Главная » Просмотр файлов » 1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04

1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 21

Файл №824985 1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (Моденов 1967 Ананлитическая геометрияu) 21 страница1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985) страница 212021-01-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Объем вырожденного ориентированного параллелепипеда условимся считать равным пулю. Поставим в соответствие упорядоченной тройке направленных отрезков ВА', ВВ, ВС упорядоченную тройку а, Ь, с векторов: а=ВА', Ь=ВВ, с=ВС. Имеется бесконечное множество ориентированных параллелепипедов, каждому из которых ставится в соответствие та же упорядоченная тройка а, Ь, с векторов.

Зги ориентированные параллелепипеды получаются всеми переносами любого из них и имеют поэтому один и тот же объем; этот объем мы будем обозначать або и говорить, что это объем ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с (взятых в этом порядке). Объем аЬс ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, обладает следующими свойствами: абс =Ьса = саЬ = — Ьас- -асЬ = -сЬа Г в а в а ГЕ ОСНОВЫ ВЕКТОР НОЙ ЛЛГЕБРЫ 118 (т. е.

От круговой перестановки множителей он не меняется, а при нарушении кругового порядка множителей меняет знак, сохраняя абсолютную величину), аЬ (с+ с() = аЬс+ аЫ (днстрибутнвпость), (2) аЬ().с)=) (аЬС) (ассоциативность по отношению к числу). (3) Доказательство. Для доказательства свойства (1) достаточно только заметить, что упорядоченная тройка а, Ь, с некомпланарных векторов не меняет ориентации при круговой перестановке этих векторов и меняет ориентацию при нарушении кругового порядка. Для доказательства свойств (2) и (3) докажем предварительно следующую лемму, Лемма.

Объем аЬС ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, ровен плои)ади 5 параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, умноженной на координату ортогональной проекции вектора с на ось 1, единичный вектор е которой перпендику ллрен к векторам а и Ь и в случае, если векторы и и Ь неколлинеарны„направлен так, что тройка векторов и, Ь, е имеет положительную ориентацию: аЬс=5 коорд. пр., с. (4) Доказательство.

Предположим, что векторы а, Ь, с некомпланарны. Отложим векторы и, Ь, с, е от одной и той же точки1 ОА=а, ОВ=Ь, ОС=с, ОЕ=е. Тогда абсолютная величина координаты проекции вектора с на вектор е будет высотой параллелепипеда с ребрами ОА, ОВ и ОС, а значит, (аЬС) =5) коорд.

пр. С(, так как и аЬс и 51коорд. п., с! равны объему параллелепипеда с ребрами ОА, ОВ, ОС. Далее, если тройка и, Ь, с имеет положительную ориентацию, то точки С н Е лежат по одну сторону от плоскости ОАВ м, значит, коорд. пр., сР О, а если тройка а, Ь, с имеет отрица- тельную ориентацию, то точки С и Е лежат по разные стороны от плоскости ОАВ и, значит, коорд.

пр,, с ( О. В первом случае аЬс) О, во втором аЬС(0, значит, числа аЬс и коорд. пр,, с одного знака. В случае, если векторы и, Ь, с компланарны, соотношение (4), очевидно, также выполняется (0=0). Теперь свойства (2) н (3) доказываются так1 аЬ (С+И) ае5 Коорд. Пр е (С+а() = 5 (Коорд. Пр е С+ Коорд. Пр.е е() ° 5коорд, пр,, с+5коорд. пр.е г(=аЬс+аЫ. э 42. Огъпмописнтивовлпногоплелллвлвпипядл в коогдпплтлх МЭ Доказанное свойство днстрибутнвности объема ориентированного параллелепипеда относителшю сложения верно по отношению к любому множителю. В самом деле, имеем, например: а(Ь+с)г2= — (аэ2(Ь+с))= — (айЬ+пг2с) = =- — аэ(Ь вЂ” асс = аМ+ асс(.

Доказательство свойства (3): аЬ ().с) = В коорд. пр., (лс) = 5 коорд. (Х пр,, с) = = л5коорд. пр., с-) (аЬс). ф 42. Объем ориентированного параллелепипеда в координатах. Объем тетраэдра Ориентирусм пространство ортопормироваппым базисом 1, у, А. Пусть относительно этого базиса заданы три вектора своими координатами: а = к,э+ УД+ г,й, Ь = хэ(+ уз~+ гэй, с = кзэ'+ уз)+ г,й. Тогда аЬс =- (х,э+ У,1-',- г,й) (хэ1+ уз)+ г,,й) (хз2+ уз/+ г Й). В силу того, что объем ориентированного параллелепипеда, по- строенного па векторах а, Ь, с, обладает свойствами дистрибу- тивпости и ассоциативности по отношению к умножению любого множителя на число (свойства (2) и (3) 2 41), правая часть последнего равенства может быть представлена в виде суммы двадцати семи слагаемых (Зх3м3=-27): (хэ1) (хзэ') (х.,э')+(х,э') (хз1) (уз)) +... В этой сумме смешанных произведений ооратятся в пуль все те, которые образованы тремя комплапарными векторами.

Останется айс = (х.1) (Уэу) (гзй)+(х11) (гэй) (Уз!)+(Уь)) (хээ) (гэй)+ + (уэ/) (гз й) (хэви) + (г, Й) (хз э) (уз/) —; :(г, й) (уз)) (хэви)— = х,уэгз()Ь+х,гэуэИу+хзу,г уИ+ +хзу,гэуИ+х,у,г,Щ+ х,у,г,йээ, и так как Цй=ун=й(7=1, Ц=~т=йуу= -1, то аЬС=хэУэгз хэгзуз хэуэгз+хзуэгз+хзузгэ хзуэгээ или ~хэ уэ гэ~ аЬс =-~хэ уз г ~. х, уз г, Г в а »а вм ОСНОВЫ ВБКТОРНОЙ ЛЛГЕБРЫ 120 3 а меч а иве 1. Если пространство ориентировано произвольным базисом е„е„е„то вместо формулы (!) получим х, у, г1) аЬс = х, у, г, е,е,е,.

(2) 3 а м е ч а и и е 2. Предположим, что известны длины базисных векторов е,, е„е, н углы между ними. Это равносильно тому, что известны скалярные произведения е;ез (1, Ь=1, 2, 3). Обозначим этн скалярные произведения так: Е;ЕЗ = д1З. Введем в пространстве ортонормировапный базис г,,т', Ь н пусть векторы е„е„е, в этом базисе имеют координаты е, = (а„Ь„с,), е, = (а„Ь„сз), е, = (а,, Ьз„сз); тогда па основании доказанного выгае а, Ь„сз~ е1езе~ = аз Ьз сз ~ (3) а, Ь, сз~ н, значит (используем формулу для умножения двух определите- лей, выполняя умножение «строк на строки»), а, Ь, с„ ' (е,е,е,)' = а, Ь, с, аз Ьз сз а',+Ь', +с', а,аз+ Ь,Ь„+ с,с, а»аз+ Ь«Ь1+ сзс, а,аз+Ь„Ь,+с„с, а,аз+Ь«Ь,+С«С, ав + Ьз з+ сз а,а, + Ь,Ь, + с,с, а,+Ьв+с,,' а,а, +Ь»Ь, +с,с, 2 е, е,е, е,е„е,' е,е, е,е, Е„Е, д„ д12 д„ Е«Е, = дз, д„ Ц„ Я»1 ьзз Язз Обозначая последний определитель буквой д, получим !'х1 у, г, аЬс=)в'д х, у, г, (3') Если в пространстве относительно декартовой прямоугольной системы координат заданы четыре точки: Мз(хз, Уз, г1), Мз(х„У«, г,), Мз(хз, Уз, г,), Мз(х, У, гз), зз аактОРнос пяОизвГдеш!с — + то объем У ориентированного параллелепипеда с ребрами М,М„ — ъ М,М„М,М, вычисляется по формуле х,— х, у,— у, г,— г, У= х,— х, уе — у, г,— г, х,— х, у — у, г,— г, (4) Доказательство следует из формулы (1) этого параграфа и того обстоятельства, что М М,=(х,— х,, у,— у,, г,— г4), М,М,=(хз — х„у,— у,, ге — г ), МлМ, = (хь — х„у, — у,, гь — ге).

Следствие. Объем ориентированного тетраэдра М,М М Мв (см. 3 15) вычисляется по формуле х„— х, у„— у, г,— г, М1МеМзМ1= хе хл У вЂ” Уз г — г4 хз — х4 Уз — Ул гз — гл (5) 3 43. Векторное произведение Определение. Если векторы а и Ь, лежащие в ориентированном пространстве, неколлинеарны, то векторным произведением (аб) вектора а на вектор Ь называется вектор, определяемый следую- и(ими тремя условиями. 1. Модуль векторного произведения (аб) ровен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними: ( (аб) ( = ( а ! ! Ь ( з(п ~р.

2, Векторное произведение (аб) перпендикулярно и вектору а и вектор Ь: у )аб) ) а, )аб) ) Ь. 3. Упорядоченная тройка векторов а, Ь. (аб1 имеет положительную ориентацию. Замечание. В случае общей декартовой системы координат перед определителями в формулах (4) и (5) следует поставить множитель ! д (см, формулу (3')), Если надо вычислить объем параллелепипеда илн тетраэдра (пеориентнрованпых), определители в формулах (4) и (5) надо взять по модул!о. Г а а а а Н' ОСНОВЫ ВРКТОРНОИ ХЛГСБРЫ 122 Если векторы а и Ь коллинеорны, то их веюпорное произведение равно ну.ао по определению, если а ',1 Ь, то (аЬ) =О. 3 а ме ч а и н с Если ориентировать пространство правой тройкой, то направление векторного произведения (аЬ) (в случае, если Рис 96 Рис 95 векторы а и Ь пеколлнн) определяется по следугощему правилу.

если большой палец правой руки направить по вектору а, указательный — по вектору Ь, а средний расположить перпендикулярно большому и указательному, то средний палец укажет па направление а (аа) вектора (аЬ) (рнс. 9б). Или если смотреть на плоскость векторова и Ь, отложснных от одной точки со стороны стрелки векторного произведения (аЬ), отложенного от той же точки, то кратчайший поворот от вектора а к вектору Ь кажется происходящим против часовой стрелки (рис.

96). Если пространство ориентировать леРис. 97 вой тройкой, то направление векторного произведения определяется аналогично по правилу трех пальцев левой руки (рис. 97). 1усть векторы а и Ь неколлинеарны. Отложим их от одной н гой же точки О: ОА =а, ОВ =Ь.

На основании данного определения векторного произведения модуль векторного произведения равен площади параллелограмма со сторонами ОА и ОВ; иногда говорят так: модуль векторного произведения двух неколлинеариых векторов равен плошади параллелограмма, построенного па этих векторах, отложенных от одной точки. В ЕЬ СМЕШХННОГ ПРОИЗВЕПЕПИР ТРЕХ ВЕКТОРОВ 1зз Если рассматривать и вырожденные параллелограммы, причем считать, что площадь Вырожденного параллелограмма равна нулю, то модуль векторного произведения [аЬ( равен площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь во всех случаях.

$ 44. Смешанное произведение трех векторов Определение. Смешанным произведением трех векторов а, Ь, с, лежащих в ориентированном пространстве, называется скалярное произведение вектора [аЬ'1 на вектор с, т. е. [аЬ( с. Теорема, Смешанное произведение [аЬ(с равно объел~у ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с. Доказательство. В З 38 для скалярного произведения двух векторов была доказана формула рет=[р~ коорд.

пр. а. Пусть векторы а, Ь, с пекомпланарпы. Тогда на основании леммы ~ 41 имеем [аЬ) с = ~ [а Ь) ~ коорд. п р. с = 3 коорд. пр. с = аЬс, причем проектирование ведется па ось, имеющую направление вектора [аЬ(. В случае, если векторы а, Ь, с компланарны, равенство [аЬ(с=аЬс, Очевидно (О = О). Следствие.

[аЬ) с=а [Ьс). Доказательство. [а Ь1 с = и Ьс = Ьса = [Ьс1 а = а [Ьс(. $ 45. Координаты векторного произведения Пусть 1, /, Ь вЂ” ортонормированный базис. Пусть в атом базисе а = (хп ВО ее), Ь= (хм вм ЕВ). Координаты вектора в ортопормнрованном базисе можно рассматривать как скалярные произведения зтого вектора на векторы базиса. Пользуясь формулой (1) ~ 42 для объема ориентированного параллелепипеда в координатах и замечая, что 1=(1,0,0), 1=(0, 1,0), й (0,0, Ц, Г в а в а ЕС ОСНОВЫ ВЕКТОРПОП АЛГЕЩ'Ы 124 находим координаты векторного произведения: х, у„ г, [аЬ~ 1 аЬ х у гд б О' 1х, у, г, ~гд х„ [аЬ1У=аЬ3=1хз Уз г, =~ д ~О ( О ~гзхз хд уд гд [аЬ) Ь = а Ьй = х, у, г, = ~ оо) Итак, если в ортонормированпом базисе а=(хм у„г,), Ь=(х„у„г.), то [аЬ1 ()Уд гд) (гд хд~ ~хд Уд~) ф 4й.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
10,26 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6458
Авторов
на СтудИзбе
304
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее