1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 23
Текст из файла (страница 23)
сх су сг ч а м е ч а н и е. доказанное соотношение выражает собой формулу для умножения двух определителей третьего порядка: а„ сг аа) хг Х, Хз б, б, б, ~ у, у, у„ = С1 Сг Сг гг гг гу стяг+азха+азхт с,у, +а,у,—,[ азуа о,гг+ а,гг+азгз — бгхг-1-бгх +баха Ь,У,—,-бгу,-';бхУ4 бггг, багз+багз саха+саха+саха стрт+ сарг+сарг стах+сага+сага Рис. 106. (с, а„аа — координаты вектора а а ортопормированном базисе 1,У, Ф; Ьт, б,, Ьг— координаты вектора Ь в точ же базисе и т.
д.] Пример )я. Вычислить объем у параллелепипеда, зная длины его ребер ОА=х, ОВ=у, ОС= г, выходящих ка одной вершины О, и плоские углы между ними (рис 106): ©О~=С, СОАА=б, 4[ОВВ=с. Р е ш е н и е (см. предыдущий пример) 1'=[ хуг [= рс(хуг)' = ) х' ху хг[ / [ х' гусов с гх сов б ух уа уг = ~I хусозс уг уг сов а гх гу г' хг сааб угсозс г' =хуг Ьс1+2 соз а соз б соз с — созга — созгб — созгс, Г з а в а !У Осз!0НЫ ВЕ!(ТОГ!!00 ЛЛГЕНРЫ Пример 13.
В треугольной пирамиде ОАВС даны длины ребер ОА =о, ОВ=Ь, ОС=с и папские углы при вершине О: ВОС=а, СОА=В, ЛОВ =у Вычислить краж!айшее расстояние л!ежду прячымп ОА и ВС и найти поло>кепке точек Р и О соответственно на прямых ОА и ВС, для которых отрезок РО перпсндинулярен прямыч ОЛ и ВС (рис 107) Р е ш е п и е. Сначала выведем общую формулу для кратчайшего расстояния между двумя скрещнва!ощимися (нли псресека!оппписп) прямыми (рис.
108). Нааоаем направляющим вектором прямой всякий ненулевое вектор, коллнпе- Р 007 Рис 108 арный этой прямой. Пусть а и Ь вЂ” направляющие векторы двух скрещивающихся (или пересенающихся) прямых р и о. Вектор [аЬ[ имеет направление общего перпендикуляра к прямым р и д. Пусть дан еще вектор МзМа, кошгы которого лшкат соответстиепно на прямых р и о. Тогда кратчайшее расстояние б равно длине проеьпии вектора М,М, на общий перпендикуляр к двум прямыч р и о или (что то же самое) — длине проекпии вектора МтМя на вектор [аь[; 6=[ пр.( „М,Ма [ Но [[аЬ[ М,М,[=[[аЬ[[[пр(„ь)М,М,[=6[[аЬ[[, следовательно, ЦаЬ[ М,М,[ б [М,М, аЬ[ [[аЬ[[ ' ![аЬ[[ Введем теперь векторы ОА=а, ОВ=Ь, ОС=о.
1 4э пянмспы н адддчи к глхнг |зз уогда СВ= Ь вЂ” с — направляюшнй вектор прямой ВС. В качестве вектора МхМе пожно взять, например, вектор ОВ=Ь и, значит, ( Ьа (Ь вЂ” с) ] ] аЬс ! ] аЬс ] (]а(Ь вЂ” с)]] ] ]пЬ] — ]ас]] у (]аЬ] ] а])ь .(аЬс] У(аЬ]з-]-]ас]х — 2 ]аЬ] (ас] ( аЬс] ] ' о'Ье жп'у-,' пзс' з(пз]) — 2 (а' (Ьс) — (ас) (аЬ)) ] аЬс] ]Го'Ье Миху+ и'сз ж из]1 — 2пайс (соз к — соз ]) соз у) ойс Зг!--, '2сози сов]) гезу — совая — созе]) — созе у и ]г0'Миху+се ь)па|1--26с (соьи — соз(1 сову) 6с ] 1.|-2 созясоз ]( гоьу — совая — созт ]| — созе у ]г Ье ь!п'у-,с' жп' ]( — 20с (сов и — соз р соз у) х(ля определения положения точек Р и О па прямых ОА и ВС заметим, что ОР=Ла, СО=Р(Ь вЂ” с), н вопрос сводвтся к нахождению чисел Л и и (еслп О < Л < 1, то точка Р лежит между точкамн О и Л н ОР =-Л (а( и т. д,).
Имеем: Р О =- ΠΠ— О Р = с -'- и (Ь вЂ” с) — Ла, и так как РО„] а и РЯ ] Ь вЂ” с, то а РО=О, (Ь вЂ” с) РО=О, т. е. ас+ ра (Ь вЂ” с) — Л а' = О, с(Ь вЂ” с) — , 'р(Ь вЂ” с)' — Ла(Ь вЂ” с)=О. Мы получили линейную снстсл|у двух уравнений относительно Л и |ц Ла' — ра (Ь вЂ” с) = ас, да (Ь вЂ” с) — р (Ь вЂ” с)' = с (Ь вЂ” с). Решая эту систему, получим Л= ас — а (Ь вЂ” с) с (Ь вЂ” с) — (Ь- с)' ~ (аЬ вЂ” ас) (сЬ вЂ” с') — ас (Ь'+ с' — 2Ьс) ав — а(Ь вЂ” с) ( ' — а'(о'-псе — 20с) -) (аь — ас)' а (Ь вЂ” с) — (Ь вЂ” с)' (пй соа у — ос соз р) (са сохи — с'| — ос соз ]) (0'+ ох — 20с соь и] — оз (Ьь-сх — 20с соья)+(оз гезу — ас сиз]))ь с ИЬ соз у — с соз О) (0 соз я — с) — гоь:,(| (0' -,' сс — 26с соь я),' — и ]Ьт-Г ст — 20с сов и-!-(6 соз у — с соз ]1|х] !— а' ас а(Ь вЂ” с) с(Ь вЂ” с) ~ ае (сЬ вЂ” се) — ао(аЬ вЂ” ас) р — а"(Ь вЂ” с)е р(аЬ вЂ” ас)' — аь(Ь вЂ” с)т-:.
(аЬ вЂ” ас)' с ]Ь сов я — с — (оз ~~ (0 ~ оь у — с сов()Ц вЂ” Ьа — с'+2Ьс сох и -, (6 и ау — с соь]))~' !З4 Г а а а а !У. ОСНОВЫ ПГ КТО РНОЙ АЛГЕБРЫ АВ=а, АР=Ь, ЕС=Ь, ЕЕ=с. !) Найти косинус двугранного угла С (РР) А. 2) Найти кратчайшее рас- стояние между прнмымн ВЕ н АС (много- гранник ЕРАВСР называется клином). Ре ш е н не.
1) Принимая точку В за начало координат, ВА — за ось Ох, ВС вЂ” за ось Од и располагая ось Оз перпендикулярно плоскости АВСР, бу. дем иметь В (О, О, 0], А (а, О, 0), Р (а, Ь, 0), С (О„ Ь, 0), (2' 2 ' )' (2' 2 ' ) Отсюда находим РЕ= — (О, — с, О(, (2' 2 РС ~ — —,—,— Ь~. Рис. 109 Далее, Ре га~ = — (( ~— 2) сй, О, — (1(2Ь, О, а)=Р, Ь вЂ” с (РСРР) = Ь— — — Ь 2 2 Ь-с 2 ( Ь вЂ” г — — Ь 2 а 2 =(О, — ай, — а — ) 11 (О, — 2Ь, — (Ь вЂ” с)(=ау. 2 Таким образом, ° соз ф = соз С (РР) А = — = Рс) — а (Ь вЂ” с) Р4 Р 4йэ-)-аэ РГ4йэч-(Ь вЂ” с)' Отметим, что если с <Ь (как на рис.
109), то созф < О, угол ф тупой; Л если с >Ь, то соя ф > О, угол ф острый; если сааЬ, то сов фааО, ф= —; вэтом — -2 Пример !4. АВСР— прямоугольник (рис. 109). Отрезок ЕР параллелен плоскости этого прямоугольника и проектируется яа эту плоскость в отрезок СН((АР(,'ВС, причем то ~ни С и Н находятся на равных расстоянинх от АВ и СР, а отрезок СН вЂ” иа равных расстояниях от АР н ВС. Дано: $4Э ПРИМЕРЫ И ЗЛДЛЧИ К ГЛДВЕ 1Ч случае клин превращается в прямую призму, 2) АС=( — а, 6, О) =х, ВЕ=,[ ~:~ й) ц (а, 6 с, 2й) =у, [2' 2 [ху]=(266, 2ай, а(с — 26)); АЕ=~- —, —,, й~.
2' 2 Кратчайшее расстояние б между АС и ВЕ равно. с 6 — с — — — й 2 2 — а 6 О с 6 — с2й гпоб ] АЕ [ху! ! 2айй [ [ХУ! ] Э' 4йэ (а'+64) +с' (с — 26)' 'Г' 4йэ (с'+6 )+аз (с — 26Р Пример (Ь. Найти векторы х к у, если известны нк сумма а 4 О, скалярное произведение р и векторное произведение Ь ф О, Дано, что векторы а и Ь ортогонэльпы (еслн векторы а и Ь йе ортогоиальны, то задача не имеет решеНий).
Р е ш е н и е Имеем систему х+у=а, ху=р, (ху) =Ь, причем аЬ=О Из первого уравнения иакодам у: у=а — х. Подставляя это значение х в уравнение [ха) =Ь, получим [()са+р [аЬ]) а] =Ь, Р[[ай) а]=Ь, Ь аэр=Ь, значит, 1 [аЬ! — х =)4а+ —, а' ' а' ' Теперь соотношение х (а — х) =р, или ах — хз=р, примет вид Ьэ лаз-лэаз- — =р, оэ откуда аз 4. 6Гач — 4 (ь'+ра') Х= 2а' Если аэ < 4(Ь'+раз), то задача ие имеет решений. Если аз=4(Ьэ+раз), ) то )4=.— и задача имеет одно решение: 2 а [аЬ) а [ай] х= — + —, у= — — —. 2 аэ ' 2 аэ Подставляя это значение у во второе и третье уравнения, получим х (а — х) = р, [ха] =Ь. Из соотношения [ха]=Ь следует, что вектор х ортогонален вектору Ь, а тат как векторы а и Ь ортогопальпые и ненулевые, то вектор х комплвиэреп векторам а и [аЬ]; эти векторы ненулевые н ортогональные, значит, по ним можно разложить вектор х: х=ла+р [аЬ).
и д о ч о гр основы векторной алггииы Наконец, дели о' > 4(Ь'+род), го задача имеет двз рсидсния: ад + ]ло4 4 (ад+рад) [аь) х,, а+ ое — ~' о' — 4 (од+ ро') [аЬ! У= а — —, 2од о' или о' — йга' — 4 (Ьд+ ро') [аЬ) х= а+ —, 2оа д 3 а'+ [' од — 4 (ь'+ро') [аЬ] У= 2оа а — —. од 2. Задачи для самостоятельного решения 1. Ланы радиусы-векторы гд, гм г„трех последовательных вершин А, В, С параллелограмма. Найти радиус-вектор четвертой оершнны Р. Отв. гд+г'з — и,.
2. Локазать, что для четы(ох лшоых точек А, В, С, Р пространства выполняется соотношен»е ВС АР+ СА ВО+ АВ СО=О. 3. Локазатдч что [аь]'+ (аЬ)з = азад, 4. Ланы три некомпланарных вектора а, Ь, с н скалярные произведения и, ]), у неизвестного век~ора х на эти векторы'. ах=а, Ьх=]), сх=у. Найти вектор х. О =а [Ьс]+!) [еа]+у [аЬ! аЬс а. Лапы трн вектора ОА =а, ОВ=Ь, ОС=с. Векторы а и Ь неколлинеарны. Пусть Р— просьния точки С на плоскость ОАВ. Найти вектор СН.
— аье Ота. СН = — — [ай]. [аь]д 6. Ланы два пеколлинеарпых вектора ОА=а н ОВ=Ь, Окружность с центром 5 касается пр>алых ОВ н ОА в точке А. Найти вектор ОВ. О ОВ [Ь [аЬ]! а'-. [[ай]а](аЬ) [ав]д 7. Лапы три компланарнь1х вектора х, а, Ь, причем а и Ь неколлинеарны. Выразить коэффициенты разлодксняя вектора х по векторам а и Ь через эти векторы (хЬ [аЬ]) а+(х [аЬ] а) Ь [аЬ!' 8. Ланы три комплааарнык вектора ОА=а, ОВ=Ь, ОС=с, причем векторы а и Ь неколлнпеарны. Пусть А( — точка пересечения прямых АВ и ОС. Найти всктор ОМ =х.
Отв. х = [аЬ]' с. [еЬ] [аЬ]+ [ае] [аЬ! 149. приз!епы и Зддлчы к ГланГ !н 137 Н. Даны три некомпланарных вектора ОЛ=а, ОВ=-Ь, ОС=с. Пусть В— центр сферы, проходян!лй через точки О, Л, В, С. Найти вс'стор 05, Ов!в. 05 = а'1Ьс1+ Ьз 1са]+ св 1аЪ~ йанс 1О. Даны векторы ОЛ=а, ОВ=Ь, ОС=с. Векторы Ь и спеколлин зоны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
