1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Определение 2. Функция Р(х, у, г) называется однородной, если она обладает следующими свойствами: тб Глава гм ЛИНИИ, ПОВЕРХНОСТИ И ИХ УРЛВНЕНИЯ 1) если точка (х, у, г) входит в область определения функции Г- (х, у, г), то точка (ггх, йу, йг), еде й — любое число, также входит в область определения этой функции; 2) сугцествует такое число и, что для любой точки (х, у, г) из области определения функции с (х, у, г) и для любого числа й выполняется соотношение Г" ()гх, )гу, )гг) = я'Г" (х, у, г). Число и называется показателем однородности.
Теорема. Если уравнение Г(х, у, г)=0, еде Г" (х, у, г) — однородная функция, в декартовой системе коор- динат является уравнением поверхности К, то эта поверхность коническая, причем вершина конуса лежит и начале координат. До каза тельство.
Если точка М(х, у, г) (отличная от начала координат) лежит на поверхности, заданной уравнением Г" (х, у, г)=0, то на той же поверхности лежит точка (ях, ггу, яг), где й — любое число. В самом деле, Р(йх, йу, йг) =гг" Г (х, у, г)=0. (1) Если й принимает все действительные значения, то точка (ях, йу, яг) описывает всю прямую, проходящую через точку М и начало координат О, так как точка (йх, )гу, йг) в случае '.~0 1 — !г делит направленный отрезок МО в отношении —.
Действигг тельно, вычисляя координаты делящей точки по формулам з 13, получим ! — !г ° х+ — о гг = йх, 1+— а 1 — !г в+ — о !г = lгу ! — /г !+— гг Начало координат (в случае п>0) также принадлежит поверхности, заданной уравнением Г (х, у, г) = О, так как, полагая в соотношении (!) )г=О, получим Г (О, О, 0)=0.
Таким образом, если на поверхности К лежит какая-нибудь точка, не совпадающая с началом координат, то на пей лежит вся прямая, проходящая через эту точку и начало координат. Итак, поверхность образована прямыми, проходящими через начало координат, т. е, является конической поверхностью с вершиной в начале координат. Замечание. Обратная теорема ннтсрсса пе представляет, так как для любой конической поверхности К с вершиной в начале координат функцию Е(х, у, г) можно определить так: она равна 4 26 повгпхпости ппдщвь!ия 77 пулю во всех точках этой поверхности и не определена ни в одной другой точке пространства. Такая функция Р(х, у, г) однородна и уравпенцс Р(х, у, г) =-0 является уравнением поверхности К. $ 26. Поверхности вращения Поверхностью враи(ения назь!вается поверхность, обладающая следующим свойство,и; любое ее сечение плоскостью, проходящей через точку поверхности, перпендикулярной к некоторой прямой 1 (ось вращения), сод ржит окружность (паралмль), центр которой лежит на прямой 1 и которая проходдт через взятую точку.
Меридианом поверхности вращения называют ес сечение плоскостью, проходящей через ось вращения. Иногда лтсридианом называют сечение поверхности вра!ценна полуплоскостью, ограниченной осто вращения. Говорят, что поверхность вращения получается вращением ее меридиана (любого) вокруг оси 1 ( . 04).
(рнс. 64 . Теорема. Пусть относительно декартовой прямоугольной системы координат хОу на плоскости задан меридиан а С поверхности рис. 64 вращения уривнением Р(х, у)=0. (1) Тогда уравнениг поверхности П, образованной вращением линии С вокруг оси Ох в декартовой прямоугольной сиса!еме координат Охуг (рис. 55), будет име!пь вид Р(х, )~уа+га) =О. (2) До к аз а телье тв о. Расстояние от произвольной точки М(х, у, г) пространства до оси Ох равно у у'+г'. Поэтому точка М(х, у, г) пространства лежит на поверхности П тогда и только тогда, когда точка Р плоскости хОу с абсциссой х и ординатой )Гуа+га лежит иа данном ес мсридиане, т.
е. тогда и только тогда, когда выполнено соотношение (2). 3 а м е ч а н и е. Если уравнением Р (х, у) =-Озадано сечение поверхности П положительной полуплоскостыо хОу (т. е. полуплоскостью, для всех точек которой у>0), то уравнение поверхности П имеет вид Р(х, )г'уа+ за) =0 (з) (см. ниже пример 3 и пример 4„случай Ь>а>0), а если уравнением Р(х, у) =0 задано сечение поверхности П отрицательной * Здесь под меридианом мм понимаем сечепие поверхности вращения плоскостью хор. 78 Раааа гт!.
ЛИНИИ, ПОВЕРХНОСТИ И ИХ УРЛВНЕНия полуплоскостью хОу (т. е. полунлоскость!о, для всех точек которой у(0), то уравнение поверхности П имеет вид Р (х, — )г г/г+ гг) = 0 (4) (см. виже пример 4, случай — Ь>а>0). Если, наконец, уравнение Р(х, у) =0 определяет на различных интервалах изменения х сечение поверхности П, то положительной, то отрицательной полуплоскостыо хОу, у Р С то перед радикалом надо брать знак+ (уравнение (3)) или знак †(уравнение О (4)) соответственно интервалу изменех.(О- — ь- — х ния х (см.
пример 5). Пример 1. Рассмотрим уравнение окруж- ности радиуса ос центром в начале декартовой С прямоугольной системы координат хоу. При вращении этой окружности вокруг оси Ох Рис бб получим сферу радиуса а с центром в начале координат. Ураннение этой сферы па основании предыдущей теоремы имеет вид х'+(У ув ггг)'=а', или х'-',-у'-!-г'=п'. Пример 2. Рассмотрим прямую, заданную уравнением у=ух относительно декартовой прямоугольной системы координат.
Уравнение поверхности вращения, полученной прп вращении этой прямой вокруг оси Ох, т. е. уравнение прямого кругового конуса с вершиной в начале координат, име!ощего своей осью Ох, имеет вид б: Уух+ггй йх (знак+берется для тех значений х, для которых Ьх > О, а знак — для тех значений х, для которых Ьх ( 0), или у'+ г' — Ьгхз = О. Тангепе угла а между осью Ох и образующей этого конуса равен 1яц=а Пример 3. Рассмотрим прямую, парал.!сльиую осп Ох, заданную уравнеяием у=Ь(Ь > 0) относительно декартовой прямоугольпои систетпя координат.
Уравнение поверхности, полученной при вращении этой прямой нокруг оси Ох, т. е. уравнение прямого круглого цилиндра радиуса Ь, ось которого совпадает с осью Ох, имеет вид )' уг+гг=ь, или уг+гг=Ь'. Пример 4, Рассмотрим окружность радиуса а с центром в точке (О, Ь), лежа!цем па оси Оу, заданну!о уравнением х'+ (у — Ь]'= а' относительно декартовой прямоугольной системы координат. Поверхность, полученная вращением этой окружности вокруг оси Ох, имеет уравнение х +(и" )' уг-(-г Ь) аг чсв повгихностн впдщиння причем, если Ь > а > О, то перед радикалом надо взять только знак +, если — Ь > а > О, то только знак —. Если ) Ь( < а, то чм Упрощая последнее уравнение, получим ха+уст гзтЬ' — аз= лс 2Ь )Г уз-)-гз, (() Рас.
66 которое эквивалентно уравнению (х'-(- уз+ г' -(- Ьг — аз) з = 4 уз (уз+ гг), (2) Если Ь > а > О, то эта поверхность называется гором (рис. 66). Получим параметрические уравнения этого тора. Пусть С вЂ” центр окружности произ Рис. 67 вольного сечении тора полуплоскостью, проходящей через ось Ох; М (х, у, г) произвольная точка, лежащая на окружности (С); )7 — проекция точки М на плоскость гОу, а Р и Π— проекппи точки )т на оси Ог и Оу (рис.
67). Обозначим через и угол от оси Оу до оси ОС и плоскости оОг, э через о — угол оз луча ОС до луча СМ в плоскости СОх (которая ориентирована ориентированным углом ОС, Ох, см. 5 !б, п.2). во Гв ава 11!. ЛИНИИ, ПОВГРХИОСТИ И ИХ УРАВИСИИя тогда х = ЙМ = СМь!по = а ь! п а, у = ОО = О!1 соь и = (ОС+ Св! )сов и = (Ь+ а соь а) сов и, г=ОР = 012 саь ~и — — ) = ОП Мп и=(а+ а еаза) ьш и, 2) Итак, параметрические уравнения тара: х= а Мп а, у=(Ь+ а соь а) соь и, г =(а+ а саь а) л|п и. (3) Область О изменения параметров и и о такова; 0 и < 2л, 0 ( а < 2п |О| Параметр и называется долговая точ ки вн тора, а параметр а †широт.
Исключим из уравнений (3) параметры и и а Имеем к'+ уг -|- г' = а' М и ' а + |а + а с а ь а |' = ив+ Ьь -)- 2иа сов о, . откуда )далее, значит, кг+ у )-в-+Ьь — ив=2Ь (а+ а соь а). у'+ г' = |Ь + а сов а)'-', (хь+ дь+ гь+ Ьа — а')' = АЬ' (уь+ гг) то же ураииение, что и полученное выше, 3 а м е ч а н и е. Можно (а если не опираться на первый способ решения, то и нужно) доказать, что если координаты х, д, г точки М удовлетворяют последнему уравнению, та найдутся такие числа и и а из полуинтервала (0,2л), что х, у, г будут выражаться формулалти (3). Пример 5. Поверхность, полученная при вращении вокруг оси Ох синуса. иды, заданной уравнением у=Ми к относительно декартовой прямоугольной системы координат, выражается уравнением ь: ) уь+га=ь!п х, или у'+г'=ь!п'х, а поверхность, полученная вращением той же синусоиды вокруг Оу, выражается уравнением у=а|и (ш )вгкь+гв), или уь=ь|п )1 кь ! гь $27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
