аа+ 63 так как А,х,-'; Ву,+С=О и значит,— Ах,— Ву,=С. $ 64. Нормальное уравнение прямой Уравнение Ах+Ву+С=О прямой, заданной относительно декартовой прямоугольной системе координат, называется н о р и а л ь н ы и, если нормальный! вектор п=-(А, В) к этой прямой является единичным, т, е. если А'+В'=1. Для приведения к нормальному виду общего уравнения прямой Ах+ Ву-'; С =-О, заданной относительно декартовой прямоугольпои системы координат, следует умножить левую часть данного уравнения на число М АМх+ ВМу+ СМ = О и выбрать М так, чтобы вектор (АМ, ВМ) был единичпыьг. (АМ)'+ (ВМ)з = 1; отсюда М=+.
! 1' Аа+Ва Таким образом, для каждой прямой всегда получим два нормальных уравнения У Аа-)- В! Это испо и из того, что существу!от два различных единичных вектора, перпендикулярных к данной прямой, ! Множители -)-, прп умножении на любой из которых )К Ао+ Ыо левой части общего уравнения Ах+Ву+С=О Г ла ла Р ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НП ПЛОСКОСТИ прямой, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат, уравнение переходит в нормальное, называются норм и р у ю щ и м и м и о ж и те л я м и. Радикал )л Ла+ В' есть модуль 1 пормальпого вектора п = (Л, В) к данной прямой, так что М = ~ — „ )и)' Коэффициенты нормального уравнения прямой, заданной уравнением Ах+ Ву+ С = О (Л'-1- В' = 1) относительно декартовой прямоугольной системы координат, имеют простой ~сометрпчсский смысл: Л = и1= соз а, В = ~3= соз йл ! С ! = р, где а и 5 — соответственно углы между масштабными векторами 1 и / осей координат Ох, Оу и главныи вектором и=(Л, В) пря- мой Ах -,'— Ву — , 'С = О, а р — расстояние от У начала координат до этой прямой(положить х,=у,=О в формуле (1) Ч 63 и учесть, Р что А'+ В'= !).
Если относительно декартовой прямоугольной системы координат прямая задана нормальным уравнением Лх + Ву-1-С = О, () т. е. Аа+ Ва=1, причем С (О, то А и В Рис 1!5 являются косинусом и синусом угла а от положительного направления оси Ох до вектора ОР, где р — основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую, а (С(= р — длина этого перпендикуляра (рис.
! 15), В самом деле, если С ~ О, то начало координат лежит в отрицательной полуплоскости от прямой Ах+ Ву+С=О (см. й 62], значит, векторы ОР и (А, В) ие только коллипеарны (оба они перпендикулярны данной прямой), но н направлены в одну сторону.
Г1оэтому угол а от оси Ох до вектора ОР равен углу а от вектора 1=(1, 0) до главного вектора !Л, В) данной прямой и, значит (см. й' 40, формула (8)) и=1„=(сова,з1п а). То обстоятельство, что ) С ( = р, где р — расстояние от начала координат до данной прямой, следует из формулы (1) 5 63, в которой надо положить х, = у, = О, А'+ В'= 1.
Таким образом, нормальное уравнение прямой, ие проходящей через начало координат, можно записать (а часто так и пишут) в виде хсоза+ у з)п а — р= О, (1) где а н р имеют значения, указанные выше. воя. уГОл мгж;ъу дания поямыми Лля приведения общего уравнения прямой Ах+ Ву+С = О к нормальному виду (1) следует воспользоваться теоремой Э 59, в силу которой существует множитель (нормирующий множитель), такой, что соответствующие коэффициенты уравнений АМх+ВМу+СМ=О, хсояа+уз!па — Р=О соответственно равны АМ=-сояа, ВМ=я1па, СМ= — р. Отсюда ! М= + причем из условия СМ = — — р ( О следует, что знак М противоположен знаку С. Если прямая задана нормальным уравнением относительно декартовой прямоугольной системы координат, то расстояние о( от точки М,(х„у,) до этой прямой равно абсолютной величине результата подстановки координат точки М, в левую часть нормального уравнения (см.
9 63): д=) Ахо+Вуо+С) (А'+В'=1) или Й= ! х,сова+у, й)п а — р1 (см. уравнение (1)). Замечание. Иногда расстоянию от точки до прямой приписывают знак, называют такое расстояние от к по не п н е м и полагают б=х,сова+у, яц!а — Р. Если прямая хсоя а+ у я!и а — р =- О не проходит через начало координат, то начало координат лежит в отрицательной полуплоскости от прямой хсояа-,'-уз!пи — р=-О.
Поэгоя!у б ( О для полу- плоскости, содержащей начало координат, а для полуплоскостч, не содержащей начало координат, б) О. й бб. Угол между двумя прямыми; условие перпендикулярности двух прямых Пусть две прямые заданы относительно декартовой прямоугольной системы координат общими уравнениями А,х+В,у+С,=О, А.х+В,у-)-С,=О.
Тогда угол между вектор;м|и и,-= (А„В,) и ио=(А„В,) глава равен одному из углов, образованных этими прямыми, а значит, косинусы этих углов будут вычисляться по формуле А1А, -- В1В, соз гр, .= ~ — — = $ А',.с В( )' А~-1- В,' Отсюда находим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых А,Л,+В,В., =О. Заметим, что если данные прямые параллельны, то векторы и, и и, коллинеаряы, н мы получим созе„д — — +.1 (в этом случае считаем ср,=-О, суй=-п).
3 а ме ч а н и е. Так как главный вектор гз= (Л, В) прямой, заданной общим уравнением Ах+Вп+С=-О относительно декартовой прямоугольной системы координат, перпендикулярен этой прямой и направлен в положительную л~=(Аи~Ч полуплоскость от данной прямой (рис.!16), то по формуле +++++ а и (где для радикалов берутся положительные значения) вычисляется косинус того угла "г (Аг1Вг1 между двумя прямыми А,х+В,у+С,=О, А,х+В,у+С,=О (заданными относительно декартовой прямоугольной системы координат), внутри которого лежат точки, принадлежащие разнопменпым полуплоскостям от данных прямых (положительной полуплоскости для одной прямой и отрицательной для другой). Коне шо, это обстоятельство зависит от уравнений, которыми заданы прямые; например, при перемене знаков в левой части одного из уравнений (!) по формуле (3) будет вь|числен косинус угла, смежного с <р (так как при перемене знаков в левой части уравнения прямой положительные и отрицательные полуплоскости меняются местами).
$ 66. Угол от одной прямой до другой в ориентированной плоскости При вычислении угла от прямой 1' до прямой !" А,х-РВ,у+С,=О, А,х+В,у+С,=О (1) (система координат декартова прямоугольная) заметим, что угол у от вектора а, = (А, В,) до вектора и, = (Ам Ва) равен одному э ээ тгол от одноп пгямои ло дгггоп из значений угла от прямой 1' до прямой 1". 11оэтому, вычислив этот угол ~р по формулам (1) и (2) Э 40 соз <р = А„А,+В,В, (2) Г'Аг+Ва )/Аи сиз А В,— А,В, (3) 'Г'А',+В', ~' А,'+В', следует в качестве всех его значений взять ~р+йп, где й принимает все целые значения. Если данные прямые не взаимно перпендикулярны, то А,в,— А В, А1Аа+ В1ва (4) Обозначая через ~р, угол от оси Ох до первой прямой 1' через ~р„угол от оси Ох до второй прямой 1" через ~р„угол от первой прямой 1' до второй 1" через ) (рис.
117) на основании теоремы Шаля для прямых, будем иметь (Ох, 1')+(1', 1") =(Ох, 1") (гпог(л), или гр, + ~р = ~р, (тог( л), х или ~р= — ~р,— р, (тоб и). (5) Если прямые 1' и 1' не перпендику- Рис. ыт лярны и ни одна из иих не коллипеарна оси Ор, то, обозначая через й, и й, их угловые коэффициенты, из соотношения (5) находим ! и %2-1Я ч1 1+Мч 1ьт или окончательно ~+м (6) Формулу можно получить и из формулы (4), если последнюю переписать так: А~ А, — — +— 1К гр= Вэ " ' (-й)(-й) и заметить, что так как направляющие векторы данных прямых таковы ( — В„А,) и ( — В„А,), то их угловые коэффициенты А, А| й= — — и й= — —. 1в в, 2 Вэ' 153 Г лоло щ ПППМЛЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСти испи дас прячьк (11 не параллельны н не совпадают с осью Од, то нео.л ход1лллое н достото пиле ус.тонне ях перпендикулярности А,Аз+В,Ва, которое следует иэ формулы (2), молино переписать тан: Л, Ло — — — +1=0, и, ' В, Л,Л,+!=О, или 1 й,= — —, йл ' где Лл и Ло-углоаьле коэффициенты этих прямых.
$67. Примеры и задачи к главе Ч 1. Задачи с решениями Пример 1. Состаанть ураанеаие прямой, проходящей через точку (1,3) параллельно пряной Зх+бд+ ! =О. Система координат общая декартова. Решен ие. 1-й способ, Разрешая данное уравнение относительно у 3 1 у= — — х — —, 5 5 ' 3 находим угловой коэффициент данной прямой: йл= — —. Угловой коэффици- 5 ' 3 егм й, искомой прямой равен йл: )го= — —. Искомое уравнение ($ 58) 3 У вЂ” 3= — — (х — 1), или Зх+5д — 18=0. 5 2-й сп особ. Искомое уравнение можно взять а виде Зх+ Зу+ С = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
