1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Линия в пространстве и ее уравнения Линия в пространстве может быть задана двумя уравнениями У(х, у, г) =О, Ф(х, у, г)=0 (!) поверхностей, пересекающихся по этой линии. Линию в пространстве иногда задают параметрически: к=х(!), у=у(г), г=г(1), (2) причем параметрические уравнения линии в пространстве определяются так же, как и параметрические уравнения линии на плоскости.
Если поверхность Я задана параметрически: х=-х(и, о), у=у(и, о), г=г(и, о), (3) то линию С, лежащую на этой поверхности, часто определяют одним уравнением )(и, о)=0 (в частности и=.-и(о) или о=о(и)) между криволинейными координатами и и о. Уравнение )(и, о)=0 (4) й вв.
пРимеРы уРлвнений лиггии В прострлнстпе 81 $ 28. Примеры уравнений линий в пространстве Пример К уравнения ° +уз= з, относительно декартовой прямоугольной системы координат выражают окруж- ность С радиуса а с центром в начале координат, лежащую в плоскости хОу, так как первое уравнение, т. е. ха+уз =а' есть уравнение круглого цилиндра адиуса а, осью которого является Ог, а г=о есть уравнение плоскости хоу. ти две поверхности пересекаются по окружности С Пример 2.
Пусть точка М движется равпочерно по окружности радиуса а так, что радиус ОМ этой окружности вращается с постоянной угловой ско- ростью еь а плоскость окружности двин<етсгг равномерно и поступательно в пространстве так, что ее центр перемешается по прямой, перпендикулярной плоскости округкностн, с постоянной скоростью о. Тогда точка М описьгв ает линию, называемую обыкновенной винтовой линией Примем центр окружности в начальноч ее положении за начало коорди- нат, плоскость, в которой опа распологкена, — за плоскость хОу, а прямую, проходящую через центр окружности перпендикулярно ее плоскости, — за ось Ог (рис.
68) (оси Ох и Оу взаннно перпендикулярны) Пусть М,(а, О, О) — начальное положение движущейся точки За время г точка М, пройдет по окружности дугу, равную эг), а в направлении оси Ог пройдет путь Ы Следовательно, се координаты в момент ) будут: х=а сов юг, у=аз)п юб г=он Произведем замену параметра, полагая ог) =и, о) = — и=)га, ОЗ о где Л =-— ог называется уравнением линии С, если любая пара значений и, о, удовлетворяющая уравнению (4), пе выходит из общей области определения 0 функций х(и, о), у(и, о) и г(и, о), а точка гМ с координатами х(и, о), у(и, о), г(и, о) лежит на линии С.
Ооратно, для любой точки М линии С наидется пара чисел и, о, входящая в область 0 и такая, что ) (и, о)=0, а х(и, о), д(и, о), г(и, о)— координаты точки М, В частности, липин, выражаемые уравнениями и=С,, о=С„ где С, и Сз — постоянные, называются координатными линиями поверхности 5, заданной параметрическими уравнениями (3). Вместо одного уравнения (4) линию С на поверхности 5 задают и параметрическн (в криволинейных координатах и, о): и =- и (г), о = о (г). (5) Этн два уравнения называются внутренними уравнениями линии, лежащей иа поверхности 5, заданной уравнениями (3), если функции и(г) и о(г) имеют общую область определения 0„; любому числу г из области О, соответствует пара чисел и((), о(г), пе выходящих из области 0 и таких, что точка М(х(и(г), о(г)), у(и(г), о (г)), г(и(г), о(г))) лежит на линии С. Обратно, дг)я любой точки М 'линии С существует число г, облила!ощее указать пым свойством.
62 Г в ага !г! ЛИНИИ, ПОВЕРХНОСТИ И ИХ УРЛВНЕНИЯ получим р = а соз э 5(п и г = а 5(п о - <см пример 2, лх 24). Ж а Координатными линиями и=С, где С— число нз полуиитервала [0,2н), явля!отся сечения этой сферы полуплоскостяни, проходя. сними через ось Ож это — полумеридиаиы сферы (если за полюсы принять точки (О, О, .л — ) . Координатными линиями о=С, где С вЂ” число из интервала 2) ( — — —, являются сечения сферы плоскостями, перпендккулярными оси 2' 2)' Ог; зто — параллели Уравнения о — —, о= — выполняюгся соответсти !з 2 ' 2 )! евино только для иоллосов(0, О, — —;) ( ! ! ! )()! (!)(( (0( и(0,0,— ) Прнмвр 4. Рассмотрим прямой круговой цилиндр радиуса а, ось которого «()!)))))(! 0(] совпадает с осью Ог, Уравнение этого ((((! ! ))! цилиндра можно записать в виде хз+уз=аз, Рнс. 09 но можно ззписать и в параметрической форме: 0-.:-; и < 2л, ю Со(+во к=а соэ и, у=-аз)п и, Ф=р! х =а сов и, !У.=аз(п и, г =Ли.
()) Зтн уравнення и являются парачетрнческими уравнениями винтовой линии Они выража!от закон лвижсиия точки по этой винтовой линии. Параметр и принимает все лействи гольные значения Если заменить на противо. положиое направление вращения радиуса (или перемеженне плоскости о!груж!аости], то получим ииитову!О линию ирол нвоположиой нарезки. Различают правую н леву!о винтовые липин (рнс.
69]. Матах!этически имеет смысл говорить Лн!ИЬ О ВИИГОПЫХ ЛИНИЯХ П(ЛОТИВОПОЛОЖИЫХ или одинаковых ориентаций; понятие о пра. вой н левон винтовых линиях имеет лиюь физический сл!ыс.!, Пример 3. Расслютрим параметрические уравнения сферы с центром н начале координат и радиусоп а (система координат декартова прямоугольная): х = а соз о соз и, 0в и<2л, %99. ВАЛАЧИ К ГЛАВЕ И! 83 где и — угол от оси Ох до луча ОМ', а М' — проекция произвольной точки М (х, у, г), лежащей на поверхности цилвпдра, в плоскость хОу. Линейное однородное уравнение о — йи, где и ~ О, есть внутреннее уравнение винтовой липни, лежащей на рассматриваемом цилиндре.
Параметрические уравнения этой винтовой линии: х=асози, д=ащпи, хй йи (см, уравнения (!) примера 2 этого параграфа). В заключение отметим координатные липни цилиндра, заданного параметрическими уравнениями (!). у!ниии и =С вЂ” зто прямолинсииыс образуюп!не цилиндра, так как сели и иксе~ постоянное значение нз полуиитервала (0,2и), то точка М (х, у, х) поперхвостн цилиндра проектируется а фиксироваииу1о точку М' (а соэ С, аз(п С, О), и при изменении о от — ос до + оэ точка М (асозС, аз(п С, с) описывает прямолннепную образ)чагцую, проходящу!о через точк, М'. Ликии о=С (где С вЂ” любое число) являются окружностями, по которым плоскость, перпендикулярная к оси цилиндра, пересекает это цимнщр 2 29.
Задачи к главе !)! для самостоятельного решения ), На плоскости фиксированы две различные точки А и В; фиксировано положительное число й. Найти геометрическое места точек М, для каждой из которых МАз+ МВт=й. АВз Отз. Пустое множество, если й < —,; середина отрезка АВ, если 2 АВз АВ' й= —; окружность с пснтроч в середине отрезка АВ, если й > — .
2 2 2, На плоскости фиксированы две различные точки А и В; фиксировано число й. Найти геометрическое место точек М!, для каждой из которых МАз — МВз =-й. Отз. Прямая, перпендикулярная АВ. 3. Лана точка О и прямая (, не проходящая через О. Пусть Р— переменная точка прямой !. На луче ОР берется точка М, такая, что ОР.ОМ=Й, где й — данное положительное число. Найти геометрическое место точек М Отв. Окружность 4. Написать в полярных коорднпатах уравнение прямо(!, перпендикулярной полярной оси и отсекающсй па ней отрезок ОА =а.
и Отв. г =— ссз г! 5. Написать уравнение окружности радиуса а в полярных координатах, принимая за полюс точку О па окружности, а эа полярную ось проходящий через нее диаметр ОА. Ота. г=2а сов ~у. 6. Прямоугольник, две стороны которого совпадают с оскми координат,' изменяется так, что его диагональ сохраняет постоянную величину а. Линия, оп!кывасмая основанием перпендикуляра, опущенного из вершины прямоугольника, противоположной началу координат, на его диагональ, называется 81 Гхавв ОК ЛПСсин, ПОВИПХИООтн И ИХ зрхвпппип астроидой. 11айтп сс уравнение, принимая за осн координат сссссодссссжньсе стороны прямоугольника (рис.
70). т з з Опсв. х +и =а з, з 3 7. Даны точка 0 и прямая, находящаяся от точки 0 на расстояния ОА=-а. Вокруг точки 0 вращается луч, пересекающии данную прямую в псретссссной точке В. На этом луче по обе сто- ропы от точки В откладываются отрезки ВМс=ВМт=-Ь. Написать в полярнйх координатах уравнение липин (конхоида Никомеда), аписьспаемой точками Мс и М, при вращении луча, принимая за полсас точку О, а за полярную ось — перпендикуляр ОА, опущенный нз тачки 0 па данную прямую; перейти затем к декартовым координатам, принимая за начало системьс точку О, а за ось абсписс прямую ОА (рис. 71), и Оспв.
г= -ь Ь, или соз ср (ха+уз) (х — а)' — Ь'х'=О. 8. Даны точка 0 и прямая, находящаяся от точки 0 на расстоянии ОА =а. Вокруг точки О вращает- Рис. 70 Рис. 72 Рис. 73 Рис, 71 принимая за полюс точку 0 и за полярную ось перпендикуляр ОА, опущенный иа 0 па данную прямую. Перейти затем к декартовым координатам, принимая за начало координат точку О н за ось абсцисс прямую ОА (рис.
72). ся луч„пересекающий прямую в переменной точке В. На этом луче по обе стороны от точки В откладываются равные отрезки ВМт=ЗМ,=АВ. Составить уравнение линии (строфоида), описываемой точками Мс и Мз пРи вРащении лУча, в полЯРных кооРдинатах, 4 ЭЭ. ЗДДДЧИ !( ГЛЛПП !!! Отв г= — -г а!и <р, илн (х +уз) (к — а)' — а'у=О. а 3 з соз гр 9. На окруэкностн радиуса а взята точка О и через точку К, диаметрально противоположную точке С, к окр)окпостн проведена касательная.
Вокруг точки О вращается луч, пересекающий окружность н касательную соответственно в точках А и В. На этом луче от то !ки О откладываем отрезок ОМ, равный отрезку АВ .!уча, заключенному между окружностью и касательной, Линия, опнсывземая точкой М прп вра!ценип луча, называется цнссоидой Диоклсса. Написать се урввнспие в полярных координатах, принимая эа полюс точку О и за полярну!о ось диаметр ОК, Перейти затем к декартовым координатам (рпс. 73). 2а Мпа й! к" Отв. г= ', нли уэ= соз <р ' 2а — х Рис. 74 !О.
На окружности рада)са а взята точка О н через нее проведен диаметр ОА. Вокр)г точки О вращается луч, пересекающий окружность в переменной точке В. На э!оп луче по обе стороны от точки В откладываются отрезки ВМ,=ВМэ=.АВ, Написать уравнении линий, описываемых точками М, и Мэ при вращении луча.
Отв. Две окружности (к — а)э-,'-(у — а)'=2аэ, (х — а)т+(у+а)'=2аз. 11. Отрезок постоянной длины 2а скользит своичк коицамп по сторонам прямого угла. Найти ливи!о, описываемую при этом движении отрезка основанием перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на отрезок (в полярных и декартовых координатах) (рис. 74). Отв. г=-а ып 2!р, (хэ+уз)в=- 4а'х'у'. 12. На окружности радиуса а взята точка О Через точку К, диаметрально противоположную О, к окружности проведена касательная. Вокруг точки О вращается прямая, пересекающая окружность и касательную соответственно в то !ках А и В. Из точки А проводится прямая, параллельная касательной, а из точки  — прямая, параллелыщя диаметру ОК.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
