1611141248-a281492b470fec98b0828e547806fe04 (824985), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Свойства векторного произведения Векторное произведение двух векторов обладает следующими свойствами: [аЬ) = — [Ьа), (1) [а(Ь+с)) = (!Уз+Уз гз+гз! ага+аз хз+хз! 1хз+хз Уз+Уз Р )1уд гд1+~уд гд~ г, хд(+(гд хд~ ~хд уд~+~хд удр ()Ув гз гз хз хз Ув! [аЬ) + [ас(. [(Ха) Ь1 = ). [аЬ), (2) [а(Ь+с)) =[аЬ)+[ас). Р) Они вытекают из выражений для векторного произведения в координатах. Докажем, например, последнее 'свойство. Пусть в ортонормированном базисе а=(х,, у„г,), Ь=(х„у„г,), с=(х„у„гз). Тогда Ь+ о = (хз+ х„уз+ у„гз+ гв) и, следовательно, э 11.
ДВОЙНОВ ВЕктОРНОЕ Г!РОИЗВЕЕЕКИ!:. $47. Двойное векторное произведение 125 Вектор [а [ЬсЦ называется дпойиым векторным произведением. Векторы Ь, с и [а [ЬсЦ компланарны; в самом деле зто так, если векторы Ь и с коллнпеарны. Если же векторы Ь и е неколлинеарны, то вектор [Ьс] нч перпендикулярен, а вектор [а [ЬсЦ, перпендикулярный вектору [Ьс], будет компланарен с векторами Ь н е. Отс1ода следуег, что вектор [а [ЬсЦ можно разложить по векторам Ь и с. Приводимая ниже формула и дает разложение этого вектора по векторам Ьне: [а [ЬсЦ = Ь (ае) — с (аЬ).
Для доказательства этой формулы введем ортопормироваппый базкс, взяв первый единичный вектор 1 базиса коллинсарным вектору а и расположив второй единичный вектор у этого базиса перпендикулярно 1 и так, чтобы векторы а, Ь, у' были компланарны,' Тогда а=(х„О, О), Ь=(х,, уз, О), с=(х,, у„гз), значит [Ьс] = (узгз — хлгз хзуз хауз) [а[ЬсЦ=(О, — х,(х,Уз — хзрг), — хлхзгз), ас=х1хз, аЬ=х,х„ Ь(ас) — с(ааг=хлхз(Х„Уз, О) — хзх,(хз, Уз, г,) =(хлх,хз, хлхзУ„О)— (хзхзхз хлхзуз хлхзгз) = (О хл хауз хлхзуз' х1хзгз) =(О, — хз(х,уз — хзу,), — х,х,гз)=[а [ЬсЦ.
Отметим еще формулу [[аЬ] с) = Ь(ае) — а (Ьс]. Доказательство: ИаЬ! с]= -[с [аЬЦ = — (а (сЬ) — Ь (ас)) =Ь (ае)-а (са), $48. Площадь параллелограмма и треугольника в пространстве Площадь параллелограмма, построенного на двух неколлинеарных векторах а=(х,, у,, гл) и Ь=(х„уз, г,), отложенных от одкой точки и заданных своими координатами относительно ортонормированкого базиса, равна ] [аЬ]] и, следовательно, вычисляется по формуле ~/ ~ ул гл]з+] гл х ]з, ( хл у, з Тогда его площадь вычисляется по формуле ул — уэ гл — гз]з ]гл — гэ хл — хг]з ]хл — хз ул — уэ] ~/' — — ]'",] — — ]-'„] Пусть относительно прямоугольной системы координат а пространстве заданы три вершины параллелограмма; А(хы у,, гл), В(хы уз, гз) С(хз уз гз).
глава ш. основы впктопнои ьлгпппы )26 В самом деле, площадь параллелограмма с тремя даннымн вершинами А, В, С равна 5=((САСВ) Ь Остается заметить, что Уз Уз Уз Уз ! 21 тз св — зз и что модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат. 3 а меч а и не. Площадь 5 треугольника АВС с вершинами А(х,, у,, г,), В(х„у„х,), С(хз уз, хз) заданными относительно декартовой прямоугольной системы координат, вычи. сляется по формуле 5 49, Примеры и задачи к главе (Ч 1. Задачи с решениями Пример И Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 98).
Пусть АВ=с, АС=Ь, ВС=а. Тогда а=Ь вЂ” с. Возводя обе части этого равенства Рис. 98 Рнс 99 Рис. 100 скалярно в квадрат, получим а'=Ь'+сз — 2Ьс. Но аз=а'. Ь'=Ьз, сз=сз, Ьс=Ьс сов А, поэтому а'=Ьз+с' — 2бс сов А — теорема косинусов. Заметим, что эта формула верна и для вырожденного треугольника. Пример 2. Рассмо~рим ромб (рис. 99). Составим скалярное провзведение вектора а+Ь яа вектор а — Ь: (а+Ь) (а — Ь) =аз-Ь'=а' — Ьз=0 Но если скалярное произведение двух ненулевых векторов а+Ь и а — Ь равно нулэо, то вти векторы взаимно перпендикулярны. Таким образом, доказана теоремаэ диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
СА =(х,— хз СВ=(хз — х, (САСВ) (~ ут — уз тт тз ~ тг хз) зз азг хт — хз~ ~к1-кз ут — уз~~ 5 (9. ПРИМЕРЫ И ЗЛДЛЧП К ГЛЛНЕ Гц 127 Пример 3. Пусть А0 †биссектри внутреннего угла А треугольника АВС. Выразим длину х биссектрисы АО через длины с и Ь сторон АВ и АС и угол (1 между пнин, Полагая АО=х, имееч (рис. 100) с ВО В0 х — с Ь ОС Ь вЂ” х' ОС Отсюда Ьс+сЬ х= —, Ь+с значит, А 2Ьс соз— — .з /Ьзсз+ с'Ь'+ 2ЬсЬс Г 2Ь'с'+ 2Ьтс' соз А 2 "= У <Ь+) Ь+. Ь+ Пример 4, Найти проекцию вектора а на ненулевой вектор Ь, Рассмот- реть числовой пример: а=(1, 4, 8), Ь=(1, 2, — 2).
Р е ш е н и е. Отложим векторы а и Ь от одной точки О. ОА =а, ОВ=Ь, Пусть С вЂ” проекция точки А на прямую ОВ. Искомая проекция ОС. Очевидно, ь ОС=ХЬ, остается определить Х. Так как АС ) ОВ и АС=ОС вЂ” ОА=ЛЬ вЂ” а, аЬ аЬ то (лЬ вЂ” а) Ь=О, откуда Х= —. Итак, пр.ьа= — Ь. В случае а= (1, 4, 8), Ь' ' ' ' Ь' Ь=(1, 2, — 2) имеем 11+4 2 — 8 2 7 ( 7 14 14) пр ьа= '(1, 2, — 2)= — — (1, 2, -2)=~ — —, 1+4+4 ' ' 9 ' ' 1 9' 9' 9)' Пример 5. В вершние куба приложены три силы, разные по величине 1, 2, 3 и направленные по диагоналям граней куба.
Определить величину равнодейству(ошей. Р е ш е и не. Примем данную вершину за начало координат, а исходящие из иее ребра — эа оси координат. Пусть, например, сила сп величина кото. рой равна 1, лежит в плоскости хОу; тогда ее координаты У,=1 ', ', 01. Пусть сила Рз, величина которой равна 2, лежит в плоскости уОг; тогда ее координаты Р'з=(0, —, — ). Пусть сила Ва, величина которой равна 3, лежит в плоскости гОх; тогда ее коордннаты Равнодействующая этих трех сил (4331 В=Р'х+Рз+сз —— ('гс2 г 2 ф'2~ следовательно, ее величина 1б 9 25 — —,+ — + — =5, 2 2 2 Г э а в с Ф ОГ НОВЫ ЯБКТОРНОй АЛГЕБРЫ 128 Пример 6.
Одна нз вершин параллелепипеда находится а точке М (1, 2, 3), а концы ребер, выходящих из этой вершины,— а точках А (9, б, 4), В (3, О, 4) и С(3, 2, б). Найти косинус угла между даагональю Мр этого параллелепипеда, выходящей из точки М, и его ребром МА Система координат прямоугольная. Решение МР=МА+МВ+МС, МА=(8, 4, 1), МВ=(2,— 2, 1), МС=(4, О, 3), откуда МР=(14, 2, 3), АМр — Л(А МР 8 !4+4 2+ ! б 23 ) Л!А (( МО( Ьг 8з+4з+! ф" 14в+2з ! бз 21' Рис 101 Пример У. Вычислить длину 8 диагонали ОР параллелепипеда, зная длины ОА=а, ОВ=Ь, ОС=с трех его ребер, аыходяшпх нэ вершины О, и углы ВОСО=а, СОА =(), АОВ=у мегкду ними. Вычислить также углы ух, ~р„грз между ОР и ребрами ОА, ОВ, ОС, Решение, Имеем (рнс. 101) !У=а+В+с Отсюда 8 = 'Г' (а+ Ь+ с) з = )' аз+ Ь'-;- с' ! 2Ьс+ 2са+ 2аЬ = Ьгаз+ Ь'+с'+ 2Ьс соз а + 2са соз () + 2аЬ сов у Далее аг) а (а+ Ь+с) аз+ аЬ соз у+ос соз !) соз <рг — —— а8 ай ас( а+ Ь соз у ( с соз () )газ-) Ьз +се+2Ьс соза+2са соз 8+2ао сову Аналогично найдем а созу-1-Ь+с сов а сов ~уз= Г* аз+ Ьз+ с'+2зс соз а+ 2са сов 8+йаз соз у а соз (1+Ь сова +с сов<у = ~'аз+Ьз+се-Г2Ьссоза+2сасоз()+2аЬ сову Ч 4азж ПРИМЕР!ч1 И Зяддтыз К ГЛАВЕ 1Ч Прммер 8.
Доказать тоткдсство [аЬ) [ху1 =(ах) (Ьу) — (ау) (Ьх). Доказательство, [аЬ[1ху[= а1Ь [ху)1= а (х (Ьу) — у (ьх)) =(ах) (ьу) — (ау) (Ьх). Пример 9. Вычислить внутренние двугрвнные углы трехгранного угла, плос ие углы которого а, Ь, с. П р е два р и т е л ь н о е за м с ч а и не. 4(ля вычисления двуграниых углов методом векторной ажебры можно поступать так: найти вектор х, верпендикулярный грани р двуграипого углз п направленный внутрь' этого угла.
Найти вектор у, перпеодикулярпыГ1 грани 4( угла и направленный во О внешн!ою сторону двугранного угла. Тогда угол между вскторамя х и у будет равен линейному углу рас- Д сматриваемого двуграппого угла Ь (рис, 102). Для нахождения вектора ц " Гро! х, перпендикулярного грани р, можно найти пару пеколлпнсарпых векторов, лежащих в этой грани, и и Грг) г взять их векторное произведение.
А Аналогично находится и вектор у. с Р е ш е н и е. Рассмотрим еди1ичпые векторы р, 4), г, идущие по В ребрам данного трехгранного угла У (рис. !03). На(!дем косинус линейного угла для двуграниого угла, по ребру которого направлен вектор р, Р 4) Вектор [Рг)1 перпендикулярен гра- х ни ОАВ н направлен во внешнюю Рис. 10йь Рис 103. сторону двугранного уг'и В (АО) С, Вектор [рг1 перпендикулярен грани ОАС и направлен внутрь того же угла. Обозначая внутренние двуграпные углы дш1ного трехгранного угла буквамн А, В, С, имеем; [Рг)1!Рг1 Р (4)г) — (Рг) (4)Р) сов й-соьЬ созе ~ [РЧ[1! [Рг'11 юп Ь ь!и с з!и Ь шп с Аналоги шо находим соь Ь вЂ” соь а соь с соь с — сов й соь Ь соьВ= — ..
—, соьС= 51п й ь!п с ь!паыпЬ Заме ч а и не. Построим сферу радиуса 1, пентроы которой является першина данного трехгранного угла. Грани трехгранного угла высекут из сферы сферический треугольник АВС (ограниченный дугами ВС, СА и АВ больших кругов построенной сферы). Так как радиус сферы равен 1, то длины сторон о Отложиы вектор х, перпендикулярный грани р, от любой точки этой грани; если его конец н точки другой грани а лежат по одну сторону от п л о с х о с т и, и которой расноложсна грань р, то будем говорить, что вектор х направлен внутрь двугранного угла рд. Если зсе конец вектора х, отложенного от любой точки грани р, и точки грани а лежат по разные стороны от плоскости, в которой расположена грань р, то будем говорить, что вектор х направ,теи во внешнюю сторону угла рд, 5 И.
Г. жодоооэ Г э с эс Ш ОС!!ОВЫ ВСКТОРЫОИ ЛЛГГВРШ ВС, СА и АВ сферического треугольника ЛВС соответственно равны о, Ь, с Углом А сферического эреугольника ЛВС при всршипе А назовем угол, стороны которого касшогся луг ЛВ п ЛС в то ше А, причем этп стороны идут в направлении от Л к В и от А к С (ряс. 10!). Аналогично определяются углы В и С сфсрвчсско~о треугольника ЛВС. 51спо, что угол А сферического треугольника АВС является линейным углом внутреннего двугранвого угла В(АО) С Таким образом, полученные выше формулы дают решение след)топ!ей зада ш сферической тригопоыетрии: иэй С ти углы Л, В, С сферического треуголь ника АВС, если даны его стороны ВС=а, СА=Ь, АВ=с Пример 1О. АВСР-произвольный тет раздр (нсвырождениый).
Возьмем на какой. нибудь его грани, например иа грани АВС, произвольную точку В и отложим от этой точки вектор ВВ'=И, модуль ко торого равен площади грани АВС, перпсп. дику:шрэый грани АВС п эаправлеивый так, что точки В' и Р лежат по разные стороны от плоскости грани АВС.
Анапе шшпо построив вектор РР' =а для грани ВСР, вектор !]1]'=Ь для грани АСР и вектор )тй'=с для грани АВР (рис 100) Доказать, что а + Ь + с+ аг = О. Рис, 104 До к аз а телье т в о Положив РЛ=х, РВ=у, РС=г Тогда СА .х — г, СВ=у — г. Орпептируеи пространство тстраздром АВСР. Тогда будем иметь 1 1 1 = — [гу], Ь=, [„] 2 ' 2 =2 3 1 "= — 1(х — г) (у — г)! 2 Отсюда 1 ! а+Ь+с ' с( — [гу] ) 1 1+ 2 1 1 -(- — [ух]+ —,[ху] — —, [гу] — — [хг]т А 2 2 2 2 + —, 1гг]=0. ! 2 Пример 11. Доказать тождество: [ах ау аг] (аЬс)(хуг) = Ьх Ьу Ьг ~, сх су сг Рис. 1ОЬ До к а з а те л ь с т в о Пользуясь формулой для двойного векторного произведен и я, и меем 1[аЬ] 1Рси =Р (аЬс) — с (аЬР) = Ь (Рса) — а (Рсй).
444 ИРИМНРЫ И 3ДД.1ЧИ К Гл тих: Положим в этом тогкдестве гг=[ху[, получим [ху[(аЬс) =с(аЬ [ху[) — ', Ь([ху[са) — а([ху[СЬ)= =с([аб[ [ху[]+Ь ([ху[ (са[) — а ([ху[ [сб]) = = с цах) (Ьу) — (ау) (Ьх)) + Ь ((хс) (Уа) — (ха) (ус)) -а Цхе) (УЬ) — (хЬ) (Ус)). умножая обе части этого равенства скалярно на г, найдем (або) (хуг) = (сг) ((ах) (Ьу) — (ау) (Ьх)) + (Ьг) ((хс) (уа) — (ха) \ус))— ах ау аг) -(аг)((хс)(УЬ] — (хЬ) (ус])= Ьх Ьу Ьг .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
