1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Отложим векторы а и Ь от одной и той же точки О: ОА=а, ОВ=-Ь. В 32. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧИСЛА НА ВЕКТОР вз откуда — Ь+ (Ь+ Х) = — Ь+ (Ь + «2), (( — Ь)+Ь)+«=(( — Ь)+Ь)+Х„ О+«=О+«„ «=Хм Отметим еще равенство а — Ь=а+( — Ь). В самом деле, (а+ ( — Ь) 1+ Ь = а+. 1( — Ь) + Ь] = а + О = а. ф 32. Произведение числа на вектор Произведением Аа числа А на вектор а в случае аФО, А Ф"О, назьшается вектор, коллинеарн2яй вектору а, модуль которого равен (й((а) и который направлен в ту оке сторону, что и вектор а, если А > О, и в противоположную, если А <О. Если 2=О или а=О, то по определению )а=О. Произведение числа А на вектор и обладает следующими свойствами: 1 а=а, (1) А (ра) = (А р) а, (2) ().+р)а=ка+ра, (з) А (а+ Ь) = Аа,— АЬ.
(4) Свойство (1) сразу следует из данного определения произведения числа на вектор. Для доказательства свойства (2) заметим, что в случае Л 7ьО, р ЕО, а=,ьО оба вектора А(ра) и ().р) а имеют одну н ту же длину, равную !А/!р//а/, и одно и то же направление (такое же, кака, если й и р — числа одного знака, и противоположное с а, если А и р — числа разных знаков).
Соотиошение (2), очевидно, также верно, если 1 =0, или О=О, или а=О. Докажем свойство (4). Предположим, что векторы и и Ь неколлинеарны, а А фО. Отложим вектор а от точки А АВ =а. а вектор Ь от точки В ВС=Ь. Тогда АС= а+Ь. Построим векторы АВ'==Аа и ЛС'=А(а+Ь) (рис. 85). Из подобия треугольников АВС и ЛВ'С' следует (как в случае А > О, Г а а а а ж ОГНОВЫ ВЕКТОРНОЙ ЛЛГГГРЪ| так и в случае Л <О), что В'С'=ЛЬ.
Но АВ'-|-В'С'=АС', следовательно, Ла+ ЛЬ= Л (а+ Ь). а<0 есть единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор а. Отсюда а=|а|а'. 4. Если векторы а и Ь коллинеарны и а=~О, называется число Л, такое, что Ла=Ь. Замечание ь то отношением— а Если екторы рону, то а и Ь коллинеарны и направлены в одну сто- ь |ь! а |о! ' а если †разные стороны, то ь |ь| а |а! Если Ь=О(афО), то — =О. ь Отношение неколлинеарных векторов не определяется. 3 а меч а н не 5.
Из замечания 4 и определения координаты точки, лежащей иа оси координат Я 2), следует, что координату точки М на оси координат с началом О и единичной точкой Е Случай коллинеарности векторов а и Ь предоставляется рассмотреть читателю (вопрос в этом случае сводится к свойствам (3) и (2)). Доказательство свой- в в ь С ства (3) предоставляется читателю (надо доказать, что векторы (Л+)л) а и Ла+ )ла имеют В е одинаковые модули и паправ- .Л| лепно). Ф А Замечание !. Вектор — а, противоположный векто- А ааЬ С С' В' ру а, равен — ! .а. д>О 3 а м е ч а н н е 2. Частное а — где Л Оь О, определяется Ряс.
85 1 как произведение — а. л ' В а м е ч а и и е 3. Если а ~ О, то вектор о а — =а |а| >ее тиогемы о пгогкпиях пик~опон 95 можно определить так: ОМ ОЛ1 х= — ', пли х=-— ОЕ т. е, координата точки Л(, лежашей на декартовой оси координат> равна отношению вектора ОМ к масштабному вектору. Из последнего соогношения следует, что ОМ =хе. ф ЗЗ. Теоремы о проекциях векторов Теорема (. Проекция суммы двух векторов (имеется в виду любой из трех видов параллельного проектирования) равна сул>ме их проекции пр. (а+Ь) = пр.
ад ир Ь. Д о к а з а т е л ь с т в о. Отложим вектор а от произвольной точки А: АВ =-а, а от точки В отложим вектор Ь: ВС =Ь. Тогда ЛС=а+Ь. Пусть А', В', С' — проекции точек Л, В и С. Тогда по определению проекции вектора пр. а= Л'В', пр. Ь =В'С', пр.
(а+Ь) = А'С' и так как А'В'+ В'С' = АР, то пр. (а+ Ь) =- пр. а+ пр. Ь. Теорема 2. Проекция произведения числа Л на вектор а равна произведению число Л на проекцию вектора а, т. е. пр (Ла) = Л пр. а. Л о к а з а т е л ь с т е о Отложим векторы а и Ла от произвольной точки А: АВ=а, АС=.Ла=ЛАВ; глава ек основы ввктогнои ллгавгы 96 отсюда Пусть А', В' и С' — проекции точек А, В н С.
Так как при параллельном проектировании сохраняется порядок точек на прямой н отношение отрезков, лежащих на одной прямой, то, предполагая, что точки А' и В' различны (в этом случае различны и точки А и В), имеем АС А'С' В АВ А'В' 6гануда А'С' = ХА В', нлн пр.
(Ха) = Х пр. а. Если точки А' и В' совпадают, цо точки А и В различны, то точка С' совпадает с точками А' и В' и соотношение пр. (ка) = кпр.а верно и в этом случае. Опо, очевидно, верно и в том случае, если совпадают точки А и В(а=О). ф 34. Теоремы о координатах векторов Теорема 1. Если векторы а и Ь лежат но оси, то координата их суммы равна сумме' координат слагаемых, т. е. коорд. (а+Ь) = = коорд.
а+ коорд. Ь. До к а з а т е л ь с т в о. Отложим вектор а от любой точки А оси координат, на которой лежит этот вектор: АВ= а, а от точки В отложим вектор Ь: ВС=Ь, Тогда АС=-а+Ь. Далее, коорд. а=АВ, коорд. Ь=ВС, коорд. (а+Ь)=АС и на основании теоремы Шаля: коорд. (а+Ь)=коорд. а. +коорд. Ь. Теорема 2. Если вектор а лежит на оси, то координата произведения числа Х на вектор а равна произведению числа Х на каор- Е 35 СУММА, РАЗИОСТЬ И ИРОИЗВЕДЕИИЕ ЧИСЛА ИА ВЕКТОР 97 динату вектора а коорд.
(Ла) =Л коорд. а. Доказательство, Предположим, что Лф:О и а~ЬО. Отложим векторы а и Ла от произвольной точки А оси: А В = а, АС' = Ла. Тогда коорд. а = АВ, коорд. (Ла) = АС и требуется доказать, что .4С = ЛАВ. Имсем ( АС) =АС=)Ла) =(Л() а( =(Л) АВ=) Л(! АВ~ =) ЛАВ). Если Л) О, то векторы АВ и АС имеют одинаковое направление, значит, АВ н АС вЂ” числа одного знака и АС=ЛАВ. Если же Л ( О, то векторы АВ и АС имеют противоположное направление, значит, АВ и АС вЂ” числа разных знаков, а АВ и ЛАС вЂ” числа одного знака, следовательно, АС = ЛА В. Равенство коорд. (Ла)=Л коорд. а верно также в случае Л=О и в случае а=О. й 35.
Сумма, разность и произведение числа на вектор в координатах Теорема 1. Координаты суммы двух векторов равны суммам соответствуюи)их координат слагаел1ых, т. е. если относительно оби1ей декартовой системы координат на плоскости заданы векторы а =-(хм У,) и Ь = (х„дв), то а+Ь=(х, +х„у,+у,). Если относительно оба<ей декартовой системы координат в пространстве заданы векторы а = (х„д,, г,) и Ь = (х„д„гв), а+Ь=(хт+хв дл+УВ1 гт+гв) Доказательство. Пусть в обшей декартовой системе координат па плоскости а=(х„у,), Ь=(хв, дв). Спроектируем векторы а, Ь и а+Ь на ось Ох йараллельпо оси Од.
Пусть пр. а, пр. Ь и пр. (а+Ь) — зти проекции. На основании теоремы 1 у ЗЗ н теоремы 1 у 34 имеем коорд. пр. (а+ Ь) = коорд, (пр. а+ пр. Ь) = коорд. пр. а)-коорд, пр. Ь. Но по определению координат вектора 4 П. С. Молевое .е а ! ь !г Ос!юв!я згктояной клгевоы коорд. ! р а =-х„коорд пр. Ь=х„а коорд. пр, (а+Ь) есть первая координата вектора а + Ь. Таким образом, первая координата вектора а +Ь равна х, +х,.
Аналогично доказывается, что вторая координата вектора а + Ь равна д,+д,. В случае пространства надо проектировать данные векторы на оси параллельно координатным плоскостям. С л е д с т в и е. Координаты разности а — Ь двух векторов равны ревностям соответствующих координат а и Ь, т. е. если относительно общей декартовой системы координат на плоскости даны векторы а=(хм д~» и Ь=(х„у,», а — Ь =- » х, — х,, у, — уз». то Если относительно обшей декартовой системы координат в пространстве даны векторы а=-(х,, у„г,» и Ь=(х„де, гг», а — Ь = (х — х, у — у, гг — ге». Для доказательства достаточно заметить, что то а — Ь= а+( — Ь) — Ь= ( — х, — дм — 2~». Ла=(Лх, Лу» (на плоскости), Ла =(Лх, Лу, Лг» (в пространстве).
Доказательство Проведем доказательство для плоскости (доказательство для пространства аналогично). Пусть пр. а — проекция вектора а па ось Ох параллельно оси Од. В силу теоремы 2 ( ЗЗ и теоремы 2 й 34 имеем коорд. пр. (Ла) = коорл (Л пр а) = Л (коорд.
пр. а) = Лх. Аналогично доказывается, что вторая координата вектора Ла равна Лу, Теорема 2. Координат ! произ«еденич число на вектор равны произведениг!л! этого число но соогпветств!7!ои(ие координаты вектора, т е. если относительно оби(ей декартовой системы координат видак вектор а=(х, у» (на плоскости) или а=(х, у, г» (в кросттанспые), то чае линейнАя злвигимост! Еектоиое ф 36, Линейная зависимость векторов.
Линейнаи комбинация векторов. Коллинеарность векторов. Компланарность векторов Определение. Векторы а, а„..., а н зьшиются линейно зависимыми, если существуют числа ).„, ) а,..., ), среди которых есть ло крайней мере одно, не равное нулю, !Лакие, что )1Аа!+) еат+...
+)сааа =- О. СУММа ПРОИЗВЕДЕПнй ЧИСЕЛ Ат, А„..., ), На ВЕКТОРЫ а„а„..., а„, т. е. вектор Р = 1.!а!+).еа, +... -1-1. а называется линейной комбинацией* векторов а„а„..., а . Если вектор р представлен в виде линейной комбинации векторов а, а„..., аш то говорят также, что вектор р разложен по векторам а„а„..., а,. Данное выше определение линейной зависимости векторов а„ а„ ..., аа, очевидно, эквивалентно такому: векторы а„ а„ ...,а„ лйнейно зависимы, если один из пнх можно представить в виде линейной комбинации остальных (или разложен по остальным). Теорема 1.
Для того чтобы два вектора а, и а, были линейно зависимь1, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны. Доказательство необходимости. Дано: векторы аа и а, линейно зависимы, Требуется доказать, что они коллипеарны. Так как векторы а, и а, линейно зависимы, то сушествуют числа Х! и Х„не равнйе нулю одновременно, и такие, что Атат-1-)свае = О.
Пусть, например, )с -„ь О; тогда Аа а = — — а 1 а 1 отсюда следует, что векторы а, и а, коллинеарны. Доказательство достаточности. Дано: векторы а, и а, коллинеарны. Требуется доказать, что они линейно зависимы. Если а1=0, то имеет место равенство 1 а„+О а,=О, а это означает, что векторы а, и а, линейно зависимы (Х1=1~О). Если же ад 4:О, то, полагая — '=Х, находим а,=да„или 1'а— — А а,=О, значит векторы а1 и а, линейно зависимы. Определение. Три вектора называются компланарными, !ели, будучи отложенными от одной точки, оказьшаются лежащими в одной плоскости. " В ате1! ОПРЕДЕЛЕНИИ НЕ ИСКЛШЧастеа СЛУЧай А!=хе=...
=ХА=О, ГОГЛа линейная комбинация векторов аа, аа...,, иа дает нулевой вектор. Глана ЗР ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ ЛЛГЕБРЫ гоо то, полагая ОР оз Рлз — =Х„ а, находим ОР = л,а„РА, = лзазн так что аз = "газ + )заз т. е. векторы а„а, и а,— линейно зависимы. Теорема 3. Всякие четыре вектора а„а„а„аз в пространспмв линейно зависимы, Теорема 2. Для того впобы три вектора а„а„а, были ли- нейно зависимы, необходимо и достаточно, чгпобвз они были ком- планорны. Доказательство необходимости. Дано: векторы а,, а„а,линейно зависимы. Требуется доказать, что они комплапарпы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
