1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 19
Текст из файла (страница 19)
аа Доказательство единственности разложения. Пусть существует еи)е другое разложение а=х'е,+у'е,. Тогда хе, + уея = х'е, + у'е„ (х — х') е, + (у — у') е, = О. нли Если хотя бы одна из разностей х — х' и у — у' была не равна нулю, то последнее соотношение означало бы, что векторы е, и е, линейно зависимы, а потому коллинеарны 5 36, теорема 1), значит, х — х' = О, у — у' = О, т. е. х= х', у= у'. Теорема 2. Всякий вектор а пространства может быть и притом единственным образом разложен по трем некомпланарным векторам е„ея еа.
" См. начало ф Зб, где дано определение понятия разложения любого вектора по нескольким векторам. Г а а а а Ю ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ А:!ГББРЫ 106 Доказательство существования разложения, Отложим все векторы е„е„е„а от одной и той же точки О: ОЕ, = е„ОЕ, = е„ОЕ, = е„ОЛ = и. Пусть Π— проекция точки А на плоскость Е,ОЕ, параллельно прямой ОЕБР а Р— проекция точки О на прямую ОЕ, параллельно примой ОЕ, (рпс. 87). Так как ОА =ОР+ РО+ Я А и векторы ОР, РЯ и ЯЛ соответственно коллннеарны векторам ег, е„е„то, полагая ОР РЯ ггА — =х, — =у, — =г, е, ' е, ' еа будем иметь РЯ = уе„ОА = ге„ ОР =- ле„ значит, а = хе, + уее+ ге,. Доказательство единственности разложения. Предположим, что существует еще разложение а = х'е, + у'е, + г'е,.
Тогда ке, + уе, + ге, = х'е, + + у'е,+ г'е„ или (х — х') е,+(у — у') ее+ +(г — г') е,= О. Если хотя бьг одна из Ркс 87 разностей х — х', у — у'„ . — г' была отлична от нуля, то последнее соотггощенне означало бы, что векторы е„е„е, линейно зависимы, а потому компланарпы (хх Зб, теорема 2), значит, х — х'=О, у — у'=О, г — г'=О, т. е х=х', у=у', г=г'. Теорема 3. Коэргдиг(иенты в разложении вектора а, лежаи(его в некоторои плоскости, по масштабным векторам е, и е, оби(ей декарпговой систелгы координат на этой плоскости являются координатами вектора а. 5 зк скхггягггое пеоизведеиис две х пькгоров гот Д о к а з а т с л ь с т в о, Пусть ве стор а лежит па;глоскости, в которой введена общая декартова система координат хОу с мас- штабными векторами ОЕ, = е, и ОЕ, = е, Отложим вектор а от начала координат ОА =а и разложим его по векторам е, и е,: а=хе, +уе,.
Выберем на осях Ох и Оу точки Р и Я, такие, что ОР = хе„О(е уе, Тогда ОА =ОР+Ог,г и, значит, ОР— проекция вектора ОА па ось Ох параллельно оси Оу, а ОΠ— проекция вектора ОА на ось Оу параллельно оси Ох. Далее, из соотношений (1) следует, что О Р ггге х= —, у= —, е, ' е, ' т.
е. х и у — координаты вектора а (см. з 11, гл. Н, а также замечание 5 к З 32). Теорема 4. Козффиг(иенгпы в разлткении вектора а по мосигтабным векпюрам е„е„ев оби(ей декартовой системы координат в проспгранстве явлщотся координатами вектора а. Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы. 3 а м е ч а и и е 1. Назовем радиусом-вектором произвольной точки М плоскости или пространства вектор ОМ, где Π— фиксированная точка плоскости (или пространства). Из доказанных теорем 3 и 4 етого параграфа следует, что общие декартовы каор.
динаты точки М равны координатам ее радиуса-вектора ОМ, где Π†нача координат. За меча н не 2. Теоремы 3 н 4 являются уточнениями теорем 1 и 2 в части, касающейся существования разложения любого вектора по двум неколлинеарным векторам на плоскости и по трем некомпланарным векторам в пространстве. Замечание 3. Утверждение теорем 3 и 4 может быть принято и за определение координат вектора.
$ 38, Скалярное произведение двух векторов Скалярным произведением аЬ двух векторов а и Ь в случае, если зти векторы ненулевые, называется произведение их модулей на косинус угла между ними аЬ.=)а~(Ь(еозгр. Г а а аа ПС ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ !08 Отсюда )а! =)'а', т. е. модуль вектора равен квадратному корню из его скалярного квадрата. Скалярное произведение двух векторов обладает следую!ними свойствами: аЬ = Ьа (коммутативность), а(ХЬ)=Х(аЬ) (ассоциативность умножения на число), а (Ь+ с) = аЬ+ ас (днстрибутивность). (1) (2) (3) Свойство (1) сразу следует нз определения скалярного произведения. Для доказательства свойств (2) и (3) заметим, что в силу теоремы 4 8 11 имеем аЬ=)а ()Ь) сов!р=~а( коорд.
пр.,Ь. Доказательство свойства (2): а(ХЬ)=)а) коорд. пр.,(ХЬ).=(а)коорд.(Хпр. Ь)= (а(). коорд. пр. Ь=) (аЬ). Доказательство свойства (3): а(Ь+с) =)а ! коорд. пр.,(Ь+с) = =) а((коорд. пр. „Ь+ коорд. пр. „с) = =(а(коорд. пр, Ь+)а)коорд. пр.,с=аЬ+ас. Если ненулевые векторы а н Ь коллинеариы и направлены в одну сторону, то угол между ними считается равным нул!о, а если ненулевые векторы а и Ь коллинеарнь!, но имеют противоположное направление, то угол между ними считается равным и. Наконец, если а=О или Ь=О (яля а=Ь=О), то скалярное произведение аЬ по определению считается равным пулю, Если считать величину угла нулевого вектора с любым вектором равной любому числу, то скалярное произведение двух векторов можно определить для любых двух векторов как произведение их модулей на косинус угла между ними (считая этот угол любым чпслом, если один нли оба вектора равны пулю).
Из этого определенна следует, что скалярный квадрат а' вектора а, т. е. скалярное произведение аа равно квадрату модуля вектора а. В самом деле, а'=аа=(а((а(созО=(а!'. з зз скдлянное пРОР!згедение и коопдннзтдх зой 5 39. Выражение скалярного произведения в координатах Ортонормированны,н базисом называется упорядоченная тройка 1, /, Ь единичных и попарно ортогональных векторов.
Пусть относительно ортонормированного базиса заданы два вектора своими координатами ': а = (х„у„гт), Ь = (х„у„гз), т. е. и = хз(+ уь/+ гтЬ, Ь =хзз+уву+ гзЬ. На основании свойств (1) — (3) скалярного произведения 8 38) находим аЬ = (хзз + уД+ г/Ь) (х,т + уву+ гзЬ) = хтхз!'+ у у~" + гзгзЬЬ + +(хзуз-(-хаут) й/+(уг, +узгт)/Ф+(гтхз+ г х,) Ьз. Но так как з, /', Ь вЂ” единичные н попарно ортогональные векторы, то зз=~з=Ьз=( Ц=Я=Ьз=б, значит, аЬ=х,х, +у,у,+г,г„ т. е. скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе, (равно сумме произведений их соответствуюи(их координат.
В частности, а' = ( а' ( = )/'хз )- уз + гз, (2) где а=(х, у„г), т. е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координапг, взятых относительно ортонормированного базиса. Теперь из формулы аь соз /р =— ПП/ь! относительно ортопормированного базиса; именно х, хз+ у,//з+ з,тз сов<у= х',+у',+ з', 1/ х'+у' +з' (3) ' В дальнейшем мо/кпо считать, что й /', й — едннпчные векторы осей Ох, Оу, Ог декартовой прямоугольной системы координат. Однако фнксврованне начала координат в пространстве пе обязательно прн определении коорднпаз вектора, ак коэффнцнентов разложения его по векторам базиса.
находим косинус угла Ч/ между двумя ненулевыми векторами, заданными своими координатами а=(хз, у,, гз), Ь=(х„у„гз) г л ь в а гк основы всктооиои ьлгввгы Из формулы (3) находим следующее необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов: х,х,+у у, +г г,=О, (4) т, е.
необходимым и достаточным условием ортогональноспги двух ненулевых векторов является равенство нулю суммы произведений соопгветствуюи(их координат, взятых относительно ортонормированного базиса. Теорема. Координатьг х, у, г вектора а относительно ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого вектора на единичные векторы базиса. Доказательство. На основании теоремы 4 й 37 имеем а =.
хг + у,~'+ гй, Умножая скалярно обе части этого равенства поочередно на й в силу свойств скалярного произведения и соотношений 1'=,)п=й'=1 Ц=,)й=й1=О получим х = а1, у = ау, г = ай. В частности, если вектор а единичный, то х=аг=сози, у=а~'=сов'р г=-ай=сову, где а, (), Т вЂ” углы между вектором а и векторами 8, ~, й. Так как вектор а единичный, то а'= (а!'=1, а в силу формулы (2) ~ а ~г= созе а+ соз'6+сов'у.
Таким образом, соз' а+ созе ~+ соз' у = 1. Косинусы углов вектора а с векторами г, г, й ортонормировапного базиса называются направляющими косинусами вектора а или направляющими косинусами оси, имеющей направление вектора а. Мы видим, что сумма квадратов направляющих косинусов оси равна !. Если вектор а пе единичный, то из соотношений (5) находим к=~а(сози, у=(а(совр, г=(а)сову и так как (а!= 1/х'+у'-1-г', то гу, . (1) р х'+д'+г' у хг+уг+г' *": Р+Т' язв.
скхлягное пеоизведвние в коогдинхтлх Пусть М(х, у, г) — произвольная гочка, заданная своими координатами относительно декартовой прямоугольной системы координат, а г=ОМ вЂ” ее радиус-вектор. Как было доказано, г = х1+ у,)+ гК где 1, ), й — единичные векторы соответственно осей Ох, Оу и Ог.
Умножая скалярно обе части этого равенства поочередно на ), г', Ф, получим г=г)г, х=г1, (8) М равны скапа единичные т, е. декартовы прямоугольные координаты точки лярным произведениям радиуса-вектора этой точки векторы осей координат. На плоскости формулы (1) †(8) примут вид: скалярное произведение аЬ- гх,+у,у„ модуль вектора (2') ~ а ! = )' хз+ у', угол между ненулевыми векторами соз ~р =,. ' '+"'»' (3') необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов х,х,+у,у,=О, (4') коордннаты вектора относительно ортонормированного базиса х=аг, у=а1, (5') соотношение между направляющими косинусами оси созг а + созг 8 = 1, выражения для направля1оших косинусов оси, заданной ненулевым вектором сова =, соз р = (у') у хх+у~' )/ х2+уй х=г'1, у=гу. (8') Базис 1, ) предполагается оптонормированным, а координаты всех векторов в формулах (1 ) — (Я') предполагаются заданными относительно этого ортонормированного базиса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
