1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Объем вырожденного ориентированного параллелепипеда условимся считать равным пулю. Поставим в соответствие упорядоченной тройке направленных отрезков ВА', ВВ, ВС упорядоченную тройку а, Ь, с векторов: а=ВА', Ь=ВВ, с=ВС. Имеется бесконечное множество ориентированных параллелепипедов, каждому из которых ставится в соответствие та же упорядоченная тройка а, Ь, с векторов.
Зги ориентированные параллелепипеды получаются всеми переносами любого из них и имеют поэтому один и тот же объем; этот объем мы будем обозначать або и говорить, что это объем ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с (взятых в этом порядке). Объем аЬс ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, обладает следующими свойствами: абс =Ьса = саЬ = — Ьас- -асЬ = -сЬа Г в а в а ГЕ ОСНОВЫ ВЕКТОР НОЙ ЛЛГЕБРЫ 118 (т. е.
От круговой перестановки множителей он не меняется, а при нарушении кругового порядка множителей меняет знак, сохраняя абсолютную величину), аЬ (с+ с() = аЬс+ аЫ (днстрибутнвпость), (2) аЬ().с)=) (аЬС) (ассоциативность по отношению к числу). (3) Доказательство. Для доказательства свойства (1) достаточно только заметить, что упорядоченная тройка а, Ь, с некомпланарных векторов не меняет ориентации при круговой перестановке этих векторов и меняет ориентацию при нарушении кругового порядка. Для доказательства свойств (2) и (3) докажем предварительно следующую лемму, Лемма.
Объем аЬС ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, ровен плои)ади 5 параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, умноженной на координату ортогональной проекции вектора с на ось 1, единичный вектор е которой перпендику ллрен к векторам а и Ь и в случае, если векторы и и Ь неколлинеарны„направлен так, что тройка векторов и, Ь, е имеет положительную ориентацию: аЬс=5 коорд. пр., с. (4) Доказательство.
Предположим, что векторы а, Ь, с некомпланарны. Отложим векторы и, Ь, с, е от одной и той же точки1 ОА=а, ОВ=Ь, ОС=с, ОЕ=е. Тогда абсолютная величина координаты проекции вектора с на вектор е будет высотой параллелепипеда с ребрами ОА, ОВ и ОС, а значит, (аЬС) =5) коорд.
пр. С(, так как и аЬс и 51коорд. п., с! равны объему параллелепипеда с ребрами ОА, ОВ, ОС. Далее, если тройка и, Ь, с имеет положительную ориентацию, то точки С н Е лежат по одну сторону от плоскости ОАВ м, значит, коорд. пр., сР О, а если тройка а, Ь, с имеет отрица- тельную ориентацию, то точки С и Е лежат по разные стороны от плоскости ОАВ и, значит, коорд.
пр,, с ( О. В первом случае аЬс) О, во втором аЬС(0, значит, числа аЬс и коорд. пр,, с одного знака. В случае, если векторы и, Ь, с компланарны, соотношение (4), очевидно, также выполняется (0=0). Теперь свойства (2) н (3) доказываются так1 аЬ (С+И) ае5 Коорд. Пр е (С+а() = 5 (Коорд. Пр е С+ Коорд. Пр.е е() ° 5коорд, пр,, с+5коорд. пр.е г(=аЬс+аЫ. э 42. Огъпмописнтивовлпногоплелллвлвпипядл в коогдпплтлх МЭ Доказанное свойство днстрибутнвности объема ориентированного параллелепипеда относителшю сложения верно по отношению к любому множителю. В самом деле, имеем, например: а(Ь+с)г2= — (аэ2(Ь+с))= — (айЬ+пг2с) = =- — аэ(Ь вЂ” асс = аМ+ асс(.
Доказательство свойства (3): аЬ ().с) = В коорд. пр., (лс) = 5 коорд. (Х пр,, с) = = л5коорд. пр., с-) (аЬс). ф 42. Объем ориентированного параллелепипеда в координатах. Объем тетраэдра Ориентирусм пространство ортопормироваппым базисом 1, у, А. Пусть относительно этого базиса заданы три вектора своими координатами: а = к,э+ УД+ г,й, Ь = хэ(+ уз~+ гэй, с = кзэ'+ уз)+ г,й. Тогда аЬс =- (х,э+ У,1-',- г,й) (хэ1+ уз)+ г,,й) (хз2+ уз/+ г Й). В силу того, что объем ориентированного параллелепипеда, по- строенного па векторах а, Ь, с, обладает свойствами дистрибу- тивпости и ассоциативности по отношению к умножению любого множителя на число (свойства (2) и (3) 2 41), правая часть последнего равенства может быть представлена в виде суммы двадцати семи слагаемых (Зх3м3=-27): (хэ1) (хзэ') (х.,э')+(х,э') (хз1) (уз)) +... В этой сумме смешанных произведений ооратятся в пуль все те, которые образованы тремя комплапарными векторами.
Останется айс = (х.1) (Уэу) (гзй)+(х11) (гэй) (Уз!)+(Уь)) (хээ) (гэй)+ + (уэ/) (гз й) (хэви) + (г, Й) (хз э) (уз/) —; :(г, й) (уз)) (хэви)— = х,уэгз()Ь+х,гэуэИу+хзу,г уИ+ +хзу,гэуИ+х,у,г,Щ+ х,у,г,йээ, и так как Цй=ун=й(7=1, Ц=~т=йуу= -1, то аЬС=хэУэгз хэгзуз хэуэгз+хзуэгз+хзузгэ хзуэгээ или ~хэ уэ гэ~ аЬс =-~хэ уз г ~. х, уз г, Г в а »а вм ОСНОВЫ ВБКТОРНОЙ ЛЛГЕБРЫ 120 3 а меч а иве 1. Если пространство ориентировано произвольным базисом е„е„е„то вместо формулы (!) получим х, у, г1) аЬс = х, у, г, е,е,е,.
(2) 3 а м е ч а и и е 2. Предположим, что известны длины базисных векторов е,, е„е, н углы между ними. Это равносильно тому, что известны скалярные произведения е;ез (1, Ь=1, 2, 3). Обозначим этн скалярные произведения так: Е;ЕЗ = д1З. Введем в пространстве ортонормировапный базис г,,т', Ь н пусть векторы е„е„е, в этом базисе имеют координаты е, = (а„Ь„с,), е, = (а„Ь„сз), е, = (а,, Ьз„сз); тогда па основании доказанного выгае а, Ь„сз~ е1езе~ = аз Ьз сз ~ (3) а, Ь, сз~ н, значит (используем формулу для умножения двух определите- лей, выполняя умножение «строк на строки»), а, Ь, с„ ' (е,е,е,)' = а, Ь, с, аз Ьз сз а',+Ь', +с', а,аз+ Ь,Ь„+ с,с, а»аз+ Ь«Ь1+ сзс, а,аз+Ь„Ь,+с„с, а,аз+Ь«Ь,+С«С, ав + Ьз з+ сз а,а, + Ь,Ь, + с,с, а,+Ьв+с,,' а,а, +Ь»Ь, +с,с, 2 е, е,е, е,е„е,' е,е, е,е, Е„Е, д„ д12 д„ Е«Е, = дз, д„ Ц„ Я»1 ьзз Язз Обозначая последний определитель буквой д, получим !'х1 у, г, аЬс=)в'д х, у, г, (3') Если в пространстве относительно декартовой прямоугольной системы координат заданы четыре точки: Мз(хз, Уз, г1), Мз(х„У«, г,), Мз(хз, Уз, г,), Мз(х, У, гз), зз аактОРнос пяОизвГдеш!с — + то объем У ориентированного параллелепипеда с ребрами М,М„ — ъ М,М„М,М, вычисляется по формуле х,— х, у,— у, г,— г, У= х,— х, уе — у, г,— г, х,— х, у — у, г,— г, (4) Доказательство следует из формулы (1) этого параграфа и того обстоятельства, что М М,=(х,— х,, у,— у,, г,— г4), М,М,=(хз — х„у,— у,, ге — г ), МлМ, = (хь — х„у, — у,, гь — ге).
Следствие. Объем ориентированного тетраэдра М,М М Мв (см. 3 15) вычисляется по формуле х„— х, у„— у, г,— г, М1МеМзМ1= хе хл У вЂ” Уз г — г4 хз — х4 Уз — Ул гз — гл (5) 3 43. Векторное произведение Определение. Если векторы а и Ь, лежащие в ориентированном пространстве, неколлинеарны, то векторным произведением (аб) вектора а на вектор Ь называется вектор, определяемый следую- и(ими тремя условиями. 1. Модуль векторного произведения (аб) ровен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними: ( (аб) ( = ( а ! ! Ь ( з(п ~р.
2, Векторное произведение (аб) перпендикулярно и вектору а и вектор Ь: у )аб) ) а, )аб) ) Ь. 3. Упорядоченная тройка векторов а, Ь. (аб1 имеет положительную ориентацию. Замечание. В случае общей декартовой системы координат перед определителями в формулах (4) и (5) следует поставить множитель ! д (см, формулу (3')), Если надо вычислить объем параллелепипеда илн тетраэдра (пеориентнрованпых), определители в формулах (4) и (5) надо взять по модул!о. Г а а а а Н' ОСНОВЫ ВРКТОРНОИ ХЛГСБРЫ 122 Если векторы а и Ь коллинеорны, то их веюпорное произведение равно ну.ао по определению, если а ',1 Ь, то (аЬ) =О. 3 а ме ч а и н с Если ориентировать пространство правой тройкой, то направление векторного произведения (аЬ) (в случае, если Рис 96 Рис 95 векторы а и Ь пеколлнн) определяется по следугощему правилу.
если большой палец правой руки направить по вектору а, указательный — по вектору Ь, а средний расположить перпендикулярно большому и указательному, то средний палец укажет па направление а (аа) вектора (аЬ) (рнс. 9б). Или если смотреть на плоскость векторова и Ь, отложснных от одной точки со стороны стрелки векторного произведения (аЬ), отложенного от той же точки, то кратчайший поворот от вектора а к вектору Ь кажется происходящим против часовой стрелки (рис.
96). Если пространство ориентировать леРис. 97 вой тройкой, то направление векторного произведения определяется аналогично по правилу трех пальцев левой руки (рис. 97). 1усть векторы а и Ь неколлинеарны. Отложим их от одной н гой же точки О: ОА =а, ОВ =Ь.
На основании данного определения векторного произведения модуль векторного произведения равен площади параллелограмма со сторонами ОА и ОВ; иногда говорят так: модуль векторного произведения двух неколлинеариых векторов равен плошади параллелограмма, построенного па этих векторах, отложенных от одной точки. В ЕЬ СМЕШХННОГ ПРОИЗВЕПЕПИР ТРЕХ ВЕКТОРОВ 1зз Если рассматривать и вырожденные параллелограммы, причем считать, что площадь Вырожденного параллелограмма равна нулю, то модуль векторного произведения [аЬ( равен площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь во всех случаях.
$ 44. Смешанное произведение трех векторов Определение. Смешанным произведением трех векторов а, Ь, с, лежащих в ориентированном пространстве, называется скалярное произведение вектора [аЬ'1 на вектор с, т. е. [аЬ( с. Теорема, Смешанное произведение [аЬ(с равно объел~у ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с. Доказательство. В З 38 для скалярного произведения двух векторов была доказана формула рет=[р~ коорд.
пр. а. Пусть векторы а, Ь, с пекомпланарпы. Тогда на основании леммы ~ 41 имеем [аЬ) с = ~ [а Ь) ~ коорд. п р. с = 3 коорд. пр. с = аЬс, причем проектирование ведется па ось, имеющую направление вектора [аЬ(. В случае, если векторы а, Ь, с компланарны, равенство [аЬ(с=аЬс, Очевидно (О = О). Следствие.
[аЬ) с=а [Ьс). Доказательство. [а Ь1 с = и Ьс = Ьса = [Ьс1 а = а [Ьс(. $ 45. Координаты векторного произведения Пусть 1, /, Ь вЂ” ортонормированный базис. Пусть в атом базисе а = (хп ВО ее), Ь= (хм вм ЕВ). Координаты вектора в ортопормнрованном базисе можно рассматривать как скалярные произведения зтого вектора на векторы базиса. Пользуясь формулой (1) ~ 42 для объема ориентированного параллелепипеда в координатах и замечая, что 1=(1,0,0), 1=(0, 1,0), й (0,0, Ц, Г в а в а ЕС ОСНОВЫ ВЕКТОРПОП АЛГЕЩ'Ы 124 находим координаты векторного произведения: х, у„ г, [аЬ~ 1 аЬ х у гд б О' 1х, у, г, ~гд х„ [аЬ1У=аЬ3=1хз Уз г, =~ д ~О ( О ~гзхз хд уд гд [аЬ) Ь = а Ьй = х, у, г, = ~ оо) Итак, если в ортонормированпом базисе а=(хм у„г,), Ь=(х„у„г.), то [аЬ1 ()Уд гд) (гд хд~ ~хд Уд~) ф 4й.