1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Найти геометрическое место точек пересечения этих прямых (аерзьера Марии Апьези), принимая за начало прямоугольной системы координат точку О, а за ось абсцисс диаметр ОК (рис. 75). 8аз Отв. к = 2асозэгр, у=2а1а ~р; к= у'+ 4аэ 13. Круг радиуса г катится по кругу радиуса И, оставаясь вне его. Найти параметрические уравнения линии, описываемой точкой катящегося круга (эпициклонда), принимая за начало координат центр яеподнижиого круга, а за параметр — угол ! между положительным направлением оси абсцисс и радиусом неподвижного круга, идупгнм в точку касания подвижного круга с неподвижным. В начальном положении подвижная окружность касалась неподвижной в точке пересечеиэя последней с осью абсцисс (рис. 76).
Я+г Отв, к=()4+г) соз ! — г соз — (, г Я+г у=(В+г) з)п ! — г в)п — Ф. г 86 Глава ПП ЛИНИИ, ПОВЕРХНОСТИ И ИХ УРАВНЕНИЯ 14. Круг рздиуса г катится по кругу радиуса' )»», оставаясь внутри пего Написать параметрические уран »ения ливии, описываемой точкой катящегося круга (гипопиклоида). Выбор састемы координат и обозначений такой же, как и в предыдущей задаче (рис. 77) !7 — » 0»пз. х = ()7 — »] соз (+» соз г )7 — » »р = ()7 — «] ып ( — г з1п » 15. Показать, что прп )»=4» гяпоциклоида обращается в астроиду в з з х ' + у ' .=- а ' . ( р) Рис, 7б Рис 75 18.
Показать, что при )з=зг гипоциклоида обращаетск в диаметр неподвижного круга. Рис. 77 Рис. 78 17. Отрезок постоянной длины лвижется так, что один его конец скользит по окружности ха+уз=г', а другов — по оси Ох (шатупио-кривошипиый механизм). Составить уравнение кривой, которую описывает точка отрезка, разделяющая его на части а и Ь, й 99.
злдАчи к ГлАВе !![ ут У ' 2а+Ь Отв. 4 атхз(! — — ~ = ! гг — аг — хг — угу! . Ь у ( Ь !й. По окружности к'+уз=с' катится прямая, начальное положение отарой х=с. Определить траектори.о точки катящейся прямо!К принимая за начальное ее положение точку (г, 0) (эвольвснта окружности) (рис 78). Отв, х = г (соз !+ ! юп !), у = г (в!и ! — ! соз 1), 19. Уравнением какой поверхности является уравнение в де картавой прямоугольной системе координат? Отв. П.!оскость, делящая пополам вертикальные двугранкые углы, образованные координатными плоскостями хОг и уОг.
20. Какие поверхности выражаются уравнениями х=а (а М 0), у=Ь (Ь ~ 0), г=с (с ~ 0) в общей декартовой системе координат? Отв. Плоскости, парах.тельные координатным. 21. Какие поверхноств выражаются уравнениями х=О, у=О, г=О в общей декартовой системе координат? Ота. Координатные плоскости. 22. Какую поверхность определяет уравнение у' — хв=О в декартовой прямоугольной системе координату Отв. Две биссекторнальпые плоскостимежду координатными плоскостями уОг и гОк.
23. Составить уравнение пилиидрической поверхности, направляющей которой является окрунспость г=О, ха+уз=2)7у (Р > 0), а образующие параллельны вектору (а, Ь, 1). Отв. (х — аг)'+(у — Ьг)9=2!с (у — Ьг). 24. Составить уравнение пилиндра, описанного около сферы х'+уз+аз=-)79, образующие которого параллельны вектору (1, т, п). Ота.
(х'+уз+ ха)((в+т'+п') =)(г (!а+та+па)+(!к+ту+ах)в. 25. Состав!пь уравнение конической поверхности с вершиной в точке (О, О, с], направлнюп!ей которой является лемписката Бернулли (хв+ у')'= = 2аг (х' — уз) . 2а' Отв. (хв+ уг) = — (г — с) (х — ув). с' 26. Составить уравнение поверхности вращения, полученной вращением параболы у'=2рх вокруг осн Оу. Отв, уг=4рз(кв+гг). 27. Составить уравнения поверхностей нращения, полученных вращением лечнискаты Бернулли (х'+уз)'.=2а'(хв — у') вокруг осей Ох и Оу.
Ота, Вокруг оси Ок: (хв+ уз+ г')'=2а'(хг — у' — г'). Вокр!т оси Оу: (ха+уз+г')г=2ав(хв — ув+г'), 88 Г>э за 111 ЛИНИИ, ПОВЕРХНОСТИ И ИХ УРДВИЕНИЯ 28. Плоскость вращается вокру! одной из своих ирямь>х с постоянной угловой скоростью. Прямая, лежак!ая в этой плоскости, вращается вокруг одной из своих точек с угловой скоростью, вдвсе меиыией угловой скорости вра!пения плоскости. Составить параметрические уравнения поверхности, образованной движением этой прямой У к а з а и и г.
Направим ось Ог по оси вращения, а ось Ох расположим в начальном положении вращаю!кейса плоскости перпендику. дарко оси Ог (рис. 79). Допустим, кроме того, что прямая, вращающаяся вокруг точки' 1у, в начальном своем наложении была параллельна оси Ог и точка Д> отстоит от оси вращения на расстоянии, равно» а (так, что эта точка описывает окружность радиуса а с пентром О, расположсину>о в плоскосп! ХОу). Обозиачзя угол от оси Ох до луча Рис. 79 О>У >срез 2и и полагая 1УМ =о получим х=(а — ив(п и) сов2а, у = (а — о з! и и) з> п 2и, г=осови. Исключая и н о, получим уравнение поверхности в декартоЪЫХ'координатах: у (хз+ уз+ гг — аз)+ 2г (хз+ уэ — ах) =О.
Чтобы представить себе вид этой поверхности, достаточно взять не бесконечную прямук> Мд>, а конечный отрезок, длина которого меньше а; тогда полученная поверхность будет так называемым листом Мебиуса (рис. 80). 29. Составить уравнение поверхности, образующие которой параллельны плоскости хОу, пересекают ось Ог и тииню, заданную уравнениями хуг=аз, хз+увр йв.
Отв. 0вхуг=аз(ха+уз). Рис. 80 30. Две равные параболы имеют обшу!о вершину в начале координат; главные оси лежат на оси Ох, ио противоположны по направлению; одна парабола лежит в плоскости хОу, другая — в плоскости хОг, Составить уравнение поверхности, образованной прямыми,параллельнымиплоскостну — г=О и пересекающими данные параболы. Огиз. ув — гв=2рх. 3!. Вокруг оси Ог вращается линия х=((г), у=у(г).
Составить уравнение поверхности вращения. Опз. ха+ у ( (г)+уз (г). 32. Вокруг оси Ог вращается прямая, по которой пересекаются плоскости х - а и у=йг. Составить уравнение поверхности врашекин. Олш, хз-)- уз= аз+ дггэ. 42Ь ЗАДИт!и К ГЛАВЕ !!! 33. Составить параметрические уравнения линии Вивиани, по которой сфера ха+у'-(-г'=а' пересекается с пилиндром ха+ух — ау=у. Оть. х=а ь|п !соь г, у=аз!п'г, а=асов!. Рис.
8! 34, Плоскость, первоначально совпадающая с плоскостью хОа и содержащая прямую, выходящую из начала коордийат под углом а к оси Ох, вращается вокруг оси Ох с постоянной угловой скоростью а Одновременно точка, выходящая из начала координат, движется по указанной прямой с постоянной скоростью о. Составить уравнения траектории движущейся точки (коннчесная спираль) (рис. 3!), Оть. х=о! з(п а сова!, у о(тйп аа!п сот, х=о! соьс!, Гяьвх ъч ОСНОВЫ ВЕВ71ОРНОЙ АЛГЕВРЫ В э 7 гл. 11 дано определение вектора (класс всех равных между собой направленных отрезков), а в э 11 гл.
11 — определение координат вектора. В дополнение к сказанному в э 7 н 11 введем следующее определение: если вектор и сеть класс всех направленных отрезков, равных направленному отрезку АВ, то класс направленных отрезков, равных направленному отрезку ВА, называется вектором,' симметричным вектору а, и обозначается — и. В этой главе излагаются основы векторной алгебры, причем для координат вектора будет дано еще одно определение (по существу эквивалентное тому, котовое дано в й 11).
Векторная алгебра позволяет решать с полной общностшо и проще многие задачи, решение которых в координатах достаточно трудно (например, расстояние между двумя точками в общей декартовой системе координат, объем ориентированного тетраэдра в общей декартовой системе координат и т, д.). Кроме того, векторная алгебра служит удобным средством для изложения теории прямой линии на плоскости, теории плоскости и прямой в пространстве, в вопросах,-связанных с линейными преобразованиями, а также с линиями и поверхностями второго порядка.
й ЗО. Сумма векторов Суммой а+Ь векторов а и Ь называется вектор, начало которого находится в произвольной точке А пространства, а конец строится следующим образом: отложим от точки А вектор АВ, З ЬХ СУММЛ ВЕКТОРОВ равный вектору а, а от точки В вектор ВС, равный вектору Ь; тогда точка С и й~деог гонцом вектора а+Ь (рис. 82.).
Если произвести указанное построение, взяв вместо А любую другую точку Р, то получим направленный отрезок РК равный направленному отрезку АС. В самом деле, пусть Р— про- . В д извольная точка пространства, а д а О и Й вЂ” такие точки, что РО= а+Ъ = а и ЯР = Ь. Из равенства АВ = РО следует АР = ВО (см. теорему у 7), а из равенства ВС=ОЯ следует ВО=СЯ, значит АР=СЙ, а потому (снова применяем теорему з 7) АС=РЙ. Сумму двух неколлинеарных векторов а и Ь можно построить и так: откладываем от произвольной точки О векторы а и Ь ОА=а, ОВ=Ь и строим параллелограмм ОАСВ со сторонами ОА и ОВ.
Тогда ОС = а+ Ь (рис. 83). В С Сумма двух векторов обладает следующими свойствами: Ь а+(Ь+ с) = (а+ Ь)+с (ассоциативность), (1) 0 д а+О=а, (2) а а+( — а) =О, (3) Ряс. 83 а+ Ь =- Ь+ а (коммутативность). (4) Д о к а з а т е л ь с т в о а с с о ц и а т и в н о с т и с у м м ы. Рассмотрим трн произвольных вектора а, Ь, с. Пусть А — произвольная точка, а В, С и  — такие точки, что А В = а, ВС = Ь, Со = с. Тогда а+(Ь+с)=АВ+(ВС+С0)=АВ+ВО=АЗ, (а+Ь)+с=(АВ+ВС)+СО=АС+СО=АР. Свойства (2) и (3) очевидны. Доказательство комму тат явности суммы. Рассмотрим два вектора а и Ь.
Отложим вектор а от произвольной Глава 4У, ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ ЛЛГЕБРЫ точки А АВ=-а, а от точки В отложим вектор Ь: ВС=Ь, Тогда а+Ь= АС. Отложим теперь сначала от точки Л вектор Ь: АО=Ь. Тогда в силу равенства ЛО = ВС имеем ОС= АВ =а, т. е. ОС есть вектор и, отложенный от точки Р. Таким образом, Ь+а = = АО+ОС = АС и потому а+Ь=Ь+а. й 3!. Разность векторов Тогда на основании определения суммы двух векторов ОВ+ ВА = ОА, т. е. Ь+ВА =а, полагая ВЛ=х, будем иметь (рис.
84) Ь-Т-«=а. Докажем, что существует только один вектор х, удовлетворяющий последнему равенству. Предположим, что существует еще вектор «„ такой, что Ь+ х, = а. Тогда Ь+х=Ь+х„ Ь Рис. 84 Разностью а — Ь векторов а и Ь нааьоается такой вектор х, что х+Ь=а. Разность а — Ь двух векторов всегда существует и единственна. В самом деле, докажем сначала существование разности, т. е, докажем, что каковы бы ни были векторы а и Ь, всегда существует такой вектор х, что х+Ь=а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
